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    “學(xué)”的最高境界是“會學(xué)”

    2016-02-25 18:50:07任勇
    中國教師 2016年3期
    關(guān)鍵詞:題根會學(xué)解題

    任勇

    初為人師時,我不太清楚怎樣才能教好數(shù)學(xué),當(dāng)時的想法是設(shè)法讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)有趣,數(shù)學(xué)“好玩”,后來發(fā)現(xiàn),僅僅“好玩”層次低了些,還要盡力“玩好”。如何才能讓學(xué)生“玩好”數(shù)學(xué)呢?在數(shù)學(xué)教育被異化的當(dāng)時,許多教師的做法相對簡單,那就是強(qiáng)化訓(xùn)練,“題海”無邊。我試圖改變這種狀況,但又無法回避“一定訓(xùn)練量”這一數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)實(shí),于是在“題根”上進(jìn)行探索,取得明顯的成效。但數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),遠(yuǎn)不只是“做題”,還涉及數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)文化等的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟,“題根”之探,讓學(xué)生更易“學(xué)會”,略懂“會學(xué)”,但真正的“會學(xué)”還有很大的探索空間。于是,我又走進(jìn)“讓學(xué)生會學(xué)數(shù)學(xué)”的這個

    “探域”。

    一、從“好玩”到“玩好”

    “好玩”就是“引趣”,讓學(xué)生感到學(xué)習(xí)十分有趣,這是學(xué)習(xí)的原動力;“玩好”就是“引深”,讓學(xué)生不斷鉆研深入探索,這是學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。

    要讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)有趣,我當(dāng)時的做法是從“每課一趣”開始。每節(jié)課上都有一道以上的趣味數(shù)學(xué)題,或是數(shù)學(xué)游戲,或是數(shù)學(xué)智力趣題,或是趣味數(shù)學(xué)故事。有時在開講時講,有時在課末時講,有時滲透在課中講。趣題可以和所學(xué)內(nèi)容有關(guān),也可以與所學(xué)內(nèi)容無關(guān)。趣題一般不超綱,也可以適度超一點(diǎn)。趣題宜自然融入,力求起到引發(fā)興趣、激活思維、活躍課堂之效。

    我們先看一個例子:設(shè)想用一根僅比赤道周長多出1米的鉛絲圍成一個同心圓,憑直覺,同學(xué)們能否迅速地判斷一下:此時我們的拳頭能否從赤道與鉛絲的空隙處

    穿過?

    直覺告訴我們,1米與赤道周長相比,簡直微乎其微,幾乎可以忽略不計。赤道與鉛絲之間,別說是拳頭,就連一根鉛筆也很難通過。

    我們的判斷正確嗎?

    讓我們算一算吧!

    圖1是一個同心圓,OA表示地球半徑r,AB表示赤道與鉛絲之間的空隙。赤道長為2πr米,鉛絲長為(2πr+1)米,于是空隙寬度:

    (米)

    哇!有寬度為16厘米的空隙,我們的拳頭當(dāng)然能穿過。

    如此看來,有些數(shù)學(xué)現(xiàn)象,我們可以預(yù)先料及;有些數(shù)學(xué)現(xiàn)象,我們?nèi)绻粦{直覺,往往結(jié)果難以預(yù)料,甚至?xí)屛覀儭俺龀蟆薄?/p>

    現(xiàn)在看來,這“每課一趣”,就是“好玩”。

    初為人師的我,沒有什么數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn),但學(xué)生的學(xué)習(xí)成績卻不錯,多半是源于我的“每課一趣”。但如果年級出的試題稍難一點(diǎn),或有些創(chuàng)新題出現(xiàn),我班的成績就不會那么突出。我悟出“僅有好玩是不夠的”,還要“玩好”。怎么“玩好”呢?我當(dāng)時的做法是“每日一題”。就是每天出一道數(shù)學(xué)征解題,供學(xué)有余力的學(xué)生選作。征解題可以是課本問題的拔高,可以是身邊的精彩數(shù)學(xué)問題,可以是切合時宜的數(shù)學(xué)趣題。多數(shù)學(xué)生對每日一題也很感興趣,哪天沒有給出征解題,學(xué)生就會“若有所失”。征解題也可以由學(xué)生先提供給我,我簡單評判或修改后,署上學(xué)生的名字公布。

