基于差分進化算法的磁梯度張量系統(tǒng)誤差校正

丁學振，李卓軒，李予國,2,3*，劉浩

1 中國海洋大學海洋地球科學學院，山東青島 266100 2 中國海洋大學海底科學與探測技術教育部重點實驗室，山東青島 266100 3 青島海洋科學與技術試點國家實驗室海洋礦產資源評價與探測技術功能實驗室，山東青島 266237

0 引言

磁法探測在地質調查、資源探測、軍事、環(huán)境等領域有重要的應用價值（管志寧，1997；林君等，2017）.磁法探測的發(fā)展可分為總磁場測量、總場梯度測量、矢量場和磁梯度張量場測量等3個階段（張昌達,2006）.相對于磁場數據，磁梯度張量數據具有異常信號更敏感、空間分辨率高、降低地磁噪聲、減少對基站的需求等優(yōu)勢（Pedersen and Rasmussen,1990;Schmidt and Clark,2006;Clark,2012）.

磁梯度張量是磁場矢量在3個正交方向上的空間變化率（Schmidt et al.,2004）.在實際測量中，可以采用差分近似法、旋轉調制法（Tilbrook,2009）和直線測量法（Sunderland et al.,2009）測得磁梯度張量數據.差分近似法易于實現，并且能夠獲得全張量信息，因此得到了廣泛應用（苗紅松,2017）.目前，基于差分近似原理的磁梯度張量數據采集系統(tǒng)大致可分為基于超導量子干涉儀的磁梯度張量系統(tǒng)（Schmidt et al.,2004;Gamey,2008;Keenan et al.,2010;汪瀛等,2015）和基于磁通門傳感器的磁梯度張量系統(tǒng)（Koch et al.,1996;Sulzberger et al.,2006;Sui et al.,2014;Yin et al.,2014）.磁梯度張量超導量子干涉系統(tǒng)具有很高的靈敏度，但量程范圍較小、成本高，并且對系統(tǒng)安裝工藝和測量環(huán)境要求也較高.而基于磁通門傳感器搭建的磁梯度張量系統(tǒng)成本較低，對安裝工藝要求相對較低，利于大批量生產制造（李青竹等,2017）.由于磁通門傳感器制作工藝和磁梯度張量系統(tǒng)安裝精度的限制，張量測量精度會受到單個傳感器誤差（零偏、三軸非正交誤差、三軸靈敏度不一致）和多傳感器非對準誤差的影響，磁梯度張量系統(tǒng)輸出誤差有時可達上千nT/m （李青竹等,2018），因此必須對其進行校正.

目前，大部分磁梯度張量系統(tǒng)校正方法為兩步校正方法，該方法包括兩個步驟（Pang et al.,2013a,b;Yin et al.,2014,2015a;遲鋮等,2017）.第一步是對單傳感器的誤差進行校正.該校正可分為矢量校正方法（Pang et al.,2014）和標量校正方法（Pang et al.,2013b;Yin et al.,2014,2015a;遲鋮等,2017）.矢量校正方法以高精度磁場矢量為標準對磁通門傳感器進行校正，該方法需要測量準確的磁場矢量，對試驗條件要求較高.標量校正方法以高精度磁場總場為標準對磁通門傳感器進行校正，該方法因較為方便且成本低而得到廣泛應用.第二步是對磁梯度張量系統(tǒng)的非對準誤差進行校正.以磁梯度張量系統(tǒng)中的一個傳感器或搭載平臺坐標系（Yin et al.,2014;Li et al.,2018）為基準，將多個傳感器校正至同一坐標系中.兩步校正方法的缺點在于第二步的校正結果依賴于第一步校正結果的精度，第一步校正結果的誤差直接影響著第二步校正效果.為了解決兩步校正方法存在的問題，Yin等（2015b）和Li等（2018）提出了基于最小二乘擬合方法的一步校正方法.一步校正方法將磁梯度張量系統(tǒng)的理想輸出校正至搭載平臺坐標系中，需要令張量系統(tǒng)繞三個正交的坐標軸旋轉采集數據，該方法依賴于高精度的三軸無磁旋轉臺且試驗難度較大.上述兩步校正方法和一步校正方法大多基于最小二乘擬合方法估計磁梯度張量系統(tǒng)的誤差參數，而最小二乘擬合反演方法對初始參數比較敏感，為獲得較好的校正結果，需對初始參數進行仔細調整（Pang et al.,2013c）.

