幾何之父

高宏志

歐幾里得（Euclid）是古希臘著名數(shù)學(xué)家、歐氏幾何學(xué)開創(chuàng)者. 歐幾里得生于雅典，當(dāng)時(shí)雅典就是古希臘文明的中心. 濃郁的文化氣氛深深地感染了歐幾里得，當(dāng)他還是個(gè)十幾歲的少年時(shí)，就迫不及待地想進(jìn)入“柏拉圖學(xué)園”學(xué)習(xí).

一天，一群年輕人來(lái)到位于雅典城郊林蔭中的“柏拉圖學(xué)園”. 只見學(xué)園的大門緊閉著，門口掛著一塊木牌，上面寫著：“不懂幾何者，不得入內(nèi)！”這是當(dāng)年柏拉圖親自立下的規(guī)矩，為的是讓學(xué)生們知道他對(duì)數(shù)學(xué)的重視，然而卻把前來(lái)求教的年輕人給鬧糊涂了. 有人在想，正是因?yàn)槲也欢當(dāng)?shù)學(xué)，才要來(lái)這兒求教的呀，如果懂了，還來(lái)這兒做什么？正在人們面面相覷，不知是退、是進(jìn)的時(shí)候，歐幾里得從人群中走了出來(lái)，只見他整了整衣冠，看了看那塊牌子，然后果斷地推開了學(xué)園大門，頭也不回地走了進(jìn)去.

“柏拉圖學(xué)園”是柏拉圖40歲時(shí)創(chuàng)辦的一所以講授數(shù)學(xué)為主要內(nèi)容的學(xué)校. 在學(xué)園里，師生之間的教學(xué)完全通過對(duì)話的形式進(jìn)行，因此要求學(xué)生具有高度的抽象思維能力. 數(shù)學(xué)，尤其是幾何學(xué)，所涉及的對(duì)象都是普遍而抽象的東西. 它們同生活中的實(shí)物有關(guān)，但是又不同于這些具體的事物，因此學(xué)習(xí)幾何被認(rèn)為是尋求真理的最有效的途徑.

柏拉圖甚至聲稱：“上帝就是幾何學(xué)家. ”這一觀點(diǎn)不僅成為學(xué)園的主導(dǎo)思想，而且也為越來(lái)越多的希臘民眾所接受. 人們都逐漸地喜歡上了數(shù)學(xué)，歐幾里得也不例外. 他在有幸進(jìn)入學(xué)園之后，便全身心地沉潛在數(shù)學(xué)王國(guó)里. 他潛心求索，以繼承柏拉圖的學(xué)術(shù)為奮斗目標(biāo)，除此之外，他哪兒也不去，什么也不干，熬夜翻閱和研究柏拉圖的所有著作和手稿.可以說(shuō)，連柏拉圖的親傳弟子也沒有誰(shuí)能像他那樣熟悉柏拉圖的學(xué)術(shù)思想、數(shù)學(xué)理論. 經(jīng)過對(duì)柏拉圖思想的深入探究，他得出結(jié)論：圖形是神繪制的，所有一切現(xiàn)象的邏輯規(guī)律都體現(xiàn)在圖形之中. 因此，對(duì)智慧訓(xùn)練，就應(yīng)該從以圖形為主要研究對(duì)象的幾何學(xué)開始. 他確實(shí)領(lǐng)悟到了柏拉圖思想的要旨，并開始沿著柏拉圖當(dāng)年走過的道路，把幾何學(xué)的研究作為自己的主要任務(wù)，并最終取得了世人敬仰的成就.

最早的幾何學(xué)興起于公元前7世紀(jì)的古埃及，后經(jīng)古希臘人傳到古希臘的都城，又借畢達(dá)哥拉斯學(xué)派系統(tǒng)奠基. 在歐幾里得以前，人們已經(jīng)積累了許多幾何學(xué)的知識(shí)，然而這些知識(shí)存在一個(gè)很大的缺點(diǎn)和不足，就是缺乏系統(tǒng)性，它們大多數(shù)是片斷、零碎的，公理與公理之間、證明與證明之間并沒有什么很強(qiáng)的聯(lián)系性，更不要說(shuō)對(duì)公式和定理進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯論證和說(shuō)明. 因此，隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的繁榮和發(fā)展，特別是隨著農(nóng)林畜牧業(yè)的發(fā)展、土地開發(fā)和利用的增多，把這些幾何學(xué)知識(shí)加以條理化和系統(tǒng)化，成為一整套可以自圓其說(shuō)、前后貫通的知識(shí)體系，已經(jīng)是刻不容緩，成為科學(xué)進(jìn)步的大勢(shì)所趨. 歐幾里得通過對(duì)柏拉圖早期數(shù)學(xué)思想，尤其是幾何學(xué)理論系統(tǒng)而周詳?shù)难芯?，已敏銳地察覺到了幾何學(xué)理論的發(fā)展趨勢(shì). 他下定決心，要在有生之年完成這一工作. 為了完成這一重任，歐幾里得不辭辛苦，長(zhǎng)途跋涉，從愛琴海邊的雅典古城，來(lái)到尼羅河流域的埃及新埠——亞歷山大城，為的就是在這座新興的，但文化蘊(yùn)藏豐富的異域城市實(shí)現(xiàn)自己的初衷. 在此地的無(wú)數(shù)個(gè)日日夜夜里，他一邊收集以往的數(shù)學(xué)專著和手稿，向有關(guān)學(xué)者請(qǐng)教，一邊試著著書立說(shuō)，闡明自己對(duì)幾何學(xué)的理解，哪怕是尚膚淺的理解. 經(jīng)過歐幾里得忘我的勞動(dòng)，終于在公元前300年結(jié)出豐碩的果實(shí)，這就是幾經(jīng)易稿而最終定形的《幾何原本》一書. 這是一部傳世之作，幾何學(xué)正是有了它，不僅第一次實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)化、條理化，而且又孕育出一個(gè)全新的研究領(lǐng)域——?dú)W幾里得幾何學(xué)，簡(jiǎn)稱歐氏幾何.

