“學(xué)”的最高境界是“會學(xué)”

任勇

初為人師時，我不太清楚怎樣才能教好數(shù)學(xué)，當(dāng)時的想法是設(shè)法讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)有趣，數(shù)學(xué)“好玩”，后來發(fā)現(xiàn)，僅僅“好玩”層次低了些，還要盡力“玩好”。如何才能讓學(xué)生“玩好”數(shù)學(xué)呢？在數(shù)學(xué)教育被異化的當(dāng)時，許多教師的做法相對簡單，那就是強(qiáng)化訓(xùn)練，“題海”無邊。我試圖改變這種狀況，但又無法回避“一定訓(xùn)練量”這一數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)實(shí)，于是在“題根”上進(jìn)行探索，取得明顯的成效。但數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，遠(yuǎn)不只是“做題”，還涉及數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)文化等的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟，“題根”之探，讓學(xué)生更易“學(xué)會”，略懂“會學(xué)”，但真正的“會學(xué)”還有很大的探索空間。于是，我又走進(jìn)“讓學(xué)生會學(xué)數(shù)學(xué)”的這個

“探域”。

一、從“好玩”到“玩好”

“好玩”就是“引趣”，讓學(xué)生感到學(xué)習(xí)十分有趣，這是學(xué)習(xí)的原動力;“玩好”就是“引深”，讓學(xué)生不斷鉆研深入探索，這是學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。

要讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)有趣，我當(dāng)時的做法是從“每課一趣”開始。每節(jié)課上都有一道以上的趣味數(shù)學(xué)題，或是數(shù)學(xué)游戲，或是數(shù)學(xué)智力趣題，或是趣味數(shù)學(xué)故事。有時在開講時講，有時在課末時講，有時滲透在課中講。趣題可以和所學(xué)內(nèi)容有關(guān)，也可以與所學(xué)內(nèi)容無關(guān)。趣題一般不超綱，也可以適度超一點(diǎn)。趣題宜自然融入，力求起到引發(fā)興趣、激活思維、活躍課堂之效。

我們先看一個例子：設(shè)想用一根僅比赤道周長多出1米的鉛絲圍成一個同心圓，憑直覺，同學(xué)們能否迅速地判斷一下：此時我們的拳頭能否從赤道與鉛絲的空隙處

穿過？

直覺告訴我們，1米與赤道周長相比，簡直微乎其微，幾乎可以忽略不計。赤道與鉛絲之間，別說是拳頭，就連一根鉛筆也很難通過。

我們的判斷正確嗎？

讓我們算一算吧！

圖1是一個同心圓，OA表示地球半徑r，AB表示赤道與鉛絲之間的空隙。赤道長為2πr米，鉛絲長為（2πr+1）米，于是空隙寬度：

（米）

哇！有寬度為16厘米的空隙，我們的拳頭當(dāng)然能穿過。

如此看來，有些數(shù)學(xué)現(xiàn)象，我們可以預(yù)先料及;有些數(shù)學(xué)現(xiàn)象，我們?nèi)绻粦{直覺，往往結(jié)果難以預(yù)料，甚至?xí)屛覀儭俺龀蟆薄?/p>

現(xiàn)在看來，這“每課一趣”，就是“好玩”。

初為人師的我，沒有什么數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，但學(xué)生的學(xué)習(xí)成績卻不錯，多半是源于我的“每課一趣”。但如果年級出的試題稍難一點(diǎn)，或有些創(chuàng)新題出現(xiàn)，我班的成績就不會那么突出。我悟出“僅有好玩是不夠的”，還要“玩好”。怎么“玩好”呢？我當(dāng)時的做法是“每日一題”。就是每天出一道數(shù)學(xué)征解題，供學(xué)有余力的學(xué)生選作。征解題可以是課本問題的拔高，可以是身邊的精彩數(shù)學(xué)問題，可以是切合時宜的數(shù)學(xué)趣題。多數(shù)學(xué)生對每日一題也很感興趣，哪天沒有給出征解題，學(xué)生就會“若有所失”。征解題也可以由學(xué)生先提供給我，我簡單評判或修改后，署上學(xué)生的名字公布。

