存在觀測(cè)站位置誤差的轉(zhuǎn)發(fā)式時(shí)差無(wú)源定位

朱穎童， 董春曦， 劉松楊， 董陽(yáng)陽(yáng)， 趙國(guó)慶 西安電子科技大學(xué) 電子信息攻防對(duì)抗與仿真技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 西安 710071

存在觀測(cè)站位置誤差的轉(zhuǎn)發(fā)式時(shí)差無(wú)源定位

朱穎童*， 董春曦， 劉松楊， 董陽(yáng)陽(yáng)， 趙國(guó)慶 西安電子科技大學(xué) 電子信息攻防對(duì)抗與仿真技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 西安 710071

無(wú)源定位中，由于觀測(cè)站安放在運(yùn)動(dòng)平臺(tái)等原因造成的觀測(cè)站位置誤差會(huì)影響無(wú)源定位精度性能。另外到達(dá)時(shí)間差(簡(jiǎn)稱(chēng)時(shí)差)(TDOA)的轉(zhuǎn)發(fā)式測(cè)量需要將不同觀測(cè)站截獲到的輻射源信號(hào)都轉(zhuǎn)發(fā)到同一位置，如主觀測(cè)站。針對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題，提出了基于約束總體最小二乘(CTLS)的無(wú)源定位算法。首先將轉(zhuǎn)發(fā)式時(shí)差的非線性定位方程轉(zhuǎn)化為不需要中間變量的直接線性方程，再基于CTLS算法依次轉(zhuǎn)化為約束優(yōu)化問(wèn)題和無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，最后推導(dǎo)給出定位近似閉式解。仿真實(shí)驗(yàn)表明在觀測(cè)站誤差較大時(shí)，該算法與其他算法相比定位精度性能較好。

無(wú)源定位； 到達(dá)時(shí)間差(TDOA)； 觀測(cè)站位置誤差； 約束總體最小二乘(CTLS)； 近似閉式解

無(wú)源定位具有作用距離遠(yuǎn)，安全隱蔽性能好，獲取信息多而準(zhǔn)等優(yōu)勢(shì)，是電子對(duì)抗的一個(gè)重要的研究方向。無(wú)源定位問(wèn)題是非線性問(wèn)題，在解決該問(wèn)題時(shí)需要克服有偏差、計(jì)算量大等困難，因此雖然數(shù)據(jù)量不是很大，但如何能夠通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算或迭代得到高精度的估計(jì)結(jié)果，一直以來(lái)都得到了廣泛而深入的研究。多站時(shí)差定位以其全面、精確、實(shí)時(shí)性好的優(yōu)勢(shì)在現(xiàn)代定位中得到了廣泛的應(yīng)用。隨著技術(shù)的發(fā)展，無(wú)源探測(cè)設(shè)備已經(jīng)被安裝在飛機(jī)、偵察衛(wèi)星、無(wú)人駕駛飛機(jī)等運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上[1]，這些運(yùn)動(dòng)平臺(tái)自身的位置估計(jì)會(huì)存在誤差，因此會(huì)影響無(wú)源時(shí)差定位的性能。

文獻(xiàn)[2]指出測(cè)量時(shí)差的方法大致分為兩種：一種是采用同步時(shí)鐘的方式在不同位置分別測(cè)量信號(hào)某一特征點(diǎn)的時(shí)間再相減；另一種是將信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)到同一位置，比較它們相對(duì)移動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間后最相像。為了描述簡(jiǎn)便，在這里把第1種時(shí)差稱(chēng)為基于同步時(shí)鐘的差分式時(shí)差，第2種時(shí)差稱(chēng)為轉(zhuǎn)發(fā)式時(shí)差。相關(guān)的討論無(wú)源時(shí)差定位的論文所用到的時(shí)差都是假定基于前一種方法得到。文獻(xiàn)[2]指出后一種方法測(cè)量得到的轉(zhuǎn)發(fā)式時(shí)差具有更高的精度。文獻(xiàn)[3]給出的根據(jù)相位估計(jì)時(shí)差算法以及時(shí)差測(cè)量精度分析是基于將不同觀測(cè)站將截獲到的輻射源信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)到同一接收機(jī)的場(chǎng)景。因此通過(guò)轉(zhuǎn)發(fā)和測(cè)量得到轉(zhuǎn)發(fā)式時(shí)差是輻射源信號(hào)直接輻射到主觀測(cè)站所需時(shí)間與經(jīng)過(guò)副觀測(cè)站轉(zhuǎn)發(fā)到達(dá)主觀測(cè)站所需時(shí)間之差。不存在觀測(cè)站位置誤差時(shí)，因?yàn)榭梢源_切得到主副觀測(cè)站之間距離差，所以?xún)煞N方法的時(shí)差可以相互無(wú)誤差轉(zhuǎn)換。但是當(dāng)存在觀測(cè)站位置誤差時(shí)，兩種方法的時(shí)差相互轉(zhuǎn)換時(shí)會(huì)引入觀測(cè)站位置誤差，因此利用第2種方法得到的時(shí)差進(jìn)行無(wú)源定位時(shí)需要針對(duì)觀測(cè)站位置誤差設(shè)計(jì)特定的定位模型和算法。

