基于判斷聚合模型對集體判斷不一致的化解*

李　莉，唐 曉 嘉

(西南大學(xué) 邏輯與智能研究中心，重慶市 400715)

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基于判斷聚合模型對集體判斷不一致的化解*

李莉，唐 曉 嘉

(西南大學(xué) 邏輯與智能研究中心，重慶市 400715)

摘要：阿羅定理證明了將完全理性個體偏好聚合為完全理性集體偏好的不可能性。這個悲觀的結(jié)論對實(shí)際的集體決策過程沒有幫助。如何化解聚合產(chǎn)生的集體意見不一致，以保證集體決策公平公正地實(shí)現(xiàn)集體最大利益，即實(shí)現(xiàn)集體決策的理性化，成為許多學(xué)科研究的熱點(diǎn)。判斷聚合模型將聚合問題放在邏輯框架之下，將集體理性聚合研究提升到一個更高的抽象水平。本文運(yùn)用判斷聚合模型，從分析判斷困境入手，對基于前提和結(jié)論的判斷聚合方法，基于多數(shù)判斷集的判斷聚合方法和基于權(quán)重最大的判斷聚合方法進(jìn)行探討，分析了各種方法在化解集體判斷不一致上的優(yōu)勢及局限。這些方法盡管有一定局限，但能夠求得一致的集體判斷集，并且邏輯形式刻畫技術(shù)也使這些方法能夠運(yùn)用于計算機(jī)和人工智能領(lǐng)域中的推薦系統(tǒng)、多主體決策系統(tǒng)以及搜索引擎技術(shù)之中，推動了相關(guān)理論和應(yīng)用技術(shù)的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：社會選擇理論；集體決策；判斷聚合方法；集體判斷集；一致性

在社會生活中，人們時刻面臨各種集體決策，比如換屆選舉、公共利益分配以及對服務(wù)體系的評價反饋等。社會選擇理論研究的是如何將個體的意見、偏好以及判斷聚合成集體決策，在公平公正基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)集體利益最大化。在這個領(lǐng)域有突出貢獻(xiàn)的學(xué)者肯尼斯·阿羅(Kenneth Arrow)和阿瑪?shù)賮啞ど?Amartya Sen)都獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。社會選擇理論涵蓋了經(jīng)濟(jì)學(xué)、政治學(xué)、邏輯學(xué)、計算機(jī)科學(xué)與人工智能等多個領(lǐng)域，形成多學(xué)科交叉研究的局面。

一、問題的提出

社會選擇理論用模型刻畫社會選擇過程。給定備選項(xiàng)集合X={a，b，c…}和個體集N={i1，…，in}(n≥3)，個體根據(jù)自己的偏好對候選項(xiàng)集合X中的元素進(jìn)行排序，得到個體偏好序列或者判斷集，模型以個體偏好序或判斷集作為輸入，通過社會選擇機(jī)制得到集體決策，社會選擇機(jī)制通常表現(xiàn)為特定的聚合方法。

一般有三種社會選擇模型：偏好聚合模型、投票模型以及判斷聚合模型。偏好聚合模型(Preference aggregation model)首先需要每一個個體依據(jù)自己的偏好對備選項(xiàng)進(jìn)行排序，形成個體偏好序列。偏好聚合規(guī)則規(guī)定了如何從所有個體序列中選擇形成一個代表集體偏好的序列。[1]投票模型(Voting procedure)是偏好聚合模型的一種特殊情況，因?yàn)橥镀蹦Ｐ椭灰筮x民投自己最喜歡的候選人，不用將其他的候選人依次排序。[2]判斷聚合模型(Judgment aggregation model)則根據(jù)個體對議題進(jìn)行判斷所形成個體的判斷集，運(yùn)用聚合規(guī)則得到集體的判斷。[3-4]

著名的“阿羅不可能定理”斷定了把理性個體偏好聚合為理性集體偏好的不可能性。[1]阿羅定理的證明是無懈可擊的，然而這個不可能的結(jié)論對任何集體決策都沒有指導(dǎo)作用。我們需要更多切實(shí)可行的方法化解不可能的結(jié)論，得到相對公平公正的集體決策。判斷聚合模型將聚合問題放入更為一般的邏輯框架之內(nèi)進(jìn)行研究，更加明晰地揭示了邏輯與集體理性聚合研究之間的密切聯(lián)系，將集體理性聚合研究提升到一個更高的抽象水平。為此，本文將從判斷困境這個經(jīng)典案例出發(fā)，選取不同的判斷聚合方法對集體判斷不一致問題進(jìn)行分析化解，在放寬了集體理性的前提下求得一致的集體判斷集，使多主體決策成為可能。在應(yīng)用方面，集體判斷集代表集體決策為推薦系統(tǒng)(recommender systems)中的新用戶提供推薦意見，同時集體判斷集也可以作為搜索引擎的高頻詞匯為使用者提供精確的檢索詞?；谂袛嗑酆夏Ｐ突獠灰恢录w判斷集的研究可以為個性化推薦和搜索工具方面的應(yīng)用提供技術(shù)準(zhǔn)備。