    現(xiàn)在看來,這“每日一題”,就是“玩好”。

    當(dāng)數(shù)學(xué)教師不容易,“數(shù)學(xué)好玩”要求我們“深入淺出”,而“玩好數(shù)學(xué)”要求我們“淺入深出”。從“數(shù)學(xué)好玩”到“玩好數(shù)學(xué)”,我們共同努力,共同走向“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”的境界。玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué),談何容易!需要數(shù)學(xué)教師堅持研修,把握好數(shù)學(xué)的橫向聯(lián)系和縱向深入,把握好數(shù)學(xué)的趣味性和拓展性,結(jié)合學(xué)生實(shí)際,將數(shù)學(xué)的“好玩”和“玩好”,像知時節(jié)的“好雨”適時潤入學(xué)生的心田。

    從某種角度說,“好玩”是數(shù)學(xué)的學(xué)科之美、形式之美、外在之美;“玩好”,是數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)之美、思維之美、探索之美。值得注意的是,“好玩”是要讓所有學(xué)生都能感受到的,“玩好”就不能要求所有學(xué)生一定都達(dá)到,這里有一個“度”的把握?!昂猛妗笔且环N境界,“玩好”是略高一層的境界,而在“好玩”與“玩好”之間把握好“度”就是一種理想的境界。

    二、從“題海”到“題根”

    “問題是數(shù)學(xué)的心臟?!睂W(xué)習(xí)數(shù)學(xué),關(guān)鍵之一是學(xué)會解題。解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教師的基本功,解題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的“微觀藝術(shù)”,任何藝術(shù)的精彩之處和感人之處,也許就在這“微觀”之中。

    例題教學(xué)是幫助學(xué)生掌握概念、定理及其他數(shù)學(xué)知識的手段,又是使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想、方法,形成技能技巧及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要手段。奧加涅相說得好:“必須重視,很多習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展其數(shù)學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可能性……從解本題到獨(dú)立地提出類似的問題和解答這些問題,這個過程顯然在擴(kuò)大解題的武器庫,學(xué)生利用類比和概括的能力在形成;辯證思維、思維的獨(dú)立性以及創(chuàng)造性的素質(zhì)也在發(fā)展?!睌?shù)學(xué)教育家波利亞也認(rèn)為,一個有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付煩瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目,還不如適當(dāng)選擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個方面,在指導(dǎo)學(xué)生解題過程中,提高他們的才智與推理

    能力。

    基于上述理念,我研究借“題”發(fā)揮問題,當(dāng)時還沒有“題根”一說,我就是設(shè)法尋找這樣的“題”。它盡可能地有多種解法,盡可能地有多種“變式”,盡可能地有多種用途。如果這道題的“背后”還有數(shù)學(xué)文化故事,那就更好了。以一道題為例,借題發(fā)揮,探索一題多解、一題多變、一題多用的價值,以期培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會從多層次、廣視角、全方位地認(rèn)識、研究問題,培養(yǎng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。這樣的“題”,就是現(xiàn)在許多數(shù)學(xué)教育專家所說的“題根”。

    我們看一道當(dāng)時課本中的題:已知a、b、m∈R+,且a

    先說“多解”的價值。

    一道數(shù)學(xué)題,由于思考的角度不同,可得到多種不同的思路。廣闊尋求多種解法,有助于拓寬解題思路,發(fā)展觀察、想象、探察、探索、思維的能力。

    我引導(dǎo)學(xué)生用分析法、綜合法、求差比較法、求商比較法、反證法進(jìn)行證明,并開玩笑地和學(xué)生說,證到此你們大概可得30分,學(xué)生疑惑而興奮;又引導(dǎo)學(xué)生用放縮法、構(gòu)造函數(shù)法、增量法進(jìn)行證明,我說這下可以得50分了,學(xué)生“胃口大開”;再引導(dǎo)他們進(jìn)一步研究,用定比分點(diǎn)法、斜率法、三角法、幾何模型法進(jìn)行證明,我高興地說,你們現(xiàn)在可以得到70分啦!學(xué)生不甘愿地說,一題12解,才70分!我微笑著說,“解”無止境??!學(xué)生課后還可以再探索,告訴大家,至少還有12種不同的解法,全班學(xué)生驚愕!“憤悱之情”,可想而知。