目前考慮觀測(cè)站位置誤差的無(wú)源時(shí)差定位主要包括文獻(xiàn)[4-9]，其中文獻(xiàn)[4-6]基于兩步加權(quán)最小二乘法(Two-stage Weighted Least Squares (WLS))進(jìn)行改進(jìn)，文獻(xiàn)[7-9]基于約束總體最小二乘(CTLS)法進(jìn)行改進(jìn)。這兩類(lèi)算法雖然在估計(jì)中間變量時(shí)考慮了觀測(cè)站位置誤差，但由中間變量估計(jì)最終定位結(jié)果時(shí)仍會(huì)受到主觀測(cè)站位置誤差的影響。因此考慮直接可以得到定位結(jié)果的模型，文獻(xiàn)[10]首次提出無(wú)需中間的定位模型來(lái)分析多徑效應(yīng)對(duì)定位的影響。文獻(xiàn)[11]利用該模型，將定位問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為廣義Rayleigh商問(wèn)題，通過(guò)廣義特征值分解來(lái)求解輻射源位置，該算法并未考慮觀測(cè)站位置誤差。文獻(xiàn)[11-13]都是采用廣義Rayleigh商進(jìn)行定位求解，這類(lèi)算法不需要對(duì)輻射源位置進(jìn)行預(yù)估，但其校正矩陣將多個(gè)變量的噪聲項(xiàng)按方差加權(quán)相加，并未根據(jù)定位時(shí)實(shí)際定位數(shù)據(jù)的誤差大小進(jìn)行校正，因此當(dāng)含噪聲的變量較多且噪聲方差較大時(shí)定位精度不佳。文獻(xiàn)[14-16]基于CTLS定位求解，定位性能較好，但求解需要迭代，計(jì)算量較大。文獻(xiàn)[17-19]給出了定位閉式解，以較少的計(jì)算量仍可達(dá)到不錯(cuò)的定位性能。

本文的無(wú)源時(shí)差定位算法同時(shí)考慮觀測(cè)站位置誤差和時(shí)差測(cè)量誤差。首先將利用轉(zhuǎn)發(fā)式時(shí)差的非線性定位方程轉(zhuǎn)化為不需要中間變量的直接線性方程，然后根據(jù)CTLS算法將線性方程轉(zhuǎn)化為約束優(yōu)化問(wèn)題，并轉(zhuǎn)化為等價(jià)的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，并最終給出定位的近似閉式解。

本文內(nèi)容組織如下：第1節(jié)給出利用轉(zhuǎn)發(fā)式時(shí)差的無(wú)源定位模型，將三維非線性定位方程轉(zhuǎn)化為不需要中間變量的直接線性方程；第2節(jié)基于CTLS算法，根據(jù)線性方程中時(shí)差誤差和觀測(cè)站位置誤差的結(jié)構(gòu)，將定位問(wèn)題轉(zhuǎn)化為約束優(yōu)化問(wèn)題；第3節(jié)推導(dǎo)給出定位近似閉式解，第4節(jié)進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。

1 利用轉(zhuǎn)發(fā)式時(shí)差的直接線性定位模型

本文實(shí)現(xiàn)對(duì)輻射源目標(biāo)的三維定位，副觀測(cè)站轉(zhuǎn)發(fā)目標(biāo)信號(hào)給主觀測(cè)站以測(cè)量得到轉(zhuǎn)發(fā)式時(shí)差。為了保證定位結(jié)果的唯一性，假定觀測(cè)站不在同一個(gè)平面或同一條直線上。

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：στi1(i=2,3,…,M)為各時(shí)差測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差。

文獻(xiàn)[3]給出轉(zhuǎn)發(fā)式時(shí)差的στi1的計(jì)算公式為

(5)

式中：Bn為接收機(jī)噪聲帶寬；T為測(cè)量積累時(shí)間；一般為信號(hào)持續(xù)時(shí)間；γ為有效輸入信噪比；Bs為信號(hào)等效帶寬。

對(duì)比時(shí)差的兩種測(cè)量方法，基于同步時(shí)鐘的差分式時(shí)差雖然原理簡(jiǎn)單，但測(cè)量精度比較難以提高。而轉(zhuǎn)發(fā)式時(shí)差，信號(hào)帶寬越寬，信號(hào)時(shí)間越長(zhǎng)，信噪比越高，測(cè)量得到的精度越高。

