淺談如何提高學(xué)生的解題能力

李波

摘 要：提高學(xué)生的解題能力是每位一線教師的目標(biāo)，在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不少教師采取“題海戰(zhàn)術(shù)”，通過大量練習(xí)讓學(xué)生多見題，多掌握一些解題技巧，來提高學(xué)生的解題能力，忽視了數(shù)學(xué)理性思維的深化與拓展，加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，與新課程理念背道而馳，本文從鞏固知識(shí)基礎(chǔ)、提升運(yùn)算能力、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想、指導(dǎo)解題策略四個(gè)方面來談如何提高學(xué)生的解題能力。

關(guān)鍵詞： 解題能力;運(yùn)算能力;知識(shí);數(shù)學(xué)思想;解題策略

美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P.P.Halmos）說：“數(shù)學(xué)的真正組成部分應(yīng)該是問題和解，解題才是數(shù)學(xué)的心臟?！泵兰傺览麛?shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞稱：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題?！笨梢?，在數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家眼里，解題教學(xué)具有舉足輕重的地位。每年當(dāng)我們把學(xué)生送進(jìn)高考考場(chǎng)后，我們每位一線教師，最擔(dān)心的是今年的高考創(chuàng)新題多不多，思維強(qiáng)度大不大，學(xué)生解題順不順，其中“學(xué)生解題順不順”關(guān)系到學(xué)生分?jǐn)?shù)的高低，也反映了我們自身的教學(xué)效果，面對(duì)這一擔(dān)憂，我一直都在思考，高中三年不同的時(shí)期，如何采用不同的教學(xué)方式分階段地提高學(xué)生的解題能力，使學(xué)生對(duì)各種問題能迎刃而解呢？

提高學(xué)生的解題能力是每位一線教師的目標(biāo)，在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不少教師采取“題海戰(zhàn)術(shù)”，通過大量練習(xí)讓學(xué)生多見題，多掌握一些解題技巧，來提高學(xué)生的解題能力，忽視了數(shù)學(xué)理性思維的深化和拓展，這樣既加重了學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，影響了學(xué)生的身心健康，而且事倍功半。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程與做題確實(shí)有緊密的關(guān)系，而數(shù)學(xué)能力的提高在于解題的方法、策略而非解題的數(shù)量，因而要善于幫助學(xué)生在解題過程中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、積累解題的思維方法，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力。那么，如何提高學(xué)生的解題能力，下面結(jié)合我的教學(xué)實(shí)踐，淺顯的談幾點(diǎn)看法：

一、 ?打牢知識(shí)基礎(chǔ)

平時(shí)課后與學(xué)生談心，了解到學(xué)生普遍課堂上能聽懂，課后卻不會(huì)解題，這給我們一個(gè)重要的警示：學(xué)生聽懂?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)不等于會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)還不牢固。知識(shí)是解題的基礎(chǔ)，那么數(shù)學(xué)知識(shí)又是如何分類的呢？根據(jù)現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)理論，數(shù)學(xué)上的知識(shí)分為陳述性知識(shí)、程序性知識(shí)和策略性知識(shí)。陳述性知識(shí)是描述事物“是什么”的知識(shí)，如數(shù)學(xué)中的定義、原理等;程序性知識(shí)是指“怎樣做”的知識(shí)，如數(shù)學(xué)解題思想與方法;策略性知識(shí)是關(guān)于如何學(xué)習(xí)和思維的知識(shí)，如對(duì)審題過程、解題推理過程、運(yùn)算過程等一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)進(jìn)行的自我調(diào)控與反思。對(duì)于這三種知識(shí)，我們?cè)谡n堂教學(xué)中不能忽視任何一種，如果學(xué)生對(duì)于靜態(tài)的陳述性知識(shí)理解不透徹，對(duì)動(dòng)態(tài)的程序性知識(shí)練習(xí)不到位，對(duì)策略性知識(shí)不加以總結(jié)提升，就會(huì)導(dǎo)致數(shù)學(xué)知識(shí)掌握的不全面，基礎(chǔ)不扎實(shí)，進(jìn)而出現(xiàn)許多學(xué)生“課堂上能聽懂，課后卻不會(huì)解題”的現(xiàn)狀。

案例1 已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，求證 + ≥

思路分析 大多數(shù)學(xué)生看到這個(gè)不等式證明題，馬上想到采用綜合法、分析法等，而此題利用這些方法證明很復(fù)雜，有很多學(xué)生做不下去了，便放棄了。其實(shí)，從題目的外表形式觀察到，要證的結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的距離公式很相似，而左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式。根據(jù)其特點(diǎn)，可采用下面巧妙而簡(jiǎn)捷的證法：

