從極大似然原理到單脈沖公式

徐振海，王羅勝斌，劉興華

(國(guó)防科技大學(xué) 電子信息系統(tǒng)復(fù)雜電磁環(huán)境效應(yīng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410073)

從極大似然原理到單脈沖公式

徐振海，王羅勝斌，劉興華

(國(guó)防科技大學(xué) 電子信息系統(tǒng)復(fù)雜電磁環(huán)境效應(yīng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410073)

本文首先推導(dǎo)得到大信噪比條件下單脈沖比的近似公式；然后根據(jù)和、差通道噪聲特性求得單脈沖比的統(tǒng)計(jì)特性；最后利用極大似然估計(jì)原理推導(dǎo)單脈沖公式，同時(shí)得出了信噪比的極大似然估計(jì)。研究建立了單脈沖與極大似然估計(jì)的理論聯(lián)系。該研究不僅有利于“雷達(dá)原理”課程教學(xué)，同時(shí)對(duì)雷達(dá)工程實(shí)踐也有參考價(jià)值。

極大似然原理；單脈沖公式

0 引言

在“雷達(dá)原理”課程教學(xué)中，單脈沖測(cè)角是一項(xiàng)重要內(nèi)容。單脈沖測(cè)角原理是通過(guò)比較天線波束同時(shí)接收的兩個(gè)或多個(gè)信號(hào)從而獲取目標(biāo)的精確角度。理想條件下，無(wú)論“比幅”或“比相”單脈沖最終得到線性的鑒角曲線，即單脈沖比與目標(biāo)角度呈線性關(guān)系：

(1)

式中：Σ、Δ分別表示和、差通道輸出電壓，s、d分別對(duì)應(yīng)目標(biāo)的和、差通道電壓，θ為目標(biāo)角度，K為單脈沖斜率。

可以看出，只要測(cè)量得到單脈沖比即可求得目標(biāo)角度。實(shí)際條件下考慮到和、差通均有道熱噪聲的存在，單脈沖比應(yīng)為

(2)

其中：nΣ、nΔ分別表示和、差通道熱噪聲。假定和、差通道熱噪聲服從零均值復(fù)高斯分布，并且相互獨(dú)立，噪聲強(qiáng)度均為σ2，則有：E[nΣ]=E[nΔ]=0，E[nΣ·nΔ]=0，E[|nΣ|2]=E[|nΔ|2]=σ2。

受熱噪聲的影響單脈沖比出現(xiàn)了虛部，在實(shí)際應(yīng)用中直接取單脈沖比的實(shí)部進(jìn)行測(cè)角，即：

(3)

之所以這么處理，文獻(xiàn)[1-4]給出的理由是：目標(biāo)只對(duì)實(shí)部有貢獻(xiàn)，虛部是由熱噪聲引起的。在課堂講授過(guò)程中，學(xué)生對(duì)此理解起來(lái)較困難，并提出直接將單脈沖比取實(shí)部運(yùn)算是否合理？學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)提出了較多類似質(zhì)疑。鑒于此，筆者對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了深入研究。

要想徹底解決該問(wèn)題，必須從單脈沖比的統(tǒng)計(jì)特性出發(fā)，但直接根據(jù)式(2)推導(dǎo)單脈沖比的統(tǒng)計(jì)分布比較困難。筆者采用的思路是：首先推導(dǎo)大信噪比條件下單脈沖比的近似公式；然后根據(jù)和、差通道噪聲特性獲得單脈沖比的統(tǒng)計(jì)特性；最后利用極大似然估計(jì)原理推導(dǎo)出單脈沖測(cè)角公式。

1 單脈沖比近似

(4)

將式(1)代入式(4)可得：

(5)

當(dāng)和通道SNR很高時(shí)，單脈沖比近似為

(6)

考慮到熱噪聲信號(hào)相位的隨機(jī)性，不妨令s為實(shí)數(shù)，或者在復(fù)平面上以和信號(hào)矢量為參考，上式簡(jiǎn)化為

(7)