現(xiàn)在看來，這“每日一題”，就是“玩好”。

當(dāng)數(shù)學(xué)教師不容易，“數(shù)學(xué)好玩”要求我們“深入淺出”，而“玩好數(shù)學(xué)”要求我們“淺入深出”。從“數(shù)學(xué)好玩”到“玩好數(shù)學(xué)”，我們共同努力，共同走向“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”的境界。玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)，談何容易！需要數(shù)學(xué)教師堅持研修，把握好數(shù)學(xué)的橫向聯(lián)系和縱向深入，把握好數(shù)學(xué)的趣味性和拓展性，結(jié)合學(xué)生實(shí)際，將數(shù)學(xué)的“好玩”和“玩好”，像知時節(jié)的“好雨”適時潤入學(xué)生的心田。

從某種角度說，“好玩”是數(shù)學(xué)的學(xué)科之美、形式之美、外在之美;“玩好”，是數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)之美、思維之美、探索之美。值得注意的是，“好玩”是要讓所有學(xué)生都能感受到的，“玩好”就不能要求所有學(xué)生一定都達(dá)到，這里有一個“度”的把握?！昂猛妗笔且环N境界，“玩好”是略高一層的境界，而在“好玩”與“玩好”之間把握好“度”就是一種理想的境界。

二、從“題海”到“題根”

“問題是數(shù)學(xué)的心臟?！睂W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，關(guān)鍵之一是學(xué)會解題。解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教師的基本功，解題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的“微觀藝術(shù)”，任何藝術(shù)的精彩之處和感人之處，也許就在這“微觀”之中。

例題教學(xué)是幫助學(xué)生掌握概念、定理及其他數(shù)學(xué)知識的手段，又是使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想、方法，形成技能技巧及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要手段。奧加涅相說得好：“必須重視，很多習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展其數(shù)學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可能性……從解本題到獨(dú)立地提出類似的問題和解答這些問題，這個過程顯然在擴(kuò)大解題的武器庫，學(xué)生利用類比和概括的能力在形成;辯證思維、思維的獨(dú)立性以及創(chuàng)造性的素質(zhì)也在發(fā)展?！睌?shù)學(xué)教育家波利亞也認(rèn)為，一個有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付煩瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目，還不如適當(dāng)選擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個方面，在指導(dǎo)學(xué)生解題過程中，提高他們的才智與推理

能力。

基于上述理念，我研究借“題”發(fā)揮問題，當(dāng)時還沒有“題根”一說，我就是設(shè)法尋找這樣的“題”。它盡可能地有多種解法，盡可能地有多種“變式”，盡可能地有多種用途。如果這道題的“背后”還有數(shù)學(xué)文化故事，那就更好了。以一道題為例，借題發(fā)揮，探索一題多解、一題多變、一題多用的價值，以期培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會從多層次、廣視角、全方位地認(rèn)識、研究問題，培養(yǎng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。這樣的“題”，就是現(xiàn)在許多數(shù)學(xué)教育專家所說的“題根”。

我們看一道當(dāng)時課本中的題：已知a、b、m∈R+，且a

先說“多解”的價值。

一道數(shù)學(xué)題，由于思考的角度不同，可得到多種不同的思路。廣闊尋求多種解法，有助于拓寬解題思路，發(fā)展觀察、想象、探察、探索、思維的能力。

我引導(dǎo)學(xué)生用分析法、綜合法、求差比較法、求商比較法、反證法進(jìn)行證明，并開玩笑地和學(xué)生說，證到此你們大概可得30分，學(xué)生疑惑而興奮;又引導(dǎo)學(xué)生用放縮法、構(gòu)造函數(shù)法、增量法進(jìn)行證明，我說這下可以得50分了，學(xué)生“胃口大開”;再引導(dǎo)他們進(jìn)一步研究，用定比分點(diǎn)法、斜率法、三角法、幾何模型法進(jìn)行證明，我高興地說，你們現(xiàn)在可以得到70分啦！學(xué)生不甘愿地說，一題12解，才70分！我微笑著說，“解”無止境??！學(xué)生課后還可以再探索，告訴大家，至少還有12種不同的解法，全班學(xué)生驚愕！“憤悱之情”，可想而知。

