高中數(shù)學(xué)中的分類討論思想

龔波

（江西省南昌市十三中）

高中數(shù)學(xué)中的分類討論思想

龔波

（江西省南昌市十三中）

數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，在此過(guò)程中，教師不僅需要教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，更應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想。分類討論既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是解決問(wèn)題的邏輯方法。這種方法對(duì)于簡(jiǎn)化研究對(duì)象、發(fā)展人的思維有著重要幫助。在教學(xué)活動(dòng)中“分類討論思想”是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種重要手段，它能揭示研究對(duì)象之間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生可以用它解決問(wèn)題，使數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)更有條理。此外，運(yùn)用分類討論來(lái)解決的題目在高考試題中也必然存在。重點(diǎn)論述高中數(shù)學(xué)中分類討論的原理、類型以及討論的步驟，講述分類討論的具體應(yīng)用。

高中數(shù)學(xué)；分類討論；數(shù)學(xué)思想

一、分類討論思想的概念

所謂分類討論，就是在解決一個(gè)問(wèn)題時(shí)，若所研究對(duì)象或者答案不能統(tǒng)一表述，我們就按照某一確定標(biāo)準(zhǔn)，將對(duì)象嚴(yán)格按標(biāo)準(zhǔn)分為幾個(gè)小類，然后逐一研究每一類情況，最后綜合各類結(jié)果，得到完整答案。這樣的思想方法，我們就稱之為“分類討論思想”。

分類討論是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種重要手段，是解決問(wèn)題的一種重要思想方法。它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與方法。

二、分類討論的原則

想要完整準(zhǔn)確地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，必須遵循分類討論的原則。

復(fù)雜問(wèn)題存在不確定因素，或者答案不能統(tǒng)一表述，此時(shí)可以將其劃分為幾個(gè)簡(jiǎn)單子問(wèn)題。首先，必須明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，即分類的標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能出現(xiàn)按不同標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分類，這是正確分類的前提。其次，做到不重復(fù)、不遺漏，一個(gè)元素不能既在這一類，又在另一類；同時(shí)，在將每一類解答綜合時(shí)應(yīng)與原題等價(jià)。最后，注意多層分類時(shí)，不能越層次討論。

三、分類討論思想解題的一般步驟

1.確定什么要分類討論以及分類的準(zhǔn)則

2.對(duì)需要討論的問(wèn)題進(jìn)行準(zhǔn)確的分類

3.逐類討論：即對(duì)各類問(wèn)題分別解答

4.歸納總結(jié)各類答案，整合得出最后結(jié)論。

四、具體應(yīng)用與實(shí)例

1.因數(shù)學(xué)定義和規(guī)則必須分類討論的

如，開偶次方、不等式兩邊同乘、去絕對(duì)值等。

2.由定理、性質(zhì)、公式的限制引起的分類討論

對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性因底數(shù)a的取值范圍不同而不同，故需對(duì)a進(jìn)行分類討論。

3.由幾何圖形中由于相對(duì)位置不確定引起的分類討論

4.某些含有參數(shù)的問(wèn)題，由于參數(shù)的取值不同對(duì)結(jié)果有影響，所以要分類討論

例如，有關(guān)一元二次函數(shù)最值、值域等問(wèn)題，如果含有參數(shù)，需要對(duì)開口方向、對(duì)稱軸的位置進(jìn)行分類討論，最后綜合各種情況得到答案。

5.其他情形，具體問(wèn)題要根據(jù)實(shí)際情況具體分析

對(duì)于何時(shí)需要分類討論，則要視具體問(wèn)題而定，并沒有絕對(duì)規(guī)定，我們要在解題時(shí)不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。另外，數(shù)學(xué)中的一些結(jié)論一般情形是正確的，但要考慮特殊情況。解題時(shí)，應(yīng)注意就這些特殊情形進(jìn)行討論。常見的有以下幾例：

（1）“一元二次方程有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為Δ≥0時(shí)，忽略了個(gè)別情形：當(dāng)a=0時(shí)，方程有解不能轉(zhuǎn)化為Δ≥0；

（2）等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中：q=1時(shí)，公式不成立，而是Sn= na1。

（3）直線方程時(shí)，設(shè)直線的斜率為k，但當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)無(wú)斜率，應(yīng)另行討論。

五、教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程就是一個(gè)提出問(wèn)題、分析問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題的過(guò)程。分類討論思想正體現(xiàn)了這么一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程。遇到一個(gè)實(shí)際的復(fù)雜問(wèn)題，盲目地去做，這樣往往不能對(duì)問(wèn)題進(jìn)行很好的解決。根據(jù)自己掌握的知識(shí)，對(duì)原來(lái)的復(fù)雜問(wèn)題進(jìn)行分解，得到幾個(gè)簡(jiǎn)單的子問(wèn)題。為了做到問(wèn)題分解不重不漏，在分類講解時(shí)要具有條理性。對(duì)分解得到的每一個(gè)子問(wèn)題逐一進(jìn)行分析解答，并對(duì)所有子問(wèn)題的解進(jìn)行歸納總結(jié)，得到原問(wèn)題的完整解答。

分類與討論是解決高中數(shù)學(xué)復(fù)雜問(wèn)題的一個(gè)重要策略。它貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)理論體系，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中起著非常重要的作用。這一思想有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

數(shù)學(xué)思維的教學(xué)和數(shù)學(xué)的一般知識(shí)不一樣，很難在短時(shí)間內(nèi)掌握。教師在教學(xué)過(guò)程中不要急于求成，應(yīng)該在平時(shí)的教學(xué)中有意識(shí)地將分類討論的思想滲透其中，讓學(xué)生一步一步地學(xué)習(xí)分類方法，加強(qiáng)思考，提高解決復(fù)雜問(wèn)題的能力。最后，必須指出的是，不要盲目或機(jī)械地進(jìn)行分類討論，要與化歸思想、類比思想、數(shù)形結(jié)合思想等綜合，力求迅速準(zhǔn)確地解決問(wèn)題。

孫姣.多元化自學(xué)輔導(dǎo)法”在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐探索［J］.中國(guó)創(chuàng)新科技導(dǎo)刊，2011（32）.

·編輯王團(tuán)蘭