證明：假設(shè)A（a，b），B（c，d），

則|AB|=

|OA|= |OB|=

在△OAB中，由三角形三邊之間的關(guān)系知：

|OA|+|OB|≥|AB|當(dāng)且僅當(dāng)O點(diǎn)在線段AB上時(shí)，等號(hào)成立。

因此， + ≥

學(xué)生通過觀察沒有發(fā)現(xiàn)上面這種方法的原因，是對(duì)平面上兩點(diǎn)之間的距離公式還不是很熟，即對(duì)陳述性知識(shí)的理解不透徹，當(dāng)學(xué)生采用分析法、綜合法證明說明學(xué)生掌握了部分程序性知識(shí)，但覺得這種證明方法很繁時(shí)，沒有對(duì)自己的審題與解題過程進(jìn)行反思和調(diào)整，即還不具備策略性知識(shí)。這啟示我們?cè)诮虒W(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)陳述性知識(shí)進(jìn)行精細(xì)加工，對(duì)程序性知識(shí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練，特別我們教師要對(duì)策略性知識(shí)的傳授進(jìn)行精心的分析與設(shè)計(jì)。如果對(duì)每一種知識(shí)，學(xué)生都能熟練掌握，就會(huì)為解題能力的提高打下扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)。

二、 提升運(yùn)算能力

高考數(shù)學(xué)考試大綱中認(rèn)為運(yùn)算能力是指會(huì)根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理;能根據(jù)問題的條件和目標(biāo)，尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑;能根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算。運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)的基本能力，解數(shù)學(xué)問題幾乎離不開運(yùn)算，通過強(qiáng)化運(yùn)算能力，可以加深對(duì)數(shù)的概念的理解，可以培養(yǎng)數(shù)理邏輯能力、科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鍪伦黠L(fēng)、細(xì)致耐心的性格。高考對(duì)運(yùn)算能力要求“準(zhǔn)確、熟練、合理”，可每次考試下來，經(jīng)常聽到學(xué)生自責(zé)“太馬虎，太粗心了”，有很多學(xué)生因運(yùn)算的失誤丟二三十分之多，這些狀況顯然都是學(xué)生的運(yùn)算能力差引起的，而運(yùn)算能力往往容易被學(xué)生所忽視，因?yàn)樗麄兇蠖颊J(rèn)為只要掌握題目的解題思路與方法就可以了，等到考試的時(shí)候再進(jìn)行運(yùn)算，由于平時(shí)缺乏必要的訓(xùn)練，待到考試時(shí)，一算就錯(cuò)，更談不上有靈活的運(yùn)算技能了。

案例2 （2012廣東理）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C： + =1（a>b>0）的離心率e= ，且橢圓C上的點(diǎn)到Q（0，2）的距離的最大值為3.

（1）求橢圓C的方程;

（2）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及相對(duì)應(yīng)的△OAB的面積;若不存在，請(qǐng)說明理由。

分析： 本題屬于探索性問題，主要考查了橢圓的準(zhǔn)確方程的確定，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的參數(shù)方程以及距離公式等，考生感覺容易動(dòng)筆，但在運(yùn)算過程中，沒有扎實(shí)的運(yùn)算功底，第2問是很容易出錯(cuò)的，它涉及到運(yùn)算技巧，將點(diǎn)到直線的距離表示出來后，面對(duì)一個(gè)很復(fù)雜的式子，能否想到利用換元法簡(jiǎn)化式子結(jié)構(gòu)以及利用基本不等式處理最值，都需要學(xué)生靈活的運(yùn)算思維。這就要求老師平時(shí)的教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生，靈活運(yùn)用法則、公式，合理選擇簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑，在適度合理的訓(xùn)練中，逐漸提高運(yùn)算能力。

三、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，除了要牢固的掌握數(shù)學(xué)基本概念、定理、公式、法則等以外，還要具有綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力，重視數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)和運(yùn)用，突出數(shù)學(xué)思想，是提高解題能力的一個(gè)很重要措施，是數(shù)學(xué)的精髓。數(shù)學(xué)思想的考查往往與數(shù)學(xué)知識(shí)考查結(jié)合進(jìn)行，而數(shù)學(xué)思想又往往隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)的背后，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)思想教學(xué)時(shí)必須以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，把隱藏在知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想方法顯示出來，達(dá)到通過知識(shí)教學(xué)來掌握數(shù)學(xué)思想的目的，而不是脫離內(nèi)容形式地進(jìn)行傳授，如果教師經(jīng)常結(jié)合具體問題不失時(shí)機(jī)地運(yùn)用、滲透數(shù)學(xué)思想，對(duì)其進(jìn)行多次再現(xiàn)、不斷深化，就會(huì)逐步內(nèi)化為學(xué)生能力的組成部分，實(shí)現(xiàn)“知識(shí)型”向“能力型”的轉(zhuǎn)化。

案例3 若不等式 ≥x（a>0）的解集為則a的值為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析：畫出y= y=x的圖象，依題意，m=-a，n=a從而 =a？圯a=0或2。故選B。