二、判斷困境以及判斷聚合模型

(一)判斷困境

判斷困境(discursive dilemma 或doctrinal paradox)[5-6]是孔多塞投票悖論在判斷聚合理論中的變種，這個悖論是Kornhauser和Sager在1986年提出來的。由三位法官對一個是否違反合同的案件進(jìn)行審理。依據(jù)法律的規(guī)定，如果合同是有效的(用p表示)且被告違反合同(用q表示)，那么被告是有違約責(zé)任的(用r表示)，這一法律規(guī)定可以符號化為“(p∧q)→r”。裁定被告違約責(zé)任要滿足兩個條件：第一，合同必須是有效的；第二，被告有違反合同的行為。這條法規(guī)對每位法官而言是公共知識，即它不需要裁決都得贊成。三位法官對案件的裁決實(shí)際上表現(xiàn)為依據(jù)法律規(guī)定(p∧q)→r對p、q和r這三個命題的投票。三位法官的個人裁決和集體裁決如表1所示。表1中用“1”表示贊同，“0”表示反對。

表1　判斷困境

從表1中可以看出來，每一位法官的裁決都與法律規(guī)定相一致，因?yàn)榕c每位法官裁決相應(yīng)的賦值都使公式(p∧q)→r為真。集體裁決依據(jù)的是多數(shù)規(guī)則，兩人贊同合同是有效的p，兩人贊同被告有違反合同的行為q，同時有兩位反對被告有違約責(zé)任r，多數(shù)規(guī)則下的三位法官構(gòu)成的集體所得的裁決結(jié)果是{p，q，r}，這與法律規(guī)定相矛盾。因?yàn)椋?dāng)p和q為真而r為假的時候，根據(jù)邏輯(p∧q)→r為假。這說明每一位法官的裁決都與法律相一致，多數(shù)規(guī)則又是公認(rèn)的體現(xiàn)正義的聚合規(guī)則，但集體裁決卻與法律規(guī)定矛盾。這個集體判斷集顯然不能作為最終裁決的結(jié)果。

判斷困境提出之后引起了廣泛的關(guān)注。政治學(xué)家菲利普·皮特(Philip Pettit)認(rèn)為，這個悖論并非僅僅局限于法庭審判，可將它推廣到任何的集體決策情形。[7]在判斷困境下，得出理性的集體判斷就成為不可能，但我們并不能因?yàn)閭€體理性的判斷經(jīng)過聚合之后得到非理性的集體判斷就放棄尋找合理的集體判斷，更不能因?yàn)檫@個集體判斷與法律或者實(shí)際情況存在矛盾就否定社會選擇的可能，這無異于因噎廢食。現(xiàn)實(shí)生活中人們需要集體決策來分配資源，優(yōu)化政治體制，提高服務(wù)質(zhì)量，最大程度上體現(xiàn)公平公正，因而在實(shí)踐層面我們需要分析不一致集體判斷出現(xiàn)的原因，并尋找有效的判斷聚合方法來化解不一致以求得合理的集體判斷。為此，我們首先定義判斷聚合模型，然后運(yùn)用模型分析如何化解集體判斷的不一致。

(二)判斷聚合模型的定義

建立模型首先需要定義語言，我們用L來表示命題邏輯，它的語言L(L)具有一般命題邏輯的語義，其語法定義如下：

判斷聚合模型的一個基本假設(shè)是：參與判斷的所有的個體都是完全理性的，即作出的判斷既是一致的又是完全的。所謂一致的是指作出的判斷不能具有矛盾，所謂完全的是指對于所有待斷定的命題都要作出判斷。相關(guān)概念定義如下：

議題(Issue)指待判斷的命題。顯然，議題可以是L(L)中除了⊥外的任一命題。議題既不可以是重言式，也不可以是矛盾式，因?yàn)樗鼈儧]有判斷的必要。例如上述判斷困境中的p、q和r是原子命題形式議題，當(dāng)然也會有形如p∧q、p∨q或者(p∧q)?r等復(fù)合命題形式的議題。

議程(Agenda)由議題以及議題的否定形式構(gòu)成的集合稱作議程，記作A。令φ是任一議題，則φ∈A當(dāng)且僅當(dāng)φ∈A，顯然，A是非空的且A?L(L)，雙重否定可以抵消φ≡φ。對議程進(jìn)行這樣的規(guī)定是為了保證判斷聚合中所要斷定的命題都在議程中且是語言L(L)所能夠刻畫的。令[A]?A，但[A]中只包含議題本身，即A=[A]∪{φ∈[A]}，這樣的[A]稱為預(yù)議程。設(shè)定[A]是為了方便后面的計算和說明。同理有子議程B是議程A的子集，即B?A，同時也有子預(yù)議程[B]?[A]。

一致性(Consistent)如果對于任一公式集S?L(L)，如果不存在一個議題φ使得S├Lφ∧φ，則稱S具有一致性或者說S是L-一致的。

完全性(Complete)對于任一公式集S?L(L)，任一集合S?A，如果對于A中的議題φ∈A，φ∈S或者φ∈S，則稱S具有完全性或者說S是完全的。

判斷集(Judgmentset)判斷集是與個體與集體相關(guān)的概念，用J表示。令N是參加判斷的個體，N={1，2，…，n}(n≥2)，則任一個體i(1≤i≤n)的判斷集Ji是一個一致的且完全的集合，且Ji?A。判斷集的一致性保證了個體或集體所作出的判斷都是理性的，判斷集的完全性保證了個體對議程中每一項(xiàng)議題都作出判斷。本文中將所有的L-一致的判斷集記作D(A)，將所有L-一致且完全的判斷集記作D(A)，所以有D(A)?D(A)。