事實(shí)上，繼續(xù)研究，至少還可得到用正弦定理法、相似三角形法、換元法、雙換元法、綜合法及放縮法、定義域及值域法、橢圓離心率法、雙曲線離心率法、函數(shù)圖象法、兩直線位置關(guān)系法、矩形面積法、定積分法的證明。

次說“多變”的價值。

一個例題，如果靜止地、孤立地去解答它，那么再好充其量只不過解決了一個問題。數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)突出探索活動，探索活動不僅停留在對原習(xí)題解法的探索上，還應(yīng)適當(dāng)?shù)?、有機(jī)地對原習(xí)題進(jìn)行深層探索，挖掘出更深刻的結(jié)論。這就是數(shù)學(xué)教學(xué)中的變式藝術(shù)。

變式，是一種探索問題的方法，也是一種值得提倡的學(xué)習(xí)方法;變式，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，可以有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。

我引導(dǎo)學(xué)生“變啊變”，最后變成：

若ai、bi∈R+（I=1，2，…，n），且<<…<，有

。

學(xué)生感到“真過癮！”我說：“可以胡思亂想，但要小心論證?！?/p>

發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，觸類旁通，開拓創(chuàng)新的過程，不就是數(shù)學(xué)家的思維過程嗎？數(shù)學(xué)家做什么工作？就做這個工作。我們也來當(dāng)“數(shù)學(xué)家”。

引申、推廣，是找出一些特殊問題中所蘊(yùn)含的事物發(fā)展的規(guī)律性，從而得到更廣泛的新結(jié)論。這種教學(xué)設(shè)計無疑會增強(qiáng)學(xué)生探求未知世界的信心和勇氣，使他們體會到成功的喜悅和創(chuàng)造性工作的歡樂。

再說“多用”的價值。

教學(xué)例題大多有其廣泛的應(yīng)用，這道題至少有下列應(yīng)用，所有解答略。

應(yīng)用1：依次寫出與1之間的所有分母不大于10的分?jǐn)?shù)。

應(yīng)用2：（高考題）若0

A. B.

C. D.

應(yīng)用3：在a克糖和（b-a）克水中，加入m克糖，糖水都變甜嗎？

應(yīng)用4：建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地面面積。但采光的標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，并且這比值越大，住宅的采光條件越好。問，同時增加相等的窗戶面積和地面積，住宅的采光條件是變好了還是變壞了？

應(yīng)用5：（高考題）求證：（1+）（1+）…（1+）>（n∈N，n≥2）。

應(yīng)用6：（奧賽題）求證： + >

。

其中，所有的字母都是正數(shù)。

“題根”是一個題族的根祖，一個題系中的根基，一個題群中的代表，抓到一個題根，就等于抓到這個題族、這個題群、這個題系。通過“題根”，往往可以清楚地掌握基本知識和方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，從而有助于學(xué)生脫離“茫茫題?！?。

三、從“學(xué)會”到“會學(xué)”

在教育實(shí)踐中，我深深感到，一個學(xué)生要想取得優(yōu)良的學(xué)習(xí)效果，單靠教師教得好、教得得法，是不行的，自身還必須學(xué)得好、學(xué)得得法。遺憾的是，在教育理論和教學(xué)中，長期以來，教學(xué)多研究教，少研究學(xué)。實(shí)踐證明，忽視學(xué)，教也會失去針對性，減弱實(shí)效性。