點(diǎn)評(píng)：本題很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性，如果單純地從數(shù)的觀點(diǎn)來解題的話，得出m=-a與n=a也是有一定的難度的，但從形的角度出發(fā)，可以很直觀地看出，化繁為簡(jiǎn)，大大提高做題的速度，節(jié)約時(shí)間，這也就說明了解題時(shí)，一定要重視數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。

四、 ?指導(dǎo)解題策略

經(jīng)常有學(xué)生說“數(shù)學(xué)題目我真的做了不少，但一碰到新題，卻又做不出來，心里好苦惱?！边@就要求平時(shí)我們應(yīng)向?qū)W生傳授一些解題策略，讓學(xué)生即使遇到新題也能夠應(yīng)用已學(xué)過的解題策略加以解決。這里所指的解題策略，指的是在解題思維中，從宏觀的角度來考慮解題途徑的思想和方法。解題策略是一種較高層次的解題方法，它主要涉及的是解題的方向、原則、目標(biāo)等方面，是對(duì)解題途徑的全方位的認(rèn)識(shí)，有較強(qiáng)的指導(dǎo)性。許多學(xué)者對(duì)不同層次的學(xué)生的解題策略做過對(duì)比研究，研究表明：不同層次的學(xué)生在解題能力上的差異，最主要的并不是固有知識(shí)（即陳述性知識(shí)）的差異，而是解題的思維策略的差異。層次較高的學(xué)生大多能自主地生成策略，層次較弱的學(xué)生一般都缺乏策略，且很難形成策略。教學(xué)中若能教會(huì)學(xué)生了解與應(yīng)用解題策略，會(huì)幫助學(xué)生高效地解決問題，不斷提高思維靈活性和創(chuàng)造力。

一直以來的教學(xué)，我們更多的是不斷重復(fù)講題練題，很少關(guān)注解題策略的教學(xué)，基本上都是依靠學(xué)生自己在解題實(shí)踐中一步一步慢慢生成的，學(xué)生解題策略的獲得常常是零散的，拼湊的，或“碰了許多釘子”才有所領(lǐng)悟的。幫助學(xué)生概括出解題策略比他們自然生成的策略要快要完整得多，特別在數(shù)學(xué)習(xí)題的教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)將解決數(shù)學(xué)問題的思維策略提煉出來，具體地，明確地、有意識(shí)地教給學(xué)生，并適時(shí)幫助學(xué)生對(duì)解題思維過程進(jìn)行整理歸納，讓學(xué)生在解題實(shí)踐中真正掌握解決問題的各種策略。數(shù)學(xué)解題策略包括：模型策略、化歸轉(zhuǎn)化策略、歸納策略、演繹策略、類比策略、差異分析策略、正難則反策略等。下面以歸納策略為例進(jìn)行簡(jiǎn)單分析：

案例4. ?設(shè)a，b，c均為整數(shù)，求證：an+bn+cn≥apbdecy+aybpcq+aqbrcp，其中n∈N，p，q，r為非負(fù)整數(shù)，p+q+r=n。

分析：此題證明思路并不明顯，比較難以下手，退一步，先考慮p=2，q=1，r=0，n=3的特殊情況，這時(shí)所證不等式為a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.

由于 ≥ =a2b同理 ≥b2c， ≥c2a

三式相加可得到a3+b3+c3≥a2b+b2c+

c2a

仿效上面特例，得到如下思路：

?≥apbqcy

?≥aybpcq

?≥aqbrcp

三式相加得an+bn+cn≥apbqcy+aybpcq+

aqbrcp.

由此可見，當(dāng)看到題目時(shí)應(yīng)認(rèn)真觀察，展開聯(lián)想，通過嘗試，確定運(yùn)用歸納策略進(jìn)行解題，一旦解題的方向確定后，只需細(xì)心求證，就歸納出結(jié)論。

有關(guān)解題策略的教學(xué)，一定要符合學(xué)生的實(shí)際，針對(duì)不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生應(yīng)采取不同的訓(xùn)練方式，要注重基礎(chǔ)，加強(qiáng)運(yùn)算，循序漸進(jìn)，強(qiáng)調(diào)積累;教學(xué)中要特別針對(duì)各種解題策略選擇較多的恰當(dāng)事例講解，要給學(xué)生足夠的消化理解的時(shí)間，進(jìn)而使不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生都能對(duì)所學(xué)的解題策略形成概括化的認(rèn)識(shí)，應(yīng)用到具體解題中去。

總之，以加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算能力為依托，輔以數(shù)學(xué)思想與解題策略，前者為表，后者為里，里外兼?zhèn)?，就一定能促進(jìn)學(xué)生解題能力的提高。

（作者單位：湖南省岳陽市第一中學(xué)）