上述判斷困境的例子中，所有的法官對議程中所有的議題進(jìn)行斷定的結(jié)果為：法官1的判斷集J1={p，q，r，(p∧q)→r}，法官2的判斷集J2={p，q，r，(p∧q)→r}，法官3的判斷集J3={p，q，r，(p∧q)→r}，而J1，J2，J3?D(A)?D(A)。

判斷組合(Judgmentprofile)由所有個體的判斷集組成的n元組稱作判斷組合，可表示為P=(J1，…，Jn)∈Dn(A)。我們用N(P，φ)表示判斷組合P中有多少個個體的判斷集中包含有φ，也就是N(P，φ)=#{i|Ji∈P，φ∈Ji}，也稱作議題φ的權(quán)重。

判斷困境例子中所有法官的個體判斷集分別是J1，J2和J3，判斷組合就是由所有的法官的個體判斷集組成的三元組P=(J1，J2，J3)，計算這個判斷組合P中支持“合同是有效的p”，N(P，p)=2，因?yàn)榉ü?和法官2支持p，法官3支持p，同理有N(P，q)=2和N(P，r)=2。

定義1判斷聚合規(guī)則(Judgment aggregation rules) 令N是參加判斷的個體集N= {1，…，n}(n≥3)，議程A?L(L)，J(A，L)表示議程A上所有判斷集的集合，J(A，L)n表示所有個體的判斷集構(gòu)成的n元判斷組合P=(J1，…，Jn)(Ji∈D(A))。一個判斷聚合規(guī)則就是一個以J(A，L)n為定義域、以J(A，L)為值域的函數(shù)

根據(jù)聚合規(guī)則輸出的判斷集其性質(zhì)的不同，可以分為兩類判斷聚合規(guī)則：

(a)確定性的判斷聚合規(guī)則(deterministic judgment aggregation rule)。這一聚合規(guī)則輸出的判斷集是一致且完全的，即任一J∈J(A，L)都有J∈D(A)。

(b)不確定性判斷聚合規(guī)則(Irresolute judgment aggregation rule)。這一聚合規(guī)則輸出的判斷集是一致的，但不一定是完全的，即任一J ∈J(A，L)都有J∈D(A)。

如何化解這一困境？研究文獻(xiàn)[5，6，8]表明，有兩種方法可以化解這一困境，分別是基于前提和基于結(jié)論的聚合方法。

(三)基于前提和基于結(jié)論的判斷聚合規(guī)則解決判斷困境

基于前提的判斷聚合方法(premise-based procedure)和基于結(jié)論的判斷聚合方法(conclusion-based procedure)[6-7]是在判斷聚合理論發(fā)展初期由菲利普·皮特提出的。這兩種方法的基本思想是通過將議程區(qū)分前提集和結(jié)論集，運(yùn)用多數(shù)聚合規(guī)則分別對前提集和結(jié)論集中的議題進(jìn)行聚合，從而化解集體判斷的不一致的情形。這兩種方法適用的范圍是那些比較容易區(qū)分出前提集和結(jié)論集的議程。一般情況下我們主要依據(jù)邏輯語義來區(qū)分前提集和結(jié)論集。下面運(yùn)用基于前提和基于結(jié)論的判斷聚合方法分別對判斷困境進(jìn)行化解。

在判斷困境例子中，預(yù)議程[A]={p，q，r，(p∧q)→r}，其中復(fù)合命題(p∧q)→r的涵義是“如果有p并且有q，那么就有r”，即我們可以根據(jù)對(p∧q)→r以及p、q的斷定，再運(yùn)用命題邏輯推理規(guī)則推出是否有r這個結(jié)論，由此我們可以將預(yù)議程[A]區(qū)分為前提集的預(yù)議程[A]pr={p，q，(p∧q)→r}和結(jié)論集的預(yù)議程[A]c={r}。

(1)基于前提的判斷聚合方法Fpr。大體說來，這一規(guī)則分兩步運(yùn)行：第一步，僅對前提集中的每項(xiàng)議題進(jìn)行判斷，采用多數(shù)聚合規(guī)則進(jìn)行聚合；第二步，根據(jù)對前提集聚合得到的集體判斷集，再運(yùn)用命題邏輯推理規(guī)則推演出結(jié)論。也就是說，前提集中的一項(xiàng)議題是集體所肯定的當(dāng)且僅當(dāng)它是集體中多數(shù)人所肯定的；結(jié)論集中的議題是集體所肯定的當(dāng)且僅當(dāng)它是對前提集中議題的集體判斷所能夠演繹推出的。

既然僅對前提集中的議題進(jìn)行判斷，因此法官1、法官2和法官3的判斷集分別變?yōu)镴1={p，q，(p∧q)→r}、J2={p，q，(p∧q)→r}和J3={p，q，(p∧q)→r}。由于p在J1和J2中，q在J1和J3中，而(p∧q)→r在J1，J2和J3中，所以，p，q，(p∧q)→r∈JFpr，由其根據(jù)命題邏輯推理規(guī)則可推出結(jié)論r，所以r∈JFpr，即集體判斷集JFpr={p，q，(p∧q)→r，r}。如表2所示，基于前提的判斷聚合方法Fpr化解了基于多數(shù)聚合規(guī)則Fmaj的集體判斷不一致。