轉(zhuǎn)發(fā)式時(shí)差對(duì)應(yīng)的距離差為

(6)

式中：c為信號(hào)傳播的速率。

下面推導(dǎo)給出轉(zhuǎn)發(fā)式時(shí)差無(wú)源定位的直接線性方程。令輻射源信號(hào)的發(fā)射時(shí)刻為t0，信號(hào)傳遞到主觀測(cè)站的時(shí)間為t1，信號(hào)經(jīng)過(guò)副觀測(cè)站i轉(zhuǎn)發(fā)到主觀測(cè)站的時(shí)刻為ti，有

(7)

(8)

(9)

將式(8)和式(9)等號(hào)兩邊分別平方并相減，轉(zhuǎn)化可得

(10)

當(dāng)i≠j時(shí)，由式(10)可得

(11)

(12)

將式(12)代入式(11)，可得如下線性方程

(13)

因此，根據(jù)式(13)可以將M個(gè)觀測(cè)站測(cè)量得到的M-1時(shí)差構(gòu)造成M-2個(gè)獨(dú)立線性方程以求解輻射源目標(biāo)的位置，寫(xiě)成矩陣與向量運(yùn)算的形式如式(14)所示。為了使線性方程組非欠定，需要滿(mǎn)足M≥5。如果觀測(cè)站觀測(cè)站數(shù)目M=4，只能得到3個(gè)時(shí)差，獨(dú)立方程數(shù)降低，無(wú)法得到唯一解，會(huì)存在定位結(jié)果模糊的問(wèn)題。對(duì)于該情況，可以利用觀測(cè)站得到的其他測(cè)量信息解模糊，如主觀測(cè)站測(cè)量得到的目標(biāo)波達(dá)方向(DOA)。另外，也可以引入正則化方法解決定位方程ill-posed問(wèn)題，如Tikhonov正則化法、正則CTLS法等。

A*X*=b*

(14)

式中：X*=u*=[x*y*z*]T

A*=

b*=

由于各副觀測(cè)站與主觀測(cè)站之間距離可以由各觀測(cè)站的位置坐標(biāo)計(jì)算得到，因此經(jīng)過(guò)一系列變換后得到矩陣A*和向量b*只利用了輻射源信號(hào)直接到達(dá)主觀測(cè)站與經(jīng)過(guò)各副觀測(cè)站轉(zhuǎn)發(fā)到達(dá)主觀測(cè)站的時(shí)差信息，以及各觀測(cè)站位置坐標(biāo)。

由于觀測(cè)站真實(shí)位置和時(shí)差無(wú)法得到，顯然矩陣A*和向量b*中各元素所受到的噪聲分量并不獨(dú)立同分布，因此使用適用于情況的CTLS來(lái)解決該問(wèn)題。

2 基于CTLS的定位算法

矩陣A*和向量b*可以由含有噪聲的觀測(cè)站位置坐標(biāo)和時(shí)差測(cè)量構(gòu)成的矩陣A和向量b以及擾動(dòng)矩陣ΔA和擾動(dòng)向量Δb之和來(lái)逼近，即

(15)

令含有噪聲的變量為m=[sTτT]T，其噪聲向量為n=[ΔsTΔτT]T，由于觀測(cè)站位置噪聲和時(shí)差測(cè)量噪聲之間相互獨(dú)立，因此噪聲向量n的自相關(guān)矩陣為Rn=E(nnT)=blkdiag(Qs,Qτ)，其中blkdiag(·)表示分塊對(duì)角矩陣。由于各噪聲協(xié)方差不同，可以將n白化，令n白化后服從正態(tài)分布白噪聲向量為e。將Rn進(jìn)行Cholesky分解有Rn=PPT，則噪聲向量白化的過(guò)程為e=P-1n，則有噪聲向量n與正態(tài)分布白噪聲向量e的關(guān)系為n=Pe。將測(cè)量估計(jì)得到的m代替真實(shí)向量s*和τ*代入矩陣A*和向量b*，并令替換后的矩陣和向量分別為A和b，將它們的各元素在s和τ處進(jìn)行泰勒展開(kāi)，有

(16)

式中：i=1,2,…,M-2；j=1,2,3；gij為矩陣A中第i行第j列對(duì)應(yīng)的元素對(duì)向量m中各元素分別求偏導(dǎo)得到的梯度向量；gi4為向量b中第i個(gè)元素對(duì)向量m中各元素分別求偏導(dǎo)得到的梯度向量。

忽略式(16)中的高階項(xiàng)，利用一階項(xiàng)構(gòu)造擾動(dòng)矩陣ΔA和擾動(dòng)向量Δb。并根據(jù)噪聲向量n與正態(tài)分布白噪聲向量e的關(guān)系n=Pe，在構(gòu)造的擾動(dòng)矩陣ΔA和擾動(dòng)向量Δb中將噪聲向量n替換為白化后的噪聲向量e，有

