一個（3＋1）維非線性發(fā)展方程的B?cklund變換和解

郭婷婷

（山西大學商務學院,山西太原030031）

一個（3＋1）維非線性發(fā)展方程的B?cklund變換和解

郭婷婷

（山西大學商務學院,山西太原030031）

通過運用多維二元Bell多項式,文中給出（3＋1）維非線性發(fā)展方程的雙線性B?cklund變換,這樣可以避免Hirota雙線性方法中恒等式的選取.除此之外,文中還構造出該非線性方程的N－波解.

雙Bell多項式；（3＋1）維非線性發(fā)展方程；雙線性表示；B?cklund變換

1 概述

孤立子理論中,對非線性發(fā)展方程求解是比較重要的研究問題,經(jīng)過長期的努力,現(xiàn)有的構造非線性方程精確解的方法有,Darboux變換法、對稱約化法、反散射法、雙線性方法［1］等.在研究過程中,為避免Hirota雙線性方法中變換的構造,我們基于多維二元Bell多項式［2］,將非線性方程雙線性化,在以往研究低維非線性方程的基礎上,我們涉足高維的非線性演化方程雙線性表示的探討.

B?cklund變換［3］是1883年瑞典數(shù)學家B?cklund研究曲面時發(fā)現(xiàn)的,利用該變換,我們可以由非線性方程的已知解推導出新的孤子解.為了避免應用Hirota雙線性方法推導B?cklund變換時恒等式的推導和選用,基于多維二元Bell多項式,我們推導出（3＋1）維非線性發(fā)展方程的雙線性B?cklund變換,這將為非線性方程求解提供便利的條件.

2 多維二元Bell多項式

定義1多維Bell多項式［4］定義：h＝h（z1,…,zk）是一個C∞的多變量函數(shù),bi≥0,i＝1,2,…,k是任意整數(shù)eh稱為多維Bell多項式.當h＝h（x,y,t）時,

定義2多維二元Bell多項式：

其中pl＝0,1,…,al,l＝0,1,…,k.

我們給出文中所用到的多維二元Bell多項式,

定理1多維二元Bell多項式與經(jīng)典的Hirota算子的關系［5］如下

當F＝G時,

這里給出文中所用的幾個恒等式,

定理2（線性疊加原理［6］）Q（y1,…,yk）是滿足Q（0,…,0）＝0的偶多項式,ξi＝l1,iy1＋…＋lk,iyk為N波變量,li,j為常數(shù),則指數(shù)波eξi的線性組合為雙線性方程的N－波解.求解雙線性方程Q（y1,…,yk）G·G＝0當且僅當

3 （3＋1）維非線性發(fā)展方程的雙線性表示

研究（3＋1）維非線性發(fā)展方程［7］

的雙線性表示,首先引入勢場變量v,使得

這樣非線性方程（9）將變形為（cv2z,t＋6c2v2xv3x＋cv5x）x＋3cv2x,2y＋3cv2x,2z＝0,

為得到雙線性表示需對x積分兩次并取積分常數(shù)為0,且取c＝1,則

根據(jù)（7）（8）式方程將變形為F－多項式

通過利用定理1和以下的變換,

我們可以得出（3＋1）維非線性發(fā)展方程的雙線性表示

4 （3＋1）維非線性發(fā)展方程的N－波解

我們考慮該非線性發(fā)展方程的N－波解,首先引入N波變量

ξi＝aix＋biy＋ciz＋dit,1≤i≤N和N波指數(shù)函數(shù)Fi＝eξi＝eaix＋biy＋ciz＋dit,1≤i≤N,依據(jù)定理2的充分必要條件,求N－波解需滿足以下關系式

求解方程（14）可以得出ai,bi,ci,di之間的關系如下

所以（3＋1）維非線性發(fā)展方程（9）存在N－波解

其中n2＋m2＝1,ai,ki為任意常數(shù).

5 （3＋1）維非線性發(fā)展方程的雙線性B?cklund變換

為確定（3＋1）維KdV方程雙線性的B?cklund變換,我們首先假設p＝2lnG1和p′＝2lnG2是方程（11）的兩個解,代入（11）式并做差得

取p－p′＝2u,p＋p′＝2v,方程（16）將化為

運用定義2中公式（3）（4）,上式將轉(zhuǎn)化為

這里k（u,v）＝6u2xv2x－6uxv3x－6u2xu2x＝6Wronskian［Q2x（u,v）,Qx（u）］

現(xiàn)取Q2x（u,v）＝λQx（u）,則（18）式可化為Q多項式型的耦合系統(tǒng)

其中λ為任意常數(shù),結合定理1,我們獲得（3＋1）維非線性發(fā)展方程（9）的雙線性B?cklund變換

綜上,我們對（3＋1）維非線性發(fā)展方程進行研究,給出該非線性方程的雙線性表示（13）和N－波解（15）,并給出其雙線性B?cklund變換（19）,這將為非線性方程求解奠定基礎.

［1］Zhang Yu－feng,Tam Honwah and Zhao Jing.Higher－dimensional KdV equations and their soliton solutions［J］.Commun.Theor.Phys,2006,45（3）：411－413

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［5］Fan,Engui,The integrability of nonisospectral and variable－coefficient KdV equation with binary Bell polynomials［J］.Physics Letters A,2011,375（3）：493－497

［6］Ma,Wenxiu,Fan,Engui.Linear superposition principle applying to Hirota bilinear equations［J］.Computer and Mathematics with Applications,2011,61（4）：950－959

［7］郭冠平.（3＋1）維非線性方程新的精確解［J］.四川師范大學學報,2002,25（2）：159－163

The B?cklund Transformations and Solutions of a（3＋1）Dimensional Nonlinear Evolution Equation

GUO Tingting
（Business College of Shanxi University,Taiyuan 030031,China）

The approach can avoid selections of the transformations in the Hirota bilinear method.the bilinear B?cklund transformations of the（3＋1）dimensional nonlinear evolution equation are obtained using the multi dimensional binary Bell polynomials.The way can avoid the deduction of the identities in the Hirota bilinear method.In addition,the N－wave solutions of this nonlinear evolution equation are obtained.

binary Bell polynomials；（3＋1）dimensional nonlinear evolution equation；bilinear representation；B?cklund transformations.

1672－2027（2016）04－0001－03

O129.35

A

2016－06－21

山西大學商務學院科研基金（2016028）.

郭婷婷（1983－）,女,山西太原人,碩士,主要從事應用數(shù)學孤立子理論研究.