在Fpr這個聚合方法中，個體判斷僅對前提集[A]pr={p，q，(p∧q)→r}中的議題進(jìn)行，所以個體判斷集不是完全的，因此這一規(guī)則舍棄了個體完全理性。但集體判斷集{p，q，(p∧q)→r}是一個L-一致且完全的判斷集，因此集體是完全理性的。但這并不意味著Fpr聚合方法具有保持集體理性的性質(zhì)。例如，當(dāng)法官3對p的判定變?yōu)榉穸ê?，“p在J1和J2中”變成了“p在J1和J2中”，由此根據(jù)Fpr聚合得到的集體判斷變?yōu)閧p，q，(p∧q)→r}，根據(jù)這樣的前提無法推出r或者r。這使得集體對結(jié)論r無法判定，也就很難保持集體判斷的完全理性。

表2　基于前提的判斷聚合方法化解不一致集體判斷集

(a)

[A]pr={pq(p∧q)→r}r法官1111-法官2101-法官3011-Fpr1111

(b)(2)基于結(jié)論的判斷聚合方法Fc。這個方法僅僅考慮根據(jù)個體對結(jié)論集中議題的判斷，按多數(shù)聚合規(guī)則得到集體對結(jié)論的判斷，完全不考慮個體對前提集中議題的判斷。如表3所示，基于結(jié)論的判斷聚合方法Fc化解了多數(shù)聚合規(guī)則Fmaj中集體判斷的不一致。

表3　基于結(jié)論的判斷聚合方法化解不一致集體判斷集

(a)

pq(p∧q)→r{r}法官1---1法官2---0法官3---0Fc---0

(b)顯然，在Fc這一聚合方法中，所有判定都圍繞結(jié)論的預(yù)議程集[A]c={r}進(jìn)行。對結(jié)論r的集體判斷是根據(jù)個體對r的判斷和多數(shù)聚合規(guī)則得到的。由于法官2和法官3都反對r，“r在J1和J3中”，根據(jù)多數(shù)聚合規(guī)則得到集體對r的否定，即集體判斷集JFc={r}。Fc聚合方法放棄了對個體判斷和集體判斷完全理性的要求，因?yàn)闊o論是個體判斷集還是集體判斷集，它們都是不完全的。

比較基于前提的判斷聚合方法和基于結(jié)論的判斷聚合方法，它們都是對完全理性要求作出修訂得到一致的集體裁決，化解了集體判斷的不一致難題。但是，這兩種聚合方法都是有缺陷的。我們看到，運(yùn)用Fpr和Fc各自得到的集體判斷相互否定：運(yùn)用Fpr可以得到“被告有違約責(zé)任”的集體判決，而運(yùn)用Fc得到的是“被告沒有違約責(zé)任”的集體判決。由于兩種方法可選擇，這意味著存在操縱集體判決的可能性。如何防止集體決策被操縱，保證決策結(jié)果公平公正地符合集體利益最大化的理性要求，是化解不一致難題必須考慮的問題。由于本文的重點(diǎn)是化解不一致，防操縱問題將在另外文章中專門討論。

三、基于判斷聚合模型化解集體判斷不一致的問題

(一)不可區(qū)分為前提集和結(jié)論集的不一致集體判斷

基于前提的判斷聚合方法Fpr和基于結(jié)論的判斷聚合方法Fc化解不一致，要求議題可以區(qū)分為前提集和結(jié)論集。然而很多的集體決策不滿足這一要求。我們引入更為一般的議程，其中的議題沒有辦法區(qū)分前提或結(jié)論，同樣是在運(yùn)用多數(shù)聚合規(guī)則后得到的集體判斷不是L-一致的。

例1給定預(yù)議程為[A]={p∧r，p∧s，q，p∧q，t}，參與判斷的投票者有17人，表4是這17位投票者給出的判斷組合P。用“1”表示贊同，“0”表示反對。

表4　判斷組合P

運(yùn)用多數(shù)規(guī)則聚合后得出的集體判斷集JFmaj={p∧r，p∧s，q，(p∧q)，t}，然而{p∧r，p∧s，q，(p∧q)，t}├L(p∧p)或者{p∧r，p∧s，q，(p∧q)，t}├L(q∧q)，即這個集體判斷不是L-一致的。因?yàn)椋w判斷中有p∧r，而p∧r├Lp，即集體贊成p，集體判斷中還有(p∧q)，而(p∧q)├L(p∨q)，即集體要么反對p，要么反對q，因?yàn)榧w贊成p，可以推出集體反對q，而集體判斷集中有q，即集體贊成q，這意味集體集贊成q又反對q，矛盾。再由集體判斷集中有p∧s，而p∧s├Lp，即集體贊成p；集體判斷中還有(p∧q)和q，而{(p∧q)，q}├Lp，即集體反對p，這意味著集體既贊成p又反對p，矛盾。

因此，多數(shù)聚合規(guī)則Fmaj得到的集體判斷集JFmaj?D(A)是不正確的。然而，這個集體判斷不是L-一致不能用基于前提的判斷聚合方法和基于結(jié)論的判斷聚合方法化解，因?yàn)轭A(yù)議程[A]={p∧r，p∧s，q，p∧q，t}，我們根據(jù)邏輯語義無法區(qū)分哪些是前提哪些是結(jié)論，因此需要新的化解方法。

(二)基于多數(shù)判斷集的判斷聚合方法

基于多數(shù)判斷集的判斷聚合方法和基于權(quán)重最大判斷聚合方法是法國邏輯學(xué)家吉羅姆·朗(Jerome. Lang)在2011年提出來的，主要是用于證明某些判斷聚合規(guī)則在一定的限制條件下對應(yīng)于特定的投票規(guī)則。本文中運(yùn)用這兩類方法的原理化解集體判斷不一致問題。