(17)

式中：

(18)

上述各項(xiàng)中分別有如下非零項(xiàng)：

(2cτ21-2d21-cτ(i+2)1+d(i+2)1)/d21×

(2cτ21-2d21-cτ(i+2)1+d(i+2)1)/d(i+2)1×

聯(lián)立式(14)、式(15)和式(17)可得

(19)

式中：HX=xG1+yG2+zG3-G4；HXPe為AX-b的一階泰勒展開(kāi)項(xiàng)。

HXPe將噪聲向量e與系統(tǒng)誤差項(xiàng)ΔAX-Δb之間的關(guān)系近似為噪聲e的線性映射。

采用CTLS算法，輻射源目標(biāo)位置的求解等價(jià)于如下的約束問(wèn)題：

(20)

3 定位近似閉式解的推導(dǎo)

由式(20)所示的約束條件可得

(21)

式中：+號(hào)表示Moor-Penrose廣義逆矩陣。

(22)

(23)

由于無(wú)約束優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于X的實(shí)非線性函數(shù)，無(wú)法直接求解。因此基于CTLS算法的相關(guān)文獻(xiàn)基本都是利用Newton算法進(jìn)行迭代求解，迭代公式為

(24)

計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的Hess矩陣和梯度向量需要多次矩陣求逆和相乘，計(jì)算復(fù)雜度高，迭代求解時(shí)間較長(zhǎng)。另外，由于定位求解為非凸函數(shù)的求解，迭代法無(wú)法保證迭代收斂至全局最優(yōu)解。因此下面推導(dǎo)給出不需要迭代的近似閉式解。對(duì)CTLS的無(wú)約束優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)式(23)進(jìn)行求導(dǎo)。

(25)

將式(21)代入式(25)，可得

(26)

式(26)是高斯白噪聲e的二階項(xiàng)。忽略二階項(xiàng)可以得到式(23)的近似方程為

(27)

解該近似方程可以得到CTLS的近似閉式解為

(28)

雖然近似閉式解的精度小于迭代法收斂時(shí)的結(jié)果，但由于近似忽略的是噪聲二階項(xiàng)，近似的線性方程與非線性方程之間相差較小，因此近似閉式解與迭代解兩者之間的精度差異較小。而又因?yàn)椴淮嬖诘諗康膯?wèn)題，近似閉式解具有更好的穩(wěn)定性。

綜上所述，利用轉(zhuǎn)發(fā)式時(shí)差并考慮觀測(cè)站位置誤差的無(wú)源定位算法的步驟為

步驟1 將觀測(cè)站位置估計(jì)值和時(shí)差測(cè)量值代入式(14)得到[A b]。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證算法的性能，分別對(duì)近距離和遠(yuǎn)距離的目標(biāo)進(jìn)行了蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)，比較分析各算法性能隨著觀測(cè)站位置噪聲和觀測(cè)站數(shù)目的變化。將本文提出的算法與LS算法、TLS算法、Two-stage WLS算法[6]、廣義Rayleigh商算法[11]的定位性能進(jìn)行比較。LS算法和TLS算法使用的模型都是本文中推導(dǎo)給出的模型，即矩陣[A*b*]使用式(14)中給出的公式。本文中的時(shí)差與文獻(xiàn)[6]中的時(shí)差定義不同，在仿真Two-stage WLS算法時(shí)將本文中得到的時(shí)差減去光速在主副觀測(cè)站間傳播的時(shí)間換算成文獻(xiàn)[6]中的時(shí)差，按算法步驟實(shí)現(xiàn)。廣義Rayleigh商算法的仿真實(shí)現(xiàn)在采用文獻(xiàn)[11]的算法時(shí)同樣也考慮觀測(cè)站位置誤差，即對(duì)[Ab]同時(shí)進(jìn)行時(shí)差和觀測(cè)站位置泰勒展開(kāi)，其他步驟與文獻(xiàn)[11]一致。另外按文獻(xiàn)[20]中的公式仿真給出觀測(cè)站存在位置誤差的克拉美-羅下限(CRLB)。在仿真中，觀測(cè)站與輻射源目標(biāo)在空間中的位置如表1所示。

表1 觀測(cè)站和輻射源在空間中的位置

采用均方根誤差(RootMeanSquaresError,RMSE)來(lái)度量輻射源位置的定位精度性能，其定義為

(29)

