交叉擴(kuò)散的帶Michaelis-Menton型非線性收獲率的捕食-食餌模型

董苗娜，容躍堂，王曉麗，殷珍杰

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048)

交叉擴(kuò)散的帶Michaelis-Menton型非線性收獲率的捕食-食餌模型

董苗娜，容躍堂，王曉麗，殷珍杰

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048)

在Dirichlet邊界條件下，尋求一類交叉擴(kuò)散的帶Michaelis-Menton型非線性收獲率捕食-食餌模型正解的存在性.利用上下解法和Crandall-Rabinowitz分歧理論，得出正解的先驗(yàn)估計(jì)和一類半平凡解附近局部分歧解的存在性，并將局部分歧解延拓為全局分歧解.推導(dǎo)結(jié)果表明：在一定條件下，該捕食模型的正解是有界的，且捕食者和食餌可共存.

捕食-食餌；交叉擴(kuò)散；正解；全局分歧

近年來(lái)，由于很多捕食-食餌系統(tǒng)中的生物資源都有被捕撈和出售以獲取經(jīng)濟(jì)利益的可能，因此，在研究這類模型的過(guò)程中引入Michaelis-Menton型非線性收獲率從各方面綜合來(lái)看都更具有現(xiàn)實(shí)意義[1-3].

在環(huán)境對(duì)捕食者和食餌提供相同保護(hù)的前提下，文獻(xiàn)[4]提出并研究了一類帶Michaelis-Menten型非線性收獲率的常微模型的分歧解走向，但其并未考慮擴(kuò)散影響.在不考慮系統(tǒng)空間因素的情況下，我們可以通過(guò)建立常微分方程模型來(lái)研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)規(guī)律，包括系統(tǒng)的穩(wěn)定性，分歧，周期解等等，然而帶有擴(kuò)散項(xiàng)的捕食系統(tǒng)考慮了種群在空間中的演化問(wèn)題，因而這種擴(kuò)散捕食系統(tǒng)就比那些常微分捕食系統(tǒng)更加合理，也更加符合實(shí)際意義[5-6].

文獻(xiàn)[7]考慮了種群擴(kuò)散的影響，研究了擴(kuò)散的帶Michaelis-Menten型非線性收獲率的捕食-食餌模型在Dirichlet邊界條件下的全局分歧和穩(wěn)定性.但是，在經(jīng)典的生物反應(yīng)擴(kuò)散方程中，種群間的相互影響在種群擴(kuò)散中同等重要.即引入交叉擴(kuò)散往往更貼近實(shí)際情況.一個(gè)種群由于另外種群的出現(xiàn)，如捕食者為獲得食物不得不追逐食餌、食餌逃離捕食者的獵獲等而產(chǎn)生種群遷徙的現(xiàn)象就稱為交叉擴(kuò)散，在實(shí)際中帶有交叉擴(kuò)散項(xiàng)的情況更能準(zhǔn)確的反應(yīng)捕食活動(dòng)中捕食者和食餌的關(guān)系.

因此，文中考慮交叉擴(kuò)散的帶Michaelis-Menten型非線性收獲率的捕食-食餌模型在Dirichlet邊界條件下的正解的存在性及解的全局分歧.

1 預(yù)備知識(shí)

具有交叉擴(kuò)散的帶Michaelis-Menten型非線性收獲率的捕食-食餌模型為

(1)

其中Ω為Rn中具有光滑邊界?Ω上的有界開區(qū)域，u,v分別表示食餌和捕食者的種群密度，這里h,c,m,α,β,ρ都是正常數(shù)，d1,d2表示交叉擴(kuò)散系數(shù).

考慮(1)對(duì)應(yīng)的平衡態(tài)問(wèn)題

(2)

對(duì)于問(wèn)題(2)的解(u,v)，若在Ω中，(u,v)中只有一個(gè)分量為0，則稱其為半平凡解.

考慮特征值問(wèn)題

(3)

考慮邊值問(wèn)題(4)和(5)

(4)

(5)

其中，設(shè)邊值問(wèn)題(4)中非單調(diào)函數(shù)

證明 由于θ>0,故有

由于h

故由λi(p,q)的嚴(yán)格單調(diào)性知，

λ1(L1)>λ1(L0).

由Krein-Rutman定理知，λ1(L0)=0,θ為相應(yīng)的特征函數(shù)，因此λ1(L1)>0.

則L1的特征值均大于0，即L1可逆.