于是，我把研究探域擴(kuò)大到學(xué)生學(xué)習(xí)領(lǐng)域，開始系統(tǒng)地指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，期盼他們從“學(xué)會”走向“會學(xué)”。“學(xué)會”和“會學(xué)”看起來只是兩個字的顛倒，但意義卻大不相同?！皩W(xué)會”，只是說在學(xué)習(xí)的過程中掌握了某種知識和技能;“會學(xué)”，則是指在學(xué)習(xí)的過程中掌握學(xué)習(xí)方法，形成學(xué)習(xí)能力。

我的學(xué)習(xí)指導(dǎo)與多數(shù)人所說的學(xué)習(xí)指導(dǎo)不盡相同，我進(jìn)行的是“全程滲透式學(xué)習(xí)指導(dǎo)”。數(shù)學(xué)滲透式是指教師以強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)指導(dǎo)意識為前提，密切結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)，把學(xué)習(xí)指導(dǎo)滲透到學(xué)生學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)計劃、課前預(yù)習(xí)、課堂學(xué)習(xí)、課后復(fù)習(xí)、獨(dú)立作業(yè)、學(xué)習(xí)總結(jié)、課外學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中，是提高學(xué)生學(xué)科學(xué)習(xí)能力的一種學(xué)習(xí)指導(dǎo)模式。強(qiáng)調(diào)“全程滲透”，旨在強(qiáng)化數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中全方位、多層次、廣渠道地進(jìn)行學(xué)習(xí)指導(dǎo)滲透，讓“學(xué)習(xí)指導(dǎo)”像無聲的細(xì)雨時時潤入學(xué)生的心田。

在“學(xué)習(xí)計劃”方面，讓學(xué)生明確制訂學(xué)習(xí)計劃的好處，要求他們養(yǎng)成制訂學(xué)習(xí)計劃的習(xí)慣，指導(dǎo)他們制訂好學(xué)習(xí)計劃;在“課前預(yù)習(xí)”方面，要求學(xué)生養(yǎng)成習(xí)慣堅持預(yù)習(xí)，教給學(xué)生預(yù)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，檢查學(xué)生預(yù)習(xí)的效果;在“課堂學(xué)習(xí)”方面，注意數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)解題、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)方法的滲透;在“課后復(fù)習(xí)”方面，要求學(xué)生及時復(fù)習(xí)鞏固知識，教給學(xué)生數(shù)學(xué)課后的復(fù)習(xí)方法，檢查學(xué)生數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的效果;在“獨(dú)立作業(yè)”方面，教給學(xué)生科學(xué)地完成作業(yè)的方法，在批改作業(yè)中指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在作業(yè)“再生”中提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性、積極性;在“學(xué)習(xí)總結(jié)”方面，注意數(shù)學(xué)知識的總結(jié)、數(shù)學(xué)解題技巧的總結(jié)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的總結(jié);在“課外學(xué)習(xí)”方面，指導(dǎo)數(shù)學(xué)課外閱讀、數(shù)學(xué)競賽、數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)習(xí)。

在學(xué)習(xí)指導(dǎo)中，教師要自覺地學(xué)習(xí)科學(xué)理論和指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的技巧。教師在“指導(dǎo)”中，應(yīng)有所“指”，更要注重“導(dǎo)”，讓學(xué)法真正成為學(xué)生自主學(xué)習(xí)的工具。教師在滲透和提示學(xué)法后，還要加強(qiáng)定型訓(xùn)練，同時注意遷移。在教學(xué)中，滲透學(xué)法不能急于求成，應(yīng)由簡單到復(fù)雜，循序漸進(jìn)。教師指導(dǎo)應(yīng)具體明了，這樣便于學(xué)生操作。滲透式學(xué)習(xí)指導(dǎo)也不能全由教師包代，也可在教學(xué)中不斷引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)摸索自己的學(xué)習(xí)方法和總結(jié)他人的學(xué)習(xí)方法。

從“好玩”到“玩好”，我從“自在”走向了“自為”;從“題海”到“題根”，我從“自為”走向了“自覺”;從“學(xué)會”到“會學(xué)”，我從“自覺”走向了“自由”。因?yàn)?，“學(xué)”的最高境界是“會學(xué)”。

責(zé)任編輯：孫建輝

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