4.1 算法性能隨著觀測(cè)站位置誤差的變化

為了分析比較觀測(cè)站位置誤差對(duì)輻射源定位的影響，保持時(shí)差測(cè)量噪聲方差不變，改變各觀測(cè)站位置誤差的大小，分析比較各定位算法的定位誤差RMSE隨位置誤差的變化，在仿真實(shí)驗(yàn)中，觀測(cè)站數(shù)目M設(shè)定為6，分別選取表1中前6個(gè)觀測(cè)站位置，分別選取表1中所列的近距離輻射源目標(biāo)和遠(yuǎn)距離輻射源目標(biāo)，給出各算法RMSE曲線如圖1和圖2所示。在對(duì)這兩個(gè)輻射源進(jìn)行定位仿真時(shí)，假定接收機(jī)噪聲帶寬Bn=30MHz，分別選取兩種固定的信號(hào)參數(shù)組進(jìn)行轉(zhuǎn)發(fā)式時(shí)差測(cè)量。第1種信號(hào)的參數(shù)組為等效帶寬Bs=20MHz，信號(hào)時(shí)長(zhǎng)T=3μs；第2種信號(hào)的參數(shù)組為等效帶寬Bs=10MHz，信號(hào)時(shí)長(zhǎng)T=1μs。兩種信號(hào)的有效輸入信噪比γ=-10dB?？梢愿鶕?jù)這些信號(hào)參數(shù)并利用式(5)計(jì)算得到時(shí)差測(cè)量噪聲方差。根據(jù)這兩個(gè)信號(hào)參數(shù)組仿真得到的RMSE曲線如圖1(a)和圖2(b)所示。

圖1 不同觀測(cè)站噪聲對(duì)近距離輻射源目標(biāo)定位時(shí)各算法的RMSE

Fig.1 Comparison of RMSEs of different algorithms versus sensor position error for close range emitter

圖2 不同觀測(cè)站噪聲對(duì)遠(yuǎn)距離輻射源目標(biāo)定位時(shí)各算法的RMSE

Fig.2 Comparison of RMSEs of different algorithms versus sensor position error for long range emitter

對(duì)于近距離輻射源目標(biāo)，Two-stageWLS算法的RMSE曲線隨著觀測(cè)站誤差的增大而逐漸靠近CRLB曲線，但精度性能不是最優(yōu)的。當(dāng)觀測(cè)站位置誤差較小，廣義Rayleigh商算法的精度性能隨著觀測(cè)站位置誤差的增大而線性增大，當(dāng)觀測(cè)站位置誤差較大(誤差大于100m)時(shí)，該算法精度性能有發(fā)散現(xiàn)象。當(dāng)時(shí)差測(cè)量誤差較大時(shí)，本文算法在觀測(cè)站位置誤差較小(誤差小于3m)時(shí)性能不是最優(yōu)的，但隨著觀測(cè)站位置誤差的增大，本文算法精度性能一直較穩(wěn)定且優(yōu)于其他算法；當(dāng)時(shí)差測(cè)量誤差較小時(shí)，本文算法精度性能也一直優(yōu)于其他算法。

對(duì)于遠(yuǎn)距離輻射源目標(biāo)，Two-stageWLS算法的RMSE曲線隨著觀測(cè)站誤差的增大而逐漸靠近CRLB曲線，但精度性能不是最優(yōu)的。當(dāng)觀測(cè)站位置誤差較小，廣義Rayleigh商算法的精度性能隨著觀測(cè)站位置誤差的增大而線性增大，且在觀測(cè)站位置誤差較小(誤差小于3m)時(shí)，與其他算法相比定位精度性能最優(yōu)，但當(dāng)觀測(cè)站位置誤差較大(誤差大于100m)時(shí)，該算法精度性能發(fā)散現(xiàn)象明顯。本文算法在觀測(cè)站位置誤差較小(誤差小于3m)時(shí)性能不是最優(yōu)的，且在時(shí)差測(cè)量誤差較大情況下與其他算法相比定位精度性能較差，但隨著觀測(cè)站位置誤差的增大，本文算法精度性能一直較穩(wěn)定且一直優(yōu)于其他算法。

4.2 算法性能隨著觀測(cè)站數(shù)目的變化

為了分析比較各定位算法性能隨著觀測(cè)站數(shù)目的變化，保持時(shí)差測(cè)量噪聲方差和觀測(cè)站位置噪聲方差不變，仿真分析比較不同觀測(cè)站數(shù)目時(shí)各算法的定位誤差和解算耗時(shí)。

仿真實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)站數(shù)目M依次選取從5到9，觀測(cè)站位置依次選取表1中的各位置。觀測(cè)站在坐標(biāo)系各軸方向的噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為σs=10m。測(cè)量時(shí)差所用的信號(hào)參數(shù)組選取仿真實(shí)驗(yàn)1中的第2個(gè)參數(shù)組。分別選取表1中所列的近距離輻射源目標(biāo)和遠(yuǎn)距離輻射源目標(biāo)，各算法隨著觀測(cè)站數(shù)目變化的RMSE曲線如圖3所示。