    事實(shí)上,繼續(xù)研究,至少還可得到用正弦定理法、相似三角形法、換元法、雙換元法、綜合法及放縮法、定義域及值域法、橢圓離心率法、雙曲線離心率法、函數(shù)圖象法、兩直線位置關(guān)系法、矩形面積法、定積分法的證明。

    次說“多變”的價值。

    一個例題,如果靜止地、孤立地去解答它,那么再好充其量只不過解決了一個問題。數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)突出探索活動,探索活動不僅停留在對原習(xí)題解法的探索上,還應(yīng)適當(dāng)?shù)?、有機(jī)地對原習(xí)題進(jìn)行深層探索,挖掘出更深刻的結(jié)論。這就是數(shù)學(xué)教學(xué)中的變式藝術(shù)。

    變式,是一種探索問題的方法,也是一種值得提倡的學(xué)習(xí)方法;變式,可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,可以有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。

    我引導(dǎo)學(xué)生“變啊變”,最后變成:

    若ai、bi∈R+(I=1,2,…,n),且<<…<,有

    學(xué)生感到“真過癮!”我說:“可以胡思亂想,但要小心論證?!?/p>

    發(fā)現(xiàn)問題,解決問題,觸類旁通,開拓創(chuàng)新的過程,不就是數(shù)學(xué)家的思維過程嗎?數(shù)學(xué)家做什么工作?就做這個工作。我們也來當(dāng)“數(shù)學(xué)家”。

    引申、推廣,是找出一些特殊問題中所蘊(yùn)含的事物發(fā)展的規(guī)律性,從而得到更廣泛的新結(jié)論。這種教學(xué)設(shè)計無疑會增強(qiáng)學(xué)生探求未知世界的信心和勇氣,使他們體會到成功的喜悅和創(chuàng)造性工作的歡樂。

    再說“多用”的價值。

    教學(xué)例題大多有其廣泛的應(yīng)用,這道題至少有下列應(yīng)用,所有解答略。

    應(yīng)用1:依次寫出與1之間的所有分母不大于10的分?jǐn)?shù)。

    應(yīng)用2:(高考題)若0

    A. B.

    C. D.

    應(yīng)用3:在a克糖和(b-a)克水中,加入m克糖,糖水都變甜嗎?

    應(yīng)用4:建筑學(xué)規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地面面積。但采光的標(biāo)準(zhǔn),窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%,并且這比值越大,住宅的采光條件越好。問,同時增加相等的窗戶面積和地面積,住宅的采光條件是變好了還是變壞了?

    應(yīng)用5:(高考題)求證:(1+)(1+)…(1+)>(n∈N,n≥2)。

    應(yīng)用6:(奧賽題)求證: + >

    。

    其中,所有的字母都是正數(shù)。

    “題根”是一個題族的根祖,一個題系中的根基,一個題群中的代表,抓到一個題根,就等于抓到這個題族、這個題群、這個題系。通過“題根”,往往可以清楚地掌握基本知識和方法,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),從而有助于學(xué)生脫離“茫茫題?!?。

    三、從“學(xué)會”到“會學(xué)”

    在教育實(shí)踐中,我深深感到,一個學(xué)生要想取得優(yōu)良的學(xué)習(xí)效果,單靠教師教得好、教得得法,是不行的,自身還必須學(xué)得好、學(xué)得得法。遺憾的是,在教育理論和教學(xué)中,長期以來,教學(xué)多研究教,少研究學(xué)。實(shí)踐證明,忽視學(xué),教也會失去針對性,減弱實(shí)效性。