2 單脈沖比統(tǒng)計(jì)特性

根據(jù)和、差通道噪聲統(tǒng)計(jì)特性可知，單脈沖比仍然服從復(fù)高斯分布，均值和方差分別為

E[χ]=Kθ

(8)

(9)

(10)

3 極大似然估計(jì)

根據(jù)式(10)可得目標(biāo)角度與信噪比的似然函數(shù)為

(11)

根據(jù)極大似然估計(jì)原理，似然函數(shù)對(duì)未知參數(shù)分別求偏導(dǎo)，并令之為零得到

(12)

(13)

根據(jù)式(12)可得

(14)

將式(14)代入式(13)可得：

(15)

至此，從極大似然估計(jì)原理推導(dǎo)出單脈沖公式，單脈沖測(cè)角是極大似然估計(jì)的結(jié)果。另外還要注意，單脈沖測(cè)角公式是在SNR足夠高的前提下得到的，如果SNR不是足夠高，應(yīng)用單脈沖公式是有一定風(fēng)險(xiǎn)的。

同時(shí)將式(15)代入式(14)還可得到SNR的極大似然估計(jì)為

(16)

這個(gè)極大似然估計(jì)的“副產(chǎn)品”，在任何教材中均未見(jiàn)到，為目標(biāo)回波信噪比估計(jì)提供精確公式。

4 結(jié)語(yǔ)

本文從極大似然估計(jì)出發(fā)詳細(xì)推導(dǎo)了單脈沖測(cè)角公式。在高信噪比條件下單脈沖測(cè)角公式與極大似然估計(jì)是一致的，并且還得到了信噪比的極大似然估計(jì)結(jié)果，這是在任何已有的文獻(xiàn)中還未見(jiàn)到的。

(徐振海等文)

在“雷達(dá)原理”的教學(xué)方面，該研究是對(duì)《雷達(dá)原理》教材的有益補(bǔ)充，對(duì)“雷達(dá)原理”知識(shí)點(diǎn)的講解以及學(xué)生的理解都十分有利。在雷達(dá)工程實(shí)踐方面，該研究提醒雷達(dá)工程師單脈沖測(cè)角公式在低信噪比時(shí)是有誤差的，并且為目標(biāo)回波信噪比估計(jì)提供了精確公式。

[1] Samuel M.Sherman, David K.Barton, Monopulse Principles and Techniques (Second Edition), Artrch House, 2011

[2] 王德純，丁家會(huì)，程望東，精密跟蹤測(cè)量雷達(dá)技術(shù)，北京：電子工業(yè)出版社，2006.03

[3] 斯科爾尼克，雷達(dá)手冊(cè)(第二版)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2003.07

[4] 丁鷺飛，耿富錄，陳建春，雷達(dá)原理(第四版)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2011.05

From Maximum Likelihood Principle to Monopulse Formula

XU Zhen-hai, WANG Luo-sheng-bin, LIU Xing-hua

(StateKeyLaboratoryofComplexElectromagneticEnvironmentEffectsonElectronicsandInformationSystem,NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha410073,China)

At first, the monopulse ratio is approximated on the high SNR condition.Then the statistical property of monopulse ratio is obtained based on thermal noise in sum and difference channels.Finally, the monopulse formula is derived from maximum likelihood principle.Meanwhile, the SNR is estimated as byproduct.This work establishes a contact between monopulse and maximum likelihood principle.Both the teaching and radar engineering practice will benefit from this work.

maximum likelihood principle; monopulse formula

2016-01-09;

2016-04-03

徐振海(1977-)，男，博士，研究員，主要從事陣列雷達(dá)信號(hào)處理等領(lǐng)域的教學(xué)、科研工作，E-mail:drxzh930@sina.com

TN951;G642.3

A

1008-0686(2016)06-0066-03