圖3 不同觀測(cè)站數(shù)目時(shí)各定位算法的RMSE

Fig.3 Comparison of RMSEs of different algorithms for different number of sensors

根據(jù)圖3可知，不管輻射源目標(biāo)的遠(yuǎn)近，各算法的RMSE曲線都是隨著觀測(cè)站數(shù)目的增大而大致呈現(xiàn)下降的趨勢(shì)，并且逐漸靠近CRLB曲線。但精度下降的趨勢(shì)不是線性的，當(dāng)觀測(cè)站數(shù)目較小，觀測(cè)站數(shù)目的增加導(dǎo)致的精度提高明顯，而當(dāng)觀測(cè)站數(shù)目較大時(shí)，觀測(cè)站數(shù)目的增加則不會(huì)導(dǎo)致較大的精度提高。本文算法的精度性能隨著觀測(cè)站數(shù)目增加而有明顯提高，且提高的幅度要優(yōu)于其他算法。在仿真條件下，本文算法的精度性能一直較穩(wěn)定且優(yōu)于其他算法。

下面分析比較各算法的計(jì)算復(fù)雜度，將本文算法與Two-stageWLS算法和廣義Rayleigh商算法進(jìn)行分析比較。雖然Two-stageWLS算法與本文算法模型不同，但都需要計(jì)算兩次形如最小二乘解的求解步驟，因此兩者計(jì)算復(fù)雜度的量級(jí)應(yīng)該相當(dāng)。Two-stageWLS算法需要計(jì)算兩次加權(quán)最小二乘。對(duì)于三維定位來(lái)說(shuō)，Two-stageWLS算法第一步是四維變量的加權(quán)最小二乘，涉及到求逆的兩個(gè)矩陣維數(shù)分別是(M-1)×(M-1)和4×4，第二步是三維變量的加權(quán)最小二乘，涉及到求逆的兩個(gè)矩陣維數(shù)分別是4×4和3×3。因此Two-stageWLS算法的計(jì)算復(fù)雜度近似為M3-3M2+3M+154。本文算法首先需要求解最小二乘解，涉及到求逆的矩陣維數(shù)為4×4，近似閉式解的計(jì)算形如加權(quán)最小二乘，涉及到求逆的兩個(gè)矩陣維數(shù)分別是(M-2)×(M-2)和3×3。但算法中構(gòu)造校正矩陣需要計(jì)算44(M-2)個(gè)校正變量，各變量的構(gòu)造需要計(jì)算幾次到十幾次不等的乘法和加法運(yùn)算，平均以5次乘法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，本文算法的計(jì)算復(fù)雜度近似為M3-6M2+232M-357。廣義Rayleigh商算法與本文算法同樣需要構(gòu)造校正矩陣，兩者構(gòu)造校正矩陣的計(jì)算量相當(dāng)。但廣義Rayleigh商算法除了構(gòu)造校正矩陣外，還需要構(gòu)造矩陣束以及進(jìn)行廣義特征值分解，其計(jì)算量要遠(yuǎn)大于本文算法的形如廣義最小二乘的求解計(jì)算。

綜合上面的分析討論，當(dāng)觀測(cè)站數(shù)目為幾個(gè)到幾十個(gè)之間時(shí)，本文算法的計(jì)算量要大于Two-stageWLS算法，但差異不是很明顯。但廣義Rayleigh商算法的計(jì)算量要遠(yuǎn)大于本文算法的計(jì)算量。

表2為統(tǒng)計(jì)得到的仿真中各算法在不同觀測(cè)站數(shù)目時(shí)的單次定位解算平均耗時(shí)。仿真所用處理器為Inter(R)Core(TM)i7-3930K，頻率為3.2GHz，系統(tǒng)內(nèi)存為8GB。操作系統(tǒng)為64位Windows7，仿真軟件為MATLABR2014b。

表2 不同觀測(cè)站數(shù)目M情況下各算法單次定位解算平均耗時(shí)

Table 2 Average elapse time per location of different algorithms versus number of sensorsM

MAverageelapsetime/msTwo-stageWLSRayleighProposedalgorithm50.1120.3590.14160.1180.3850.14470.1190.4050.15480.1240.4370.17290.1270.4910.184

由表2可知，各算法的單次定位平均耗時(shí)都隨著觀測(cè)站數(shù)目的增大而增大。本文算法的平均耗時(shí)要大于Two-stage WLS算法，但兩者差異不大。廣義Rayleigh商算法的平均耗時(shí)要遠(yuǎn)大于本文算法，為本文算法平均耗時(shí)的2～3倍。表2實(shí)際統(tǒng)計(jì)得到的各算法在不同觀測(cè)數(shù)目時(shí)的單次定位解算平均耗時(shí)的比較結(jié)果與前面計(jì)算復(fù)雜度的分析結(jié)論一致，本文算法的計(jì)算復(fù)雜度介于Two-stage WLS算法和廣義Rayleigh商算法之間。