《幾何原本》是一部集前人思想和歐幾里得個(gè)人創(chuàng)造性于一體的不朽之作. 傳到今天的歐幾里得著作并不多，然而我們卻可以從這部書詳細(xì)的寫作筆調(diào)中，看出他真實(shí)的思想底蘊(yùn).

全書共分13卷. 書中包含了5條“公理”、5條“公設(shè)”、23個(gè)定義和467個(gè)命題. 在每一卷內(nèi)容當(dāng)中，歐幾里得都采用了與前人完全不同的敘述方式，即先提出公理、公設(shè)和定義，然后再由簡(jiǎn)到繁地證明它們， 這使得全書的論述更加緊湊和明快. 而在整部書的內(nèi)容安排上，也同樣貫徹了他的這種獨(dú)具匠心的安排. 它由淺到深，從簡(jiǎn)至繁，先后論述了直邊形、圓、比例論、相似形、數(shù)、立體幾何以及窮竭法等內(nèi)容. 其中有關(guān)窮竭法的討論，成為近代微積分思想的來(lái)源. 僅僅從這些卷帙的內(nèi)容安排上，我們就不難發(fā)現(xiàn)，這部書已經(jīng)基本囊括了幾何學(xué)從公元前7世紀(jì)的古埃及，一直到公元前4世紀(jì)的古希臘——?dú)W幾里得生活時(shí)期——前后總共400多年的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史. 這其中，頗有代表性的便是在第1卷到第4卷中，歐幾里得對(duì)直邊形和圓的論述. 正是在這幾卷中，他總結(jié)和發(fā)揮了前人的思維成果，巧妙地論證了畢達(dá)哥拉斯定理，也稱“勾股定理”，即在一直角三角形中，斜邊上的正方形的面積等于兩條直角邊上的兩個(gè)正方形的面積之和. 他的這一證明，從此確定了勾股定理的正確性并延續(xù)了2 000多年. 《幾何原本》是一部在科學(xué)史上千古流芳的巨著. 它不僅保存了許多古希臘早期的幾何學(xué)理論，而且通過歐幾里得開創(chuàng)性的系統(tǒng)整理和完整闡述，使這些遠(yuǎn)古的數(shù)學(xué)思想發(fā)揚(yáng)光大. 它開創(chuàng)了古典數(shù)論的研究，在一系列公理、定義、公設(shè)的基礎(chǔ)上，創(chuàng)立了歐幾里得幾何學(xué)體系，成為用公理化方法建立起來(lái)的數(shù)學(xué)演繹體系的最早典范. 照歐氏幾何學(xué)的體系，所有的定理都是從一些確定的、不需證明而礴然為真的基本命題即公理演繹出來(lái)的. 在這種演繹推理中，對(duì)定理的每個(gè)證明必須或者以公理為前提，或者以先前就已被證明了的定理為前提，最后做出結(jié)論. 這一方法后來(lái)成了用以建立任何知識(shí)體系的嚴(yán)格方式，人們不僅把它應(yīng)用于數(shù)學(xué)中，也把它應(yīng)用于科學(xué)中，而且也應(yīng)用于神學(xué)甚至哲學(xué)和倫理學(xué)中，對(duì)后世產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響. 盡管歐幾里得的幾何學(xué)在差不多2 000年間，被奉為嚴(yán)格思維的范例，但實(shí)際上它并非那么完美. 人們發(fā)現(xiàn)，一些被歐幾里得作為不證自明的公理，卻難以自明，越來(lái)越遭到懷疑. 比如“第五平行公設(shè)”，歐幾里得在《幾何原本》一書中斷言：“通過已知直線外一已知點(diǎn)，能作且僅能作一條直線與已知直線平行. ”這個(gè)結(jié)果在普通平面當(dāng)中尚能夠得到經(jīng)驗(yàn)的印證，但是在無(wú)處不在的閉合球面之中（地球就是個(gè)大曲面）這個(gè)平行公理卻是不成立的. 俄國(guó)人羅巴切夫斯基和德國(guó)人黎曼由此創(chuàng)立了非歐幾何學(xué).

歐幾里得將公元前7世紀(jì)以來(lái)希臘幾何積累起來(lái)的豐富成果整理在嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)之中，使幾何學(xué)成為一門獨(dú)立的、演繹的科學(xué). 除了《幾何原本》之外，他還有不少著作，可惜大都失傳. 《已知數(shù)》是除《原本》之外唯一保存下來(lái)的他的希臘文純粹幾何著作，體例和《原本》前6卷相近，包括94個(gè)命題，指出若圖形中某些元素已知，則另外一些元素也可以確定. 《圖形的分割》現(xiàn)存拉丁文本與阿拉伯文本，論述用直線將已知圖形分為相等的部分或成比例的部分. 《光學(xué)》是早期幾何光學(xué)著作之一，研究透視問題，敘述光的反射角等于入射角，認(rèn)為視覺是眼睛發(fā)出光線到達(dá)物體的結(jié)果. 還有一些著作未能確定是否屬于歐幾里得，而且已經(jīng)散失.

除了《幾何原本》之外，歐幾里得還有另外五本著作流傳至今. 它們與《幾何原本》一樣，內(nèi)容都包含定義及證明.