巧選參考系 妙解競(jìng)賽題

陳小明

摘 要：第32屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽第12題考查了拋體運(yùn)動(dòng)的相遇情況。本文中靈活選用參考系解此題，簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)過(guò)程，拓展了思維，以期為教學(xué)帶來(lái)借鑒。

關(guān)鍵詞：物理競(jìng)賽；拋體運(yùn)動(dòng)；參考系

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2016）1-0036-2

1 試題展現(xiàn)

從左至右在同—水平地面上依次有3個(gè)質(zhì)點(diǎn)a、b、c，且三者共線，a與b相距l(xiāng)1，b與c相距l(xiāng)2?，F(xiàn)同時(shí)將它們從其初始位置拋出。已知質(zhì)點(diǎn)b以初速度v0豎直上拋，質(zhì)點(diǎn)c以某一初速度豎直上拋。設(shè)在這3個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，a能碰到質(zhì)點(diǎn)b和質(zhì)點(diǎn)c，并假設(shè)質(zhì)點(diǎn)a的質(zhì)量遠(yuǎn)大于質(zhì)點(diǎn)b的質(zhì)量，且a與b的碰撞時(shí)間極短。求質(zhì)點(diǎn)c的初速度vc和質(zhì)點(diǎn)a的初速度所滿足的條件。所求的結(jié)果均用題中的已知量表示出來(lái)。

2 地面參考系

以向右為x軸正向，向上為y軸正向。質(zhì)點(diǎn)a的初速度的x和y分量分別為vx和vy，設(shè)經(jīng)過(guò)t1時(shí)間質(zhì)點(diǎn)a與質(zhì)點(diǎn)b相遇，如圖1，由拋體運(yùn)動(dòng)可知

vyt1- gt =v t - gt ，

l1=vxt1。

運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相遇，要求

v t - gt ≥0，聯(lián)立解得

vx≥ ，v =v 。

由于質(zhì)點(diǎn)a、b碰撞的時(shí)間極短，可認(rèn)為兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)碰撞前后動(dòng)量守恒和動(dòng)能不變。設(shè)碰前質(zhì)點(diǎn)a的分速度和b的速度分別為vx、vy 和vby ，碰后a的分速度分別為v'x、v'y ，b的分速度分別為v'bx、v'by

mavx=mav'x+mbv'bx，

mavy +mbvby =mav'y +mbv'by ，

m （v +v ）+ m v =

m （v +v ）+ m （v +v ）。

由題意知ma>>mb，代入可得

vx=v'x，vy =v'y ，vby =v'by 。

即質(zhì)點(diǎn)b對(duì)質(zhì)點(diǎn)a的運(yùn)動(dòng)的影響可以忽略。同理設(shè)經(jīng)過(guò)t2時(shí)間質(zhì)點(diǎn)a、c相遇，則滿足

vyt2- gt =v t - gt ，

l1+l2=vxt2，

vct - gt ≥0。解得

vc=vy，vx≥ 。

故最終可得，質(zhì)點(diǎn)c的速度vc=v0。

質(zhì)點(diǎn)a的速度滿足vx≥ ，vy=v0。

點(diǎn)評(píng) 地面是拋體運(yùn)動(dòng)最常用的參考系，易于接受，但其過(guò)程往往較為復(fù)雜。例如：本題即為斜拋與豎直上拋的相遇問(wèn)題，有些學(xué)生還會(huì)仔細(xì)考慮是上升還是下降階段，并且這類方程的求解也相對(duì)較為繁瑣。

3 自由落體參考系

另以一個(gè)做自由落體運(yùn)動(dòng)的物體為參考系，則3個(gè)質(zhì)點(diǎn)均以原速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，如圖2所示。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相遇，b、c做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，時(shí)間關(guān)系滿足t1≤ ，t2≤ 。a若要與b相遇，其豎直分運(yùn)動(dòng)需相同，故滿足vy=v0，水平方向vx= ≥ 。依題意，碰撞對(duì)a的速度無(wú)影響，同理分析a、c若相遇，其豎直分運(yùn)動(dòng)相同vc=vy=v0，水平方向vx= ≥ 。

故質(zhì)點(diǎn)a的速度滿足vx≥ ，vy=v0，質(zhì)點(diǎn)c的速度vc=v0。

點(diǎn)評(píng) 自由落體參考系是拋體運(yùn)動(dòng)中常用的參考系。由于此參考系的加速度與其他物體相同，而初速度為零，在此參考系中，做拋體運(yùn)動(dòng)的物體將以原速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)。將復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)相遇簡(jiǎn)化為勻速直線運(yùn)動(dòng)相遇，降低了思維難度。

4 質(zhì)點(diǎn)b參考系

3個(gè)質(zhì)點(diǎn)都為拋體運(yùn)動(dòng)，加速度相同，故以b為參考系，a、c均為勻速直線運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)a若要和質(zhì)點(diǎn)b相遇，其速度v'a必須水平向右，如圖3。題中要求在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相遇，b、c做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，故t1≤ ，t2≤ 。由此可知質(zhì)點(diǎn)a的速度滿足：

豎直分量vy=v0，水平分量vx= ≥ 。

質(zhì)點(diǎn)a的質(zhì)量遠(yuǎn)大于質(zhì)點(diǎn)b，碰撞之后可認(rèn)為對(duì)a的速度無(wú)影響，仍然水平向右。因此，若要與c相碰，c需保持在原位置，即v'c=0，可得vc=v0。且vx= ≥ 。

綜合可得vx≥ ，vy=v0。

點(diǎn)評(píng) 選質(zhì)點(diǎn)b為參考系，將原來(lái)拋物線軌跡的斜拋運(yùn)動(dòng)和有往返的豎直上拋運(yùn)動(dòng)大大簡(jiǎn)化，成為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)與靜止物體相遇問(wèn)題，運(yùn)動(dòng)過(guò)程最為簡(jiǎn)單。

5 兩點(diǎn)商榷

首先，題中給出a的質(zhì)量遠(yuǎn)大于b，其意為b對(duì)a的運(yùn)動(dòng)無(wú)影響。參考答案中是由碰撞時(shí)間極短，得出動(dòng)量守恒和動(dòng)能不變的結(jié)論。而實(shí)際上時(shí)間短只能認(rèn)為內(nèi)力極大，可以忽略重力得到動(dòng)量守恒，而動(dòng)能不變需要說(shuō)明是彈性碰撞。

再次，a與b碰撞時(shí)，由于兩質(zhì)點(diǎn)豎直方向分速度相同，所以碰后b的豎直分速度不變，水平分速度大于a。在此情形下，b必然會(huì)先于a與c碰撞，且b、c碰撞豎直速度也不變，b其實(shí)一直在a、c之間，這點(diǎn)可以在質(zhì)點(diǎn)b參考系解法中直接看出。題中交代了a能碰到質(zhì)點(diǎn)b和c，相當(dāng)于第一次碰撞后將b撤去。從賽后學(xué)生的反饋情況來(lái)看，如果只告訴a、c能相碰，會(huì)讓學(xué)生誤以為碰后還會(huì)經(jīng)過(guò)一些復(fù)雜過(guò)程才使a、c相碰，筆者認(rèn)為描述時(shí)不如直接告訴碰后撤去b，以使題意更加清晰。

參考文獻(xiàn)：

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（欄目編輯 羅琬華）