5 結(jié) 論

1) 將轉(zhuǎn)發(fā)式時(shí)差的三維非線性定位方程轉(zhuǎn)化為不需要中間變量的直接線性方程。

2) 將線性方程按時(shí)差測(cè)量誤差和觀測(cè)站位置誤差泰勒展開(kāi)以構(gòu)造校正矩陣，基于CTLS算法經(jīng)過(guò)推導(dǎo)最后給出定位近似閉式解。

3) 在觀測(cè)站位置誤差較大時(shí)定位精度性能優(yōu)于其它算法，計(jì)算復(fù)雜度介于Two-stage WLS算法和廣義Rayleigh商算法之間。

[1] 趙國(guó)慶. 雷達(dá)對(duì)抗原理[M]. 第2版. 西安: 西安電子科技大學(xué)出版社, 2012: 9-11, 82-84. ZHAO G Q. Principle of radar countermeasure[M]. 2nd ed. Xi’an: Xidian University Press, 2012: 9-11, 82-84 (in Chinese).

[2] 胡來(lái)招. 無(wú)源定位[M]. 北京: 國(guó)防工業(yè)出版社, 2005: 150-161. HU L Z. Passive locating[M]. Beijing: National Defence Industry Press, 2005: 150-161 (in Chinese).

[3] RICHARD A P. Electronic warfare target location methods[M]. London: Artech House, 2005: 140-146.

[4] HO K C, LU X N, KOVAVISARUCH L. Source localization using TDOA and FDOA measurements in the presence of receiver location errors: Analysis and solution[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2007, 55(2): 684-696.

[5] MA Z H, HO K C. TOA localization in the presence of random sensor position errors[C]//IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP). Piscataway, NJ: IEEE Press, 2011: 2468-2471.

[6] HO K C. Bias reduction for an explicit solution of source localization using TDOA[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(5): 2101-2114.

[7] 陳少昌, 賀慧英, 禹華鋼. 傳感器位置誤差條件下的約束總體最小二乘時(shí)差定位算法[J]. 航空學(xué)報(bào), 2013, 34(5): 1165-1173. CHEN S C, HE H Y, YU H G. Constrained total least-squares for source localization using TDOA measurements in the presence of sensor position errors[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2013, 34(5): 1165-1173 (in Chinese).

[8] 曹亞陸, 彭力. 一種考慮傳感器位置誤差的改進(jìn)源定位算法[J]. 航空學(xué)報(bào), 2014, 35(7): 1992-1998. CAO Y L, PENG L. An improved source localization algorithm in presence of sensor location errors[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2014, 35(7): 1992-1998 (in Chinese).

[9] QU F Y, MENG X W. Source localization using TDOA and FDOA measurements based on constrained total least squares algorithm[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2014, 36(5): 1075-1081 (in Chinese). 曲付勇, 孟祥偉. 基于約束總體最小二乘方法的到達(dá)時(shí)差到達(dá)頻差無(wú)源定位算法[J]. 電子信息學(xué)報(bào), 2014, 36(5): 1075-1081.

[10] BAKHOUM E G. Closed-form solution of hyperbolic geolocation equations[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2006, 42(4): 1396-1404.

[11] 徐征, 曲長(zhǎng)文, 駱卉子. 無(wú)需中間變量的多運(yùn)動(dòng)站時(shí)差定位新算法[J]. 航空學(xué)報(bào), 2014, 35(6): 1665-1672. XU Z, QU C W, LUO H Z. Novel multiple moving observers TDOA localization algorithm without introducing intermediate variable[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2014, 35(6): 1665-1672 (in Chinese).

[12] 徐征, 曲長(zhǎng)文, 王昌海, 等. 一種基于最小化廣義Rayleigh商的無(wú)源定位算法研究[J]. 電子學(xué)報(bào), 2012,40(12): 2446-2450. XU Z, QU C W, WANG C H, et al. Research on a passive localization algorithm based on minimizing the generalized rayleigh quotient[J]. Acta Electronica Sinica, 2012, 40(12): 2446-2450 (in Chinese).

[13] 徐征, 曲長(zhǎng)文, 王昌海. 系統(tǒng)誤差條件下的多運(yùn)動(dòng)站無(wú)源定位性能分析[J]. 航空學(xué)報(bào), 2013, 34(4): 629-635. XU Z, QU C W, WANG C H. Performance analysis for multiple moving observers passive localization in the presence of systematic errors[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2013, 34(4): 629-635 (in Chinese).

