蝶形電阻網絡圓周邊界任意端口間等效電阻的計算

胡菊菊，王一凡，嵇英華

(江西師范大學 物理通信電子學院，江西 南昌 330022)

蝶形電阻網絡圓周邊界任意端口間等效電阻的計算

胡菊菊，王一凡，嵇英華

(江西師范大學 物理通信電子學院，江西 南昌 330022)

本文將電路理論中的網孔分析法與遞歸變換法相結合，給出了一種求解蝶形電阻網絡圓周邊界任意端口間等效電阻的簡捷方法。計算過程中，首先基于網孔分析法建立了非線性的差分方程組，隨后利用矩陣變換方法，將非線性差分方程組轉化為線性的差分方程組。此外，本文將一般外加單一電流源求等效電阻的策略推廣為外加多個電流源，由此獲得的等效電阻解析表達式可適用于計算任意端口的等效電阻。

遞歸-變換；蝶形網絡；等效電阻

0 引言

最近十年來，不僅幾種典型梯形電阻網絡等效電阻的計算受到人們較大的關注，而且蝶形電阻網絡等效電阻的計算也日益受到重視[1-3]。 文獻[4]應用遞歸變換法，初步研究了蝶形電阻網絡的徑向等效電阻。顯然，人們還常常需要知道如圖1所示的蝶形電阻網絡沿圓周邊界任意兩個端點間的等效電阻。為此，本文在文獻[4]的基礎上，將電路理論中的網孔分析法與遞歸變換法相結合，給出了計算蝶形電阻網絡圓周邊界任意端口間等效電阻的一種簡捷方法。

1 模型與網孔電流方程

為說明問題簡捷起見，本文先詳細計算圖1所示的5×N階蝶形電阻網絡圓周邊界任意端口間等效電阻，再給出一般的推廣表達式。

圖1中各節(jié)點的標示規(guī)則為：沿圓周按順時針方向，標示為Ak(k=0,1,2…,N-1)；沿徑向由中心向邊緣，標示為Bm(m=1,2，…,5)。 網孔電流由內向外標示為imk，方向均取為順時針。在圖1中，徑向電阻的阻值均為r0，外邊界圓周方向電阻的阻值為2r，其他圓周方向電阻的阻值均為r。為給出端口處的電流-電壓關系，沿著圓周邊界，在相鄰輸入端點間施加電流源。如圖2所示，外加電流源分別為isn(n=1,2,…,N)。

圖1 5×N階蝶形電阻網絡

圖2 外加電流源法計算蝶形電阻網絡端口的等效電阻

無外加電流源作用時，選擇第k列的5個獨立網孔，應用網孔分析法列出如下網孔電流矩陣方程

Ik+1=CIk-Ik-1

(1)

式(1)中網孔電流矩陣定義為

Ik=(i1ki2ki3ki4ki5k)T

(2)

無量綱的5×5參數矩陣C則為(a=r/r0)

(3)

2 矩陣變換

式(1)為一個非線性的差分方程，可以應用文獻[5]給出的遞歸—變換法求解.設參數矩陣C的本征值為λm(m=1,2,…,5), 滿足如下的久期方程

det|C-λmE|=0

(4)

E為單位矩陣.引入一個5×5的滿足如下約束方程的變換矩陣S

SCS-1=diag(λ1λ2λ3λ4λ5)

(5)

根據式(3)與(4)，在r0=r的情形下，對約束方程式(5)直接計算后可得變換矩陣S為

(6)

(7)

對應于參數矩陣C的本征值λm為

λm=2+2a(1-cosθm)

(8)

將變換矩陣S作用于式(1)兩邊，并結合式(5)，式(1)將變換成：

Yk+1=TYk-Yk-1

(9)

(10)

式(9)實際上描述了如下五個獨立的線性差分方程：

(11)

m=1,2,…,5,設αm與βm是式(11)對應的特征方程

(12)

的特征根，不難得到

αm=1+α(1-cosθm)+A

(13)

βm=1+α(1-cosθm)-A

(14)

基于遞歸法，第k列相應的廣義網孔電流的解析表達式為

(15a)

k=1,2,…,N，其中

(15b)

3 邊界條件

為了計算任意兩個端點間的等效電阻，下面需要考慮外加電流源的作用以及邊界條件。考慮到蝶形網絡的周期性，故不失一般性，總可以設p=0，q=x(0≤x≤N)。具體計算方法是：如果我們需要計算A0-Ax端點間的等效電阻，則令A0-Ax間的外加電流源都等于一個不為零的常數iS，不在A0-Ax間的外加電流源則取值為零，即