基于多數(shù)判斷集的判斷聚合方法(Methods based on the majoritatian judgment set)[9-10]是通過最小化的信息損失得到L-一致的集體判斷集。運(yùn)用這一類方法來化解集體判斷集的不一致，首先是改變原有議程中的議題，剔除部分導(dǎo)致集體判斷集不一致的議題而形成一個新的子議程，刪除要最大限度地保留原議程中的議題，使信息損失最小。然后基于子議程形成新的個體判斷組合，再利用多數(shù)聚合規(guī)則對新的個體判斷組合進(jìn)行聚合，得到一個L-一致的集體判斷。顯然，這個L-一致的集體判斷是原集體判斷的一個子集。

有兩種方法可以最小化損失信息得到L-一致集體判斷：第一種是尋求一個原集體判斷的最大L-一致子集；另一種方法是尋求一個原集體判斷的基數(shù)最大L-一致子集。所謂基數(shù)(cardinal number)就是集合中元素的個數(shù)。現(xiàn)將兩個概念定義如下：

定義3原集體判斷最大一致子集原集體判斷JFmaj?L(L)，S是JFmaj的最大L-一致的子集，當(dāng)且僅當(dāng)，S是L-一致的，并且不存在一個L-一致的集合S′使得S?S′?JFmaj，即S是JFmaj的L-一致子集，并且不存在一個比S更大的L-一致的JFmaj子集。原集體判斷JFmaj的最大一致子集記作JFMSA。

定義4原集體判斷的基數(shù)最大L-一致子集原集體判斷JFmaj?L(L)，S是JFmaj的基數(shù)最大L-一致的子集，當(dāng)且僅當(dāng)，S是L-一致的，并且不存在一個L-一致的集合S′?JFmaj，使得S的基數(shù)小于S′的基數(shù)(|S|<|S′|)。即S是JFmaj一致子集，并且不存在一個比S基數(shù)更大的L-一致的JFmaj的子集。原集體判斷的基數(shù)最大L-一致子集記作JFMCSA。

對應(yīng)上面的兩種方法，要想使得JFmaj由不一致變?yōu)橐恢?，最大子議程的判斷聚合方法就是對應(yīng)于尋找原議程中最小刪除部分議題而形成的子議程并且在這個子議程基礎(chǔ)上使得集體判斷是L-一致的；基數(shù)最大子議程的判斷聚合方法是尋找原集體判斷的基數(shù)最大且L-一致的子集，同樣也是刪除最小數(shù)目的議題形成新的子議程并且在此基礎(chǔ)上得到L-一致的集體判斷。刪除過程要確保集體判斷集基數(shù)最大。下面分別定義這兩種方法并運(yùn)用它們化解例1中的不一致集體判斷集問題。

原集體判斷集的最大L-一致子集是運(yùn)用最大子議程的判斷聚合方法得到的，而其基數(shù)最大L-一致子集則是通過基數(shù)最大子議程判斷聚合方法得到的。

1.最大子議程的判斷聚合方法

當(dāng)多數(shù)判斷聚合規(guī)則得到的集體判斷集JFmaj不是L-一致時，運(yùn)用最大子議程判斷聚合方法(Maximal sub-agenda method，記作FMSA)化解集體判斷集的不一致，首先要刪除原議程中最少數(shù)量議題而得到一個原議程的最大子議程，然后基于子議程形成新的個體判斷組合，再利用多數(shù)聚合規(guī)則對新的個體判斷組合進(jìn)行聚合，得到一個原集體判斷集JFmaj的最大L-一致子集。下面舉例說明化解過程。

例2仍用例1中的議程A和判斷組合P，由多數(shù)聚合規(guī)則所得到的集體判斷集JFmaj={p∧r，p∧s，q，(p∧q)，t}，根據(jù)我們前面對例1的分析，JFmaj不是L-一致的，現(xiàn)運(yùn)用最大子議程判斷聚合方法來化解這個不一致的集體判斷集，刪除議程中的議題q，做到最大限度保留原議程中議題。表5中“1”表示贊成，“0”表示反對，刪除線表示剔除的議題以及相應(yīng)的個體判斷。

表5　最大子議程的判斷聚合方法解決不一致集體判斷集

新的集體判斷集JFMSA={p∧r，p∧s，(p∧q)，t}是L-一致的，它化解了原集體判斷集JFmaj={p∧r，p∧s，q，(p∧q)，t}的不一致。它雖然不完全但符合不確定性判斷聚合規(guī)則的要求J∈D(A)，是正確的聚合結(jié)果。

JFmaj的最大一致子集并不是唯一的。請看表6。

表6　最大子議程的判斷聚合方法化解不一致的集體判斷

(a)

{p∧rp∧sqp∧qt}6位投票者111114位投票者110017位投票者00100FMSA11

(b)如表6中所示，(a)和(b)也是運(yùn)用最大子議程判斷聚合方法得到的L-一致的集體判斷集：表6(a)是剔除了議題p∧q得到的集體判斷集為{p∧r，p∧s，q，t}?JFmaj，這個集體判斷集也是L-一致的；同理，表6(b)是剔除了議題p∧r和p∧s得到的集體判斷集為{q，(p∧q)，t}?JFmaj是L-一致的。我們看到這三種剔除議題的方法都可以得到L-一致的集體判斷集。所以，最大子議程的判斷聚合方法通過不同途徑可以成功化解例1中所得到的不一致集體判斷。