[14] WANG D, ZHANG L, WU Y. Constrained total least squares algorithm for passive location based on bearing-only measurements[J]. Science China Series F: Information Sciences, 2007, 50(4): 576-586

[15] LI W C, WEI P, XIA X C. A robust TDOA-based location method and its performance analysis[J]. Science China Series F: Information Sciences, 2009, 52(5): 876-882.

[16] LIN L, SO H C, CHAN F K, et al. A new constrained weighted least squares algorithm for TDOA-based localization[J]. Signal Processing, 2013, 93(11): 2872-2878.

[17] 楊潔, 劉聰鋒. 迭代頻差定位算法及其性能分析[J]. 西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 40(5): 8-14. YANG J, LIU C F. Iteration FDOA location algorithm and its performance analysis[J]. Journal of Xidian University, 2013, 40(5): 8-14 (in Chinese).

[18] 何友, 修建娟, 唐小明, 等. 基于時(shí)差信息的超視距目標(biāo)定位與跟蹤[J]. 電子學(xué)報(bào), 2003, 31(12): 1917-1920. HE Y, XIU J J, TANG X M, et al. Location and tracking of the over-the-horizon target on TDOA[J]. Acta Electronica Sinica, 2003, 31(12): 1917-1920 (in Chinese).

[19] 譚志, 張卉. 無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)RSSI定位算法的研究與改進(jìn)[J]. 北京郵電大學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 36(3): 88-91, 107. TAN Z, ZHANG H. A modified mobile location algorithm based on RSSI [J]. Journal of Beijing University of Posts and Telecommunications, 2013, 36(3): 88-91, 107 (in Chinese).

[20] 張賢達(dá). 矩陣分析與應(yīng)用[M]. 第2版. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2013: 447-448. ZHANG X D. Matrix analysis and applications[M]. 2nd ed. Beijing: Tsinghua University Press, 2013: 447-448 (in Chinese).

朱穎童 男， 博士研究生。主要研究方向： 電子戰(zhàn)信號(hào)處理、 無(wú)源定位與跟蹤。

Tel: 029-88204179

E-mail: zhuyt_xd@163.com

董春曦 男， 博士， 副教授， 碩士生導(dǎo)師。主要研究方向： 電子對(duì)抗技術(shù)、 電子戰(zhàn)系統(tǒng)仿真。

Tel: 029-88204179

E-mail: chxdong@mail.xidian.edu.cn

Received： 2015-02-10； Revised： 2015-05-04； Accepted： 2015-07-18； Published online： 2015-07-24 13：48

URL： www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20150724.1348.001.html

Foundation items： National Basic Research Program of China (6131818012); Fundamental Research Funds for the Central Universities (JDZD140503, JDYB140810)

*Corresponding author. Tel.： 029-88204179 E-mail: zhuyt_xd@163.com

Passive localization using retransmitted TDOA measurements in the presence of sensor position errors

ZHU Yingtong*, DONG Chunxi, LIU Songyang, DONG Yangyang, ZHAO Guoqing

KeyLaboratoryofElectronicInformationCountermeasureandSimulationTechnology,MinistryofEducation,

XidianUniversity,Xi’an710071,China

Location sensors placed in the motion platform may result in position error, which will affect the performance of passive positioning accuracy. Retransmitted measurement of the time difference of arrival (TDOA) needs to transmit emitter signal intercepted by different sensors to the same location, such as the main sensor. For these two issues, a passive location algorithm is proposed based on constrained total least squares (CTLS). First, the nonlinear equation using retransmitted TDOA is converted to a direct linear equation without intermediate variables. Then, the direct linear equation is transformed into a constrained optimization problem and unconstrained optimization problems based on CTLS algorithm. A quasi-closed-form solution to the passive location is derived. Simulations prove that the proposed algorithm achieves better location accuracy than the previous algorithms in the case of higher sensor position error.

passive localization; time difference of arrival (TDOA); sensor position error; constrained total least squares (CTLS); quasi-closed-form solution

2015-02-10；退修日期：2015-05-04；錄用日期：2015-07-18； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：

時(shí)間： 2015-07-24 13:48

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20150724.1348.001.html

國(guó)家“973”計(jì)劃 (6131812012)； 中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金 (JDZD140503, JDYB140810)

.Tel.： 029-88204179 E-mail: zhuyt_xd@163.com

朱穎童， 董春曦， 劉松楊， 等． 存在觀測(cè)站位置誤差的轉(zhuǎn)發(fā)式時(shí)差無(wú)源定位[J]． 航空學(xué)報(bào), 2016, 37(2): 706-716. ZHU Y T, DONG C X, LIU S Y, et al. Passive localization using retransmitted TDOA measurements in the presence of sensor position errors[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2016, 37(2): 706-716.

http://hkxb.buaa.edu.cn hkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2015.0203

V247.5； TN971

：A

： 1000-6893(2016)02-0706-11

*