(16)

從等效的角度，該式等效于將一個外加電流源 施加于端點A0-Ax之間。在外加電流源的作用下，遞推關系式(14)必須修改為如下的分段遞推關系

(17)

(18)

對于k=0,x的邊界點，應用前面完全相同的推導步驟，可得

Y1+YN-1=TY0-aSIS0

(19)

Yx+1+Yx-1=TYk-aSIsk

(20)

其中

IS0=ISx=(is0 0 0 0)T

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

聯立求解式(22)-式(25)，可以得到

(26)

(27)

4 蝶形電阻網絡端口處的等效電阻

由式(3)與式(14)，不難得到

(28)

ST表示矩陣S的轉置矩陣，即有

(29)

由此，通過圓周外邊界(m=5)各個電阻上的電流則為

ik=i5k-is

(30)

則A0-Ax端點間的等效電阻Rx為

(31)

這正是文獻[4]應用支路電流法得到的等效電阻猜想解析表達式。

事實上，我們可以很方便地將式(31)推廣至計算M×N階蝶形電阻網絡圓周邊界端點間的等效電阻.具體做法如下：將圖1與圖2分別擴展為M×N階蝶形電阻網絡，選擇第k列的M個獨立網孔，應用網孔分析法列出網孔電流方程。對于M×N階蝶形電阻網絡，式(6)中的變換矩陣S應修改為

(32)

(33)

基于式(32)與式(33)，采用與前面完全相同的推導變換，對于 階蝶形電阻網絡，即有

(34)

(參見文獻[6])

5 結語

本文以 階蝶形電阻網絡為例，將電路分析中的網孔分析法與組合數學中的遞歸變換法相結合，嚴格推導了蝶形電阻網絡圓周邊界任意端口間等效電阻，給出了等效電阻通用的解析表達式。計算過程中，首先基于網孔分析法建立了非線性的差分方程組，隨后利用矩陣變換方法，將非線性的差分方程組轉化為線性的差分方程組。整個求解過程思路簡捷清晰，計算程序規(guī)范。

(胡菊菊等文)

[1] J.W.Essam, F.Y.Wu.The exact evaluation of the corner-to-corner resistance of an M×N resistor network:asymptotic expansion [J].J.Phys.A:Math.Theor., 2009, 42 1-10.

[2] J.W.Essam, Z.Z.Tan, F.Y.Wu.Resistance between two nodes in general position on an m×n fan network [J] Phys.Rev.E 90, 2014, 032130.

[3] Z.Z.Tan, L.Zhou, J.H.Yang.The equivalent resistance of a 3×n cobweb network and its conjecture of an m×n cobweb network [J].J.Phys.A:Math.Theor., 2013, 46 195202.

[4] Z.Z.Tan, J.H.Fang.Two-point resistance of a cobweb network with a 2r boundary [J].Commun.Theor.Phys., 2015, 63 36-44.

[5] Z.Z.Tan.Recursion-transform method for computing resistance of the complex resistor network with three arbitrary boundaries [J].Phys.Rev.E 91, 2015, 052122.

[6] Z.Z.Tan, L.Zhou, D.F.Luo.Resistance and capacitance of 4×n cobweb network and two conjectures [J].Int.J.Circ.Theor.Appl., 2015, 43 329-341.

Equivalent Resistance Between Arbitrary Ports on the Circle Boundary in the Butterfly Resistance Network

HU Ju-ju, WANG Yi-fan, JI Ying-hua

(CollegeofPhysicsandCommunicationElectronics,JiangxiNormalUniversity,Nanchang330022,China)

This paper proposes a simple method for equivalent resistance between arbitrary ports on the circle boundary in the butterfly resistance network by the mesh analysis in circuit theory and the recursion-transformation in combination mathematics.During the calculations, nonlinear difference equations are firstly built based on mesh analysis, and then matrix transformation is used to transform the nonlinear difference equations to linear equations.Furthermore, singlet current source is extended to multiple current sources to solve equivalent resistance, the obtained analytic expressions apply to the equivalent resistance between arbitrary ports.

recursion-transformation; butterfly network; equivalent resistance

2016-01-28;

2016-04-15 基金項目:：江西省高等學校教學改革研究課題資助(課題編號：JXJG-14-2-30)

胡菊菊(1979-)，女，博士，副教授，主要從事通信工程專業(yè)課程教學與激光混沌的研究工作,E-mail:jxnuhjj@126.com

O441

A

1008-0686(2016)06-0074-04