最大子議程判斷聚合方法由不同的途徑剔除議題，得到了不同的JFmaj最大L-一致子集。那么這些不同的子集中哪個更符合最小化信息損失的要求呢？最大子議程判斷聚合方法沒辦法給出答案?；鶖?shù)最大子議程判斷聚合方法則不同，它考慮了剔除議題的基數(shù)，基數(shù)是可以比較的，可以參考基數(shù)來判定哪種途徑最大程度地保留了原議程中的議題，使得信息損失最小，因而集體判斷更為合理。如果考慮基數(shù)，表6(b)中所示的剔除議題途徑比起前兩種是最劣的，因?yàn)樗募w判斷集的基數(shù)最小，損失的信息最大。

2.基數(shù)最大子議程的判斷聚合方法

基數(shù)最大子議程的判斷聚合方法(Maxcardsub-agenda method)類似于最大子議程規(guī)則，同樣是需要剔除導(dǎo)致不一致的議題，但它要保證集體判斷集基數(shù)最大，也就是說要剔除最小數(shù)量的議題才能確保集體判斷集中議題的個數(shù)最多。具體的方法是要根據(jù)最大子議程規(guī)則求得最大L-一致子集JFMSA，然后對各個最大L-一致子集的基數(shù)進(jìn)行比較，刪除最大L-一致子集JFMSA中基數(shù)最小的，剩下的就是基數(shù)最大的集體判斷集JFMCSA，這也說明了JFMCSA?JFMSA。

表7　基數(shù)最大子議程的判斷聚合方法化解不一致的集體判斷

(a)

{p∧rp∧sqp∧qt}6位投票者111114位投票者110017位投票者00100FMCSA1111

(b)基數(shù)最大L-一致子議程的判斷聚合方法化解集體判斷的不一致，既得到了L-一致的集體判斷，又確保了得到的集體判斷集基數(shù)最大，也就是在確保最小化損失信息的基礎(chǔ)之上得到了L-一致的集體判斷集。因此，它是更合理的方法。

如果我們預(yù)設(shè)復(fù)合命題形式的議題包含的信息比原子命題形式的議題多的話，{p∧r，p∧s，(p∧q)，t}這個集體判斷集是最佳的選擇，因?yàn)樗惶蕹藂這個議題得到基數(shù)最大且L-一致的集體判斷集，也就是以最小的信息損失換取了集體判斷的一致性。

最大子議程判斷聚合方法和基數(shù)最大子議程判斷聚合方法都是對議程中的議題進(jìn)行了剔除以求得一致的集體判斷集。對議程的議題剔除之后會導(dǎo)致個體判斷集是不完全的，再根據(jù)FMSA和FMCSA聚合之后所得到的集體判斷集也是不完全的，即最大子議程判斷聚合方法和基數(shù)最大子議程判斷聚合方法為了求得一致的集體判斷集是舍棄了個體和集體的完全理性，是有缺陷的聚合方法。

(三)基于權(quán)重最大判斷聚合方法

用最大子議程方法和基數(shù)最大子議程方法來化解集體判斷的不一致都沒有考慮到每一項(xiàng)議題所支持的人數(shù)，因此剔除q是達(dá)到集體判斷一致的最佳選擇，因?yàn)樗鼡p失信息是最小的。但是q的支持人數(shù)最多，這樣的剔除是否符合大多數(shù)人的意愿值得懷疑。集體聚合問題時常需要考慮每一個議題、項(xiàng)目或者產(chǎn)品的支持或喜歡的人數(shù)。

基于權(quán)重最大判斷聚合方法(method based on the weighted majoritarian judgment set)[9-10]是尋求在L-一致的集體判斷的前提下，保留議程A中被最高人數(shù)所支持的那些議題。所謂權(quán)重(weight)就是議題的支持人數(shù)。一般情況下有兩種方法可供選擇：第一種是找到最多支持人數(shù)的議題形成子議程，然后考查在子議程上集體判斷集的一致性，剔除那些導(dǎo)致不一致性的議題，將這個議題的否定放入集體判斷集，得到的集體判斷就是得票總數(shù)最多的判斷集；另一種是對議程A中的議題按支持人數(shù)進(jìn)行排序，集體判斷集是要從這個排序中逐一放入每一項(xiàng)議題并考查集體判斷集的一致性所得到的，最終得到的集體判斷集是從支持票數(shù)最高到最低的議題構(gòu)成的，如此既確保了一致性又考慮到了議題的支持人數(shù)。第一種被稱作最大權(quán)重子議程方法，第二種被稱作分級議程方法。其中，最大權(quán)重子議程方法在文獻(xiàn)[11]中又被稱為“簡單得分規(guī)則(simple scoring rule)”，分級議程方法在文獻(xiàn)[12]中又被稱為“最小字典序規(guī)則(Leximin rule)”。

1.最大權(quán)重子議程方法

最大權(quán)重子議程方法(Maxweight sub-agenda method，記作FMWA)就是著重考慮議程每一項(xiàng)議題的權(quán)重和集體判斷一致性的前提下，尋求最大權(quán)重L-一致集體判斷集JFMWA的過程。用該方法化解例1中集體判斷集不一致情形，首先要統(tǒng)計每一個議題支持的人數(shù)，也就是計算議題在判斷組合中的權(quán)重，在此基礎(chǔ)之上為找到一個總的支持人數(shù)最多且L-一致的集體判斷集，將所有支持人數(shù)最多的議題納入集體判斷集，然后考查這個集體判斷集的一致性。如果存在導(dǎo)致這個集體判斷集不一致的議題，就將它的否定放入其中，最終得到的就是最大L-一致集體判斷集JFMWA。用下面的例子來說明運(yùn)用最大權(quán)重子議程方法化解例1中不一致集體判斷集的過程。