現(xiàn)令Z=(U,V)，其中

U=(1+d1v)u,V=(1+d2u)v

(6)

(7)

2 正解的先驗(yàn)估計(jì)

證明 應(yīng)用反證法.

假設(shè)問(wèn)題(7)存在正解(U,V)，那么由問(wèn)題(7)中的第一個(gè)式子得

(8)

式(8)兩邊同乘以V，分部積分得

證明 根據(jù)極大值原理u>0,v>0.

同理可得

由(u,v)與(U,V)之間的關(guān)系知定理2成立.

3 局部分歧正解的存在性

以ρ為分歧參數(shù)，利用文獻(xiàn)[8-10]中的Crandall-Rabinowitz定理，給出問(wèn)題(7)發(fā)自半平凡解(θ,0)和(0,θρ)的局部分歧正解的存在性.

雖然有一些研究表明MAOIs、TCAs、SSRIs、SNRIs在不同藥物類型方面，以及同一類型不同藥物方面有療效間的差異，但大量的比較研究整體上沒有發(fā)現(xiàn)在這些方面上的明顯差異。而基于第二代抗抑郁藥物(SSRIs和SNRIs)具有比第一代抗抑郁藥物(單胺類氧化酶抑制劑和三環(huán)類抗抑郁藥物)具有更好的安全性和耐受性，因此使用更為廣泛，常被推薦用于急性期的初始治療。

Γ*={(ρ(s);θ+s(φ*+Φ1(s)),

s(ψ*+ψ1(s))):0

其中u,v均為(U,V)的函數(shù)，將問(wèn)題(7)在(U,V)=(θ,0)處Taylor展開為：

對(duì)U=(1+d1v)u，V=(1+d2u)v兩邊同時(shí)求導(dǎo)并求逆矩陣，得

即有

(9)

經(jīng)計(jì)算，L(ρ*；0,0)·(φ,ψ)T=0等價(jià)于

令L*(ρ*；0,0)為L(zhǎng)(ρ*；0,0)的自伴算子，類似可得

U*=(0,ψ*)T.

由Fredholm選擇公理知，

Range(L(ρ*；0,0))=

采用反證法證明L′(ρ*；0,0)·(φ*,ψ*)?R(L(ρ*；0,0)).

假設(shè)存在(h,k)∈X，使得L′(ρ*；0,0)·(φ*,ψ*)=L(ρ*；0,0)·(h,k).經(jīng)計(jì)算得

那么有

(10)

式(10)兩邊同乘以ψ*，分部積分得

(11)

由于式(11)左端大于0，故矛盾.

由文獻(xiàn)[8]中的Crandall-Rabinowitz局部分歧定理知，存在充分小的δ>0及C1連續(xù)曲線(ρ(s):Φ1(s),Ψ1(s))∶(-δ,δ)→R×X滿足ρ(0)=ρ*，Φ1(0)=0，ψ1(0)=0.

同理可得以下定理

定理4 設(shè)hλ1，則(ρ*;0,θρ*)∈X×R+為問(wèn)題(7)的一個(gè)分歧點(diǎn)，并且在(ρ*;0,θρ*)的領(lǐng)域內(nèi)存在正解

Γ*={(ρ(s);s(φ*+Φ2(s)),

θρ*+s(ψ*+Ψ2(s))):0

x∈Ω,

4 局部分歧正解的延拓

利用文獻(xiàn)[11]中的全局分歧理論，將局部分歧延拓為全局分歧.

定理5 在定理3的條件下，問(wèn)題(7)發(fā)自(ρ*;θ,0)的的局部分歧正解Γ*可以延拓為全局分歧.特別地，存在常數(shù)d′充分大，使得當(dāng)d1≥d′時(shí)，全局分歧曲線隨參數(shù)ρ延伸到無(wú)窮.

證明 在式(9)中，令K為(-Δ)-1，則其等價(jià)于

定義算子T:R+×X→X為

令ρ>ρ*,?ξ≥1,i≥2,有λi(ξ,qρ)>λ1(ξ,qρ*)>λ1(1,qρ*)=0.因此，T′(ρ)沒有大于或等于1的特征值.此時(shí)i((T(ρ);·),0)=1.

設(shè)存在充分小的ε>0,使得ρ*-ε<ρ<ρ*,λ2(ξ,qρ*-ε)≥λ1(ξ,qρ*),則?ε≥1,i≥2有λi(ξ,qρ)≥λ2(ξ,qρ)>λ2(ξ,qρ*-ε)≥λ1(ξ,qρ*)≥λ1(1,qρ*)=0.