    于是,我把研究探域擴(kuò)大到學(xué)生學(xué)習(xí)領(lǐng)域,開始系統(tǒng)地指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí),期盼他們從“學(xué)會”走向“會學(xué)”。“學(xué)會”和“會學(xué)”看起來只是兩個字的顛倒,但意義卻大不相同?!皩W(xué)會”,只是說在學(xué)習(xí)的過程中掌握了某種知識和技能;“會學(xué)”,則是指在學(xué)習(xí)的過程中掌握學(xué)習(xí)方法,形成學(xué)習(xí)能力。

    我的學(xué)習(xí)指導(dǎo)與多數(shù)人所說的學(xué)習(xí)指導(dǎo)不盡相同,我進(jìn)行的是“全程滲透式學(xué)習(xí)指導(dǎo)”。數(shù)學(xué)滲透式是指教師以強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)指導(dǎo)意識為前提,密切結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué),把學(xué)習(xí)指導(dǎo)滲透到學(xué)生學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)計劃、課前預(yù)習(xí)、課堂學(xué)習(xí)、課后復(fù)習(xí)、獨(dú)立作業(yè)、學(xué)習(xí)總結(jié)、課外學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中,是提高學(xué)生學(xué)科學(xué)習(xí)能力的一種學(xué)習(xí)指導(dǎo)模式。強(qiáng)調(diào)“全程滲透”,旨在強(qiáng)化數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中全方位、多層次、廣渠道地進(jìn)行學(xué)習(xí)指導(dǎo)滲透,讓“學(xué)習(xí)指導(dǎo)”像無聲的細(xì)雨時時潤入學(xué)生的心田。

    在“學(xué)習(xí)計劃”方面,讓學(xué)生明確制訂學(xué)習(xí)計劃的好處,要求他們養(yǎng)成制訂學(xué)習(xí)計劃的習(xí)慣,指導(dǎo)他們制訂好學(xué)習(xí)計劃;在“課前預(yù)習(xí)”方面,要求學(xué)生養(yǎng)成習(xí)慣堅持預(yù)習(xí),教給學(xué)生預(yù)習(xí)數(shù)學(xué)的方法,檢查學(xué)生預(yù)習(xí)的效果;在“課堂學(xué)習(xí)”方面,注意數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)解題、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)方法的滲透;在“課后復(fù)習(xí)”方面,要求學(xué)生及時復(fù)習(xí)鞏固知識,教給學(xué)生數(shù)學(xué)課后的復(fù)習(xí)方法,檢查學(xué)生數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的效果;在“獨(dú)立作業(yè)”方面,教給學(xué)生科學(xué)地完成作業(yè)的方法,在批改作業(yè)中指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),在作業(yè)“再生”中提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性、積極性;在“學(xué)習(xí)總結(jié)”方面,注意數(shù)學(xué)知識的總結(jié)、數(shù)學(xué)解題技巧的總結(jié)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的總結(jié);在“課外學(xué)習(xí)”方面,指導(dǎo)數(shù)學(xué)課外閱讀、數(shù)學(xué)競賽、數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)習(xí)。

    在學(xué)習(xí)指導(dǎo)中,教師要自覺地學(xué)習(xí)科學(xué)理論和指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的技巧。教師在“指導(dǎo)”中,應(yīng)有所“指”,更要注重“導(dǎo)”,讓學(xué)法真正成為學(xué)生自主學(xué)習(xí)的工具。教師在滲透和提示學(xué)法后,還要加強(qiáng)定型訓(xùn)練,同時注意遷移。在教學(xué)中,滲透學(xué)法不能急于求成,應(yīng)由簡單到復(fù)雜,循序漸進(jìn)。教師指導(dǎo)應(yīng)具體明了,這樣便于學(xué)生操作。滲透式學(xué)習(xí)指導(dǎo)也不能全由教師包代,也可在教學(xué)中不斷引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)摸索自己的學(xué)習(xí)方法和總結(jié)他人的學(xué)習(xí)方法。

    從“好玩”到“玩好”,我從“自在”走向了“自為”;從“題海”到“題根”,我從“自為”走向了“自覺”;從“學(xué)會”到“會學(xué)”,我從“自覺”走向了“自由”。因?yàn)?,“學(xué)”的最高境界是“會學(xué)”。

    責(zé)任編輯:孫建輝

    sunjh@zgjszz.cn

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