例3仍用例1中議程集A和判斷組合P。根據(jù)權(quán)重的定義，將每一項(xiàng)議題的權(quán)重計算如下：

依據(jù)最大權(quán)重子議程方法的定義，我們是要找到一個總的支持人數(shù)最多且L-一致的集體判斷集，對以上每項(xiàng)議題的權(quán)重進(jìn)行排序，得票最高的議題q是13票，其次(p∧q)是11票，然后是p∧r，p∧s和t各得10票，以此類推?，F(xiàn)在要找到權(quán)重最大L-一致集體判斷集JFMWA的話，首先要把支持人數(shù)最多的議題q放入JFMWA。考慮到一致性的要求，q和(p∧q)不可以放入JFMWA，因?yàn)?，已?jīng)放入q，自然不能有q；而如果將(p∧q)放入其中，就會影響p∧r和p∧s放入JFMWA，因?yàn)閧p∧r，p∧s，(p∧q)}├L(p∧p)，即存在邏輯矛盾，但可以將(p∧q)的否定p∧q放入JFMWA并不會導(dǎo)致邏輯矛盾；緊接著我們把三項(xiàng)支持人數(shù)為10的議題p∧r、p∧s和t放入集體判斷集JFMWA中，這三項(xiàng)議題的加入并沒有導(dǎo)致JFMWA不一致情況的發(fā)生。同理考慮到一致性的問題，他們的否定形式的議題(p∧r)、(p∧s)和t都不可以放入集體判斷集JFMWA中，因而運(yùn)用最大權(quán)重子議程方法得到的集體判斷集JFMWA總的權(quán)重為WP({q，p∧q，p∧r，p∧s，t})=13+6+10+10+10=49，這個集合是在一致性的條件下權(quán)重最大的集體判斷，沒有其他的集體判斷集比這個集合權(quán)重更大，因而，求得的JFMWA={p∧r，p∧s，q，p∧q，t}是權(quán)重最大L-一致判斷集。FMWA方法是合理地解決不一致集體判斷的方法。

運(yùn)用最大權(quán)重子議程方法得到集體判斷集JFMWA是總的支持人數(shù)最多L-一致的判斷集，同時這個集合也是完全的，因而，我們說基于最大權(quán)重的子議程方法是最大限度地考慮了個體的意見得到的集體判斷集。然而，最大權(quán)重子議程方法著重考慮了求得的集體判斷集總的支持人數(shù)是最大的，沒有考慮到是否每一項(xiàng)議題的支持人數(shù)都是最大的。在上面的例子中，支持人數(shù)排名第二的議題(p∧q)由于影響了集體判斷集JFMWA的一致性只能將它的否定形式放入其中，剔除了(p∧q)，這樣所得的集體判斷集也是有瑕疵的。如何才能最大程度地保留支持人數(shù)最多的議題，需要引入分級議程方法來解決這個問題。

2.分級議程方法

定義6議題權(quán)重最大L-一致集體判斷集(JFRA)任一議程A={ψ1，…，ψ2m}以及對應(yīng)的排列σ為{1，…，2m}，P是A上的判斷組合，令≥為議程A上的完全弱序的偏好關(guān)系，即對于任意議題φ和ψ，如果N(P，φ)≥N(P，ψ)，那么φ≥ψ，因而可得如果ψσ(1)>…>ψσ(2m)，那么ψ1…ψ2m。下面來定義議題權(quán)重最大L-一致集體判斷集JFRA：J∈JFRA當(dāng)且僅當(dāng)存在一個序列σ使得>對應(yīng)于并且J=Jσ通過以下過程獲得：

S0：=?；

對于任何j=1，…，2m，如果Sj-1∪{ψσ(j)}是L-一致的，那么Sj：=S∪{ψσ(j)}；

逐一放入ψσ(j)直到最后一項(xiàng)；

Jσ=S

運(yùn)用分級議程方法(Rank agenda method，記作FRA)找到集體判斷集JFRA類似于形成極大一致集的過程。首先要計算議程中每個議題的權(quán)重，找到議題權(quán)重從大到小的?排序，從而得到相應(yīng)的議題的偏好排序。考查每一個議題ψσ(j)放入JFRA中時的一致性，最終得到議題權(quán)重最大L-一致集體判斷集JFRA。下面舉例說明運(yùn)用分級議程方法化解例1中不一致的集體判斷集的過程。

例4我們依然用例1中的議程A和判斷組合P?，F(xiàn)在要用分級議程方法FRA來解決集體判斷的不一致。

首先，計算議程中所有議題的權(quán)重：N(P，p∧r)=10，N(P，(p∧r))=7；N(P，p∧s)=10，N(P，(p∧s))=7；N(P，q)=13，N(P，q)=4；N(P，p∧q)=6，N(P，(p∧q))=11；N(P，t)=10，N(P，t)=7。

運(yùn)用分級議程方法解決集體判斷不一致的情況，首先考慮的是每一項(xiàng)議題支持人數(shù)的多寡，也就是每項(xiàng)議題的權(quán)重，其次在形成JFRA的過程中，除了考慮到了集體判斷集的一致性，也同時顧及到了完全性的要求，所得到的集體判斷集是L-一致且完全的。