其中

那么

(12)

由全局分歧定理知，定理3中得到的局部分歧正解Γ*可以延拓為全局分歧，令E為Γ*沿ρ方向的連通分支，則E為問(wèn)題(7)由(ρ*;θ,0)出發(fā)的解曲線.令P=P1×P2,其中

易得在(ρ*;θ,0)的小鄰域內(nèi)，E?P.再由全局分歧定理得E-(ρ*;θ,0)必滿足下列條件之一：

(a)E從(ρ*;θ,0)連接到(ρ1;0,0)；

(b)E從(ρ*;θ,0)連接到(ρ′;θ,0)，其中ρ′≠ρ*；

(c)E從(ρ*;θ,0)連接到(ρ2;0,θρ)；

(d)E在R+×P內(nèi)由(ρ*;θ,0)沿參數(shù)ρ延伸到∞.

用反證法證明，當(dāng)d1充分大時(shí)(c)也不成立.假設(shè)dn→,ρn→ρ2,(Un,Vn)

在[L(Ω)]2中收斂到(0,θρ)，由(un,vn)與(Un,Vn)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系知道(un,vn)→(0,θρ).現(xiàn)令,則滿足方程

由以上討論可知(d)成立，即有E-{(d′;θ,0)}?P,因?yàn)椤琔‖,‖V‖∞有界，全局分歧曲線只能隨參數(shù)ρ延伸到無(wú)窮.

定理6 在定理4的條件下，問(wèn)題(7)發(fā)自(ρ*;0,θρ*)的的局部分歧正解Γ*可以延拓為全局分歧.且存在常數(shù)d′充分大，使得當(dāng)d2≥d′時(shí)，全局分歧曲線隨參數(shù)ρ延伸到無(wú)窮.

5 結(jié) 論

本文利用上下解法得到模型正解的先驗(yàn)估計(jì)，證明解在一定條件下是有界的；采用分歧定理證明該模型的局部分歧解存在且能夠延拓為全局分歧，表明捕食者和食餌在一定條件下可以共存.在前人的研究基礎(chǔ)上，本文考慮了帶交叉擴(kuò)散項(xiàng)的Michaselis-Menten捕食模型在Dirichlet邊界條件下解的分歧和延拓，而因能力、時(shí)間等原因，關(guān)于該模型的有些內(nèi)容仍需進(jìn)一步探討研究，比如該模型的解的穩(wěn)定性問(wèn)題，模型在Numman邊界條件下的解的存在性問(wèn)題，模型解的數(shù)值模擬等都仍存在繼續(xù)研究的空間.

[1] CLARK C W.Mathematical Models in the Economics of Renewable Resources[J].SLAM Rev,1979,21:81.

[2] DAS T,MUKHERJEE R N,CHAUDHARI K S.Bioeconomic Harvesting of a Prey-predator Fishery [J].J Biol Dyn,2009,3:44.

[3] KRISHNA S V,SRINIVASU P D U,KAYMACKCALAN B.Conservation of an Ecosystem Through Optimal Taxation[J].Bull Math Biol,1998,60:569.

[4] GUPTA R P,CHANDRA P.Bifurcation Analysis of Modified Leslie-Gower Predator-prey Model with Michaelis-Menten Type Prey Harvesting [J].J Math Anal Appl,2013,398:278.

[5] JI Chunyan,JIANG Daqing,SHI Ningzhog.Analysis of a Predator-prey Model with Modified Leslie-Gower And Holling-typeⅡ Schemes with Stochastic Perturbation[J].J Math Anal Appl,2009,359:482.

[6] JI Chunyan,JIANG Daqing,SHI Ningzhog.A Note on a Predator-prey Model with Modified Leslie-Gower and Holling-typeⅡ Schemes with Stochastic Perturbation[J].J Math Anal Appl,2011,377(1):435.

[7] 王妮婭,李艷玲.一類帶收獲率的的捕食模型的全局分歧和穩(wěn)定性[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015,38(1):25.

WANG Niya,LI Yanling.Global Bifurcation and Stability of a Class of Predator-prey Models with Prey Harvesting [J].Journal of Anhui Normal University (Natural Science Edition) ,2015,38(1):25.