最大權(quán)重子議程方法和分級議程方法都考慮到了議題支持人數(shù)的信息，并且得到的集體判斷集都是L-一致且完全的。為了化解不一致的集體判斷集，這兩種方法都對議程中每一項(xiàng)議題的權(quán)重進(jìn)行了計算。然而在運(yùn)用FMWA和FRA過程中并沒有考慮到個體判斷集是否是L-一致且完全的，也就是沒有將個體的完全理性考慮在內(nèi)，所得到的集體判斷集是符合完全理性要求的，因而這兩種方法是修改了個體完全理性的要求得到一致且完全的集體判斷集，也是有缺陷的聚合方法。

四、結(jié)語

本文在判斷聚合框架下分析了集體判斷不一致的問題以及相應(yīng)的解決方案。通過探討，得出如下的結(jié)論：第一，議程中的議題可以明確區(qū)分前提集和結(jié)論集的情況，采用基于前提或者結(jié)論的判斷聚合方法來得到一致的集體判斷。這兩種方法在處理不一致集體判斷集的過程中，個體單獨(dú)對前提集或者結(jié)論集進(jìn)行判斷，然后再使用多數(shù)聚合規(guī)則從而化解不一致的集體判斷集。第二，議程中的議題不易區(qū)分前提集和結(jié)論集的情況下，本文主要采用基于多數(shù)判斷集的判斷聚合方法和基于權(quán)重最大的判斷聚合方法。從上述的分析來看，這兩類方法對這種無法區(qū)分前提集和結(jié)論集的不一致集體判斷集是行之有效的?；诙鄶?shù)判斷集的判斷聚合規(guī)則側(cè)重考慮的是刪除部分議題來化解不一致的集體判斷集，剔除議題的原則是最大程度保留原議程中的議題；基于最大權(quán)重子議程的判斷聚合規(guī)則著重考慮每個議題支持人數(shù)的多少，盡量確保集體判斷集中保留支持人數(shù)多的那些議題。第三，每一種判斷聚合方法都不是全能的，它們都存在各自的缺陷，選擇不同的方法聚合會導(dǎo)致不同的集體判斷集，這也同時表明任何聚合方法都不是完美的，都存在被操縱的可能性。

判斷聚合方法與投票規(guī)則有著千絲萬縷的聯(lián)系。判斷聚合方法是投票規(guī)則的一般和概括，對判斷聚合方法的某些限制條件的改變會對應(yīng)于某些投票規(guī)則。在未來的研究中，我們可以證明哪些限制條件下的判斷聚合方法可以對應(yīng)于我們已知的一些投票規(guī)則。除此而外，判斷聚合規(guī)則本身也還有很多新內(nèi)容可以挖掘，本文中所采用的一種是區(qū)分前提結(jié)論，另外一種是對議程中議題的取舍。接下來也可以對個體判斷集進(jìn)行取舍或者改變從而達(dá)到一致的集體判斷，或者采用信念融合過程中的基于距離的融合算子設(shè)計判斷聚合方法，對判斷組合進(jìn)行更改從而達(dá)成一致的判斷結(jié)果。我們可以在研究判斷聚合方法的過程中深入考查這些規(guī)則所滿足的性質(zhì)，比如一致同意原則、單調(diào)原則、可分離原則等等，以及在何種情況下會導(dǎo)致不可能情形的發(fā)生。

總之，現(xiàn)在新出現(xiàn)的一些計算機(jī)科學(xué)的新技術(shù)需要聚合個體的信息或者判斷，社會選擇理論提供這樣的方法和技術(shù)，特別是判斷聚合理論的出現(xiàn)和發(fā)展對計算機(jī)和多主體決策系統(tǒng)提供了新的更準(zhǔn)確的聚合方法。我們可以利用這些模型聚合個體判斷得到集體的決策，從而可以將集體的判斷內(nèi)容推薦給更多的個體，服務(wù)于更多更廣泛的個體來解決信息過載(information overload)的問題，這就是在推薦系統(tǒng)中的應(yīng)用。對于搜索引擎用戶搜索內(nèi)容的聚合，區(qū)分不同類型用戶得到某一類用戶的搜索內(nèi)容排序，使得用戶更快地搜索到所需內(nèi)容。隨著電子商務(wù)和互聯(lián)網(wǎng)的不斷發(fā)展，判斷聚合理論的方法與人工智能技術(shù)的結(jié)合將做出很多類似推薦系統(tǒng)和搜索引擎的應(yīng)用，可以更好更便捷地服務(wù)人類生活。

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責(zé)任編輯劉榮軍

網(wǎng)址：http://xbbjb.swu.edu.cn

中圖分類號：B81

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1673-9841(2016)01-0018-11

基金項(xiàng)目：西南大學(xué)人文社會科學(xué)重大培育項(xiàng)目“中國社會轉(zhuǎn)型下群體理性認(rèn)知的邏輯分析及實(shí)證建模研究”(12XDSKZ003)，項(xiàng)目負(fù)責(zé)人：唐曉嘉。

通訊作者：

作者簡介：李莉，西南大學(xué)邏輯與智能研究中心，博士研究生。唐曉嘉，教授，博士生導(dǎo)師。

收稿日期：*2015-05-07

DOI：10.13718/j.cnki.xdsk.2016.01.003