(in Chinese)

[8] 葉其孝,李正元,王明新.反應(yīng)擴(kuò)散方程引論[M].北京：科學(xué)出版社,2011.

YE Qixiao,LI Zhengyuan,WANG Mingxin.Introduction of Reaction-diffusion Equations[M].Beijing Science Press,2011.(in Chinese)

[9] 王妮婭,李艷玲.一類捕食-食餌模型正解的存在性和穩(wěn)定性[J].紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào),2015,28(1):48.

WANG Niya,LI Yanling.Existence and Stability of Positive Solutions for a Kind of Prey-predator Model with Predator Saturation and Competition[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2015,28(1):48.(in Chinese)

[10] 何堤,容躍堂,王曉麗,董苗娜.一類具有交叉擴(kuò)散的捕食-食餌模型的局部分歧[J].西安工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2015,35(11):872.

HE Di,RONG Yuetang,WANG Xiaoli,DONG Miaona.Local Bifurcation for a Prey-preda-tor Model with Cross-diffusion[J].Journal of Xi’an Technological University,2015,35(11):872.(in Chinese)

[11] 馮孝周,吳建華.具有飽和與競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)的捕食系統(tǒng)的全局分歧及穩(wěn)定性[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2010,30(7):979.

FENG Xiaozhou,WU Jianhua.Global Bifurcation and Stability for Predator-prey Model with Predator Saturation and Competition[J].Journal of System Science and Mathematical Science,2010,30(7):979.(in Chinese)

(責(zé)任編輯、校對(duì) 肖 晨)

【相關(guān)參考文獻(xiàn)鏈接】

馮孝周,張永鋒.一類捕食與被捕食模型的平衡態(tài)局部分歧解及穩(wěn)定性[J].2007,27(3)：274.

王預(yù)震.一類帶Mound-Haldane反應(yīng)項(xiàng)的捕食模型的局部共存解的存在性及其穩(wěn)定性[J].2007,27(6)：595.

馮孝周,陳法超.一類Holling

Tanner捕食模型正常數(shù)平衡態(tài)解的穩(wěn)定性[J].2008,28(5)：502.

馮孝周,馬曉麗,張永鋒.具有功能反應(yīng)項(xiàng)的捕食模型非負(fù)常數(shù)平衡解的穩(wěn)定性[J].2010,30(1)：87.

馬曉麗.一類具有交叉擴(kuò)散的捕食模型的整體分歧[J].2010,30(5)：506.

李暢通,戴飛,馮孝周.具有脈沖控制的Ivlev型捕食系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為[J].2012,32(1)：5.

李暢通.一類具有密度制約的捕食與被捕食系統(tǒng)的定性分析[J].2012,32(7)：517.

馮孝周,馬曉麗.具有飽和與競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)的捕食模型共存解的惟一性[J].2014,34(1)：11.

戴飛,馮孝周,李暢通.具有密度依賴的Monod-Haldane反應(yīng)項(xiàng)的捕食模型共存解的存在性[J].2014,34(11)：861.

何堤,容躍堂,王曉麗,等.一類具有交叉擴(kuò)散的捕食

食餌模型的局部分歧[J].2015,35(11)：871.

Prey-Predator Model with Cross-Diffusion and Michaselis-Menten Type Prey Harvesting

DONGMiaona,RONGYuetang,WANGXiaoli,YINZhenjie

(School of Science,Xi’an Polytechnic University,Xi’an 710048,China)

The paper discusses the existence of positive solutions to a kind of predator-prey model with cross-diffusion and Michaselis-Menten typed prey harvesting under homogeneous Dirichlet boundary conditions.By Crandall-Rabinowitz bifurcation theory,the existence of positive solutions to a local bifurcation is proved and the local bifurcation is developed to the global one,thus obtaining sufficient conditions of positive solutions,which shows that the predator and the prey coexist under certain conditions.

predator-prey model;cross-diffusion;positive solutions;global bifurcation

10.16185/j.jxatu.edu.cn.2016.11.005

2016-03-25 基金資助：陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目(2015JM1034)

董苗娜(1991-)，女，西安工程大學(xué)碩士研究生. 通訊作者：容躍堂(1960-)，男，西安工程大學(xué)教授，主要研究方向?yàn)槠⒎址匠汤碚摷捌鋺?yīng)用，偏微分方程數(shù)值解. E-mail:rongyuetang@126.com.

O175.26

A

1673-9965(2016)11-0883-08