為了進一步解決一步和兩步校正方法存在的問題，本文提出了一種基于改進差分進化算法的磁梯度張量系統(tǒng)校正方法.差分進化算法具有全局尋優(yōu)、不受初始模型選取限制等優(yōu)點，可以有效解決基于最小二乘擬合的校正方法依賴于初始參數的問題.我們將張量分量和張量不變量引入反演目標函數中，只需一步反演即可實現單傳感器誤差和張量系統(tǒng)非對準誤差的校正，有效避免了兩步校正方法中第一步校正精度對第二步校正結果的影響問題，提高了校正精度.

1 磁梯度張量系統(tǒng)及誤差校正

1.1 張量數據采集系統(tǒng)

磁梯度張量系統(tǒng)包括十字形結構、正方形結構、三角形結構、直角四面體和正四面體結構等5種基本結構（劉麗敏,2012）.磁梯度張量系統(tǒng)采用差分近似的原理測量張量數據，不同結構的張量系統(tǒng)會帶來測量誤差，其中，十字形結構的磁梯度張量系統(tǒng)測量誤差最小.圖1為十字形磁梯度張量系統(tǒng)示意圖，它由4個三軸磁通門傳感器組成，其中1號和3號傳感器沿x軸分布，2號和4號傳感器沿y軸分布，基線距離為d.根據差分近似原理，磁梯度張量系統(tǒng)中心位置o處的張量矩陣為（Li et al.,2018;Yin et al.,2015b）

（1）

式中，Bij表示第i（i=1,2,3,4）個傳感器測得的j（j=x,y,z）方向上的磁場分量.在磁法測量中，通常將磁性物體產生的異常場看作為無源的靜磁場，異常場的散度和旋度都為零，故張量矩陣G中只有Bxx,Bxy,Bxz,Byy,Byz5個獨立分量（尹剛等,2016）.

由張量矩陣G的特征值可以計算得到磁梯度張量不變量，三個張量不變量的表達式如下（Clark,2012;Mu et al.,2019）：

（2）

式中，λ1,λ2,λ3為張量矩陣G的3個特征值，且滿足λ1≥λ2≥λ3,|λ1|≥|λ2|,|λ3|≥|λ2|.

圖1 十字形磁梯度張量系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the cross-shaped magnetic gradient tensor system

1.2 誤差校正

在理想情況下，三軸磁通門傳感器的三個軸保持兩兩完全正交，但是由于制作工藝的限制，傳感器普遍存在非正交誤差.建立傳感器非正交模型如圖2所示，O-XYZ為標準正交坐標系，O-X1Y1Z1為傳感器實際坐標系，O-X2Y2Z2為理想正交坐標系.假設OZ1和OZ2共軸，平面Y1OZ1和平面Y2OZ2共面，則OY1和OY2之間的夾角為ψ，OX1與平面X2OY2的夾角為φ，OX1在平面XOY的投影OX′1與OX2的夾角為θ.一旦非正交角φ,θ,ψ確定后，傳感器理想正交坐標系O-X2Y2Z2即可唯一確定.

圖2 單傳感器非正交誤差示意圖Fig.2 Schematic diagram of the non-orthogonal error for single sensor

在理想情況下，磁通門傳感器在無磁環(huán)境下輸出為零，但是由于磁芯存在剩磁或者電路部分存在零位偏移導致傳感器三軸輸出不為零.一般情況下，傳感器的零偏可達幾十nT.另外，由于傳感器磁敏元件制作工藝的限制，可能會導致三軸靈敏度不一致，從而使得三軸在相同磁場環(huán)境下的測量值不同.傳感器三軸實際測量值與真實值的比值稱為靈敏度標度因子（李青竹等,2017）.假定傳感器三軸零偏為b=（bx,by,bz），三軸靈敏度標度因子為kx,ky,kz.綜合考慮零偏、靈敏度不一致誤差和非正交誤差，建立的單傳感器誤差模型為（Li et al.,2018）：

Bc=KCB+b，

（3）

在實際情況下，傳感器的實際輸出Bc是已知的，傳感器誤差的校正就是由其實際輸出求取理想輸出B，即

B=（KC）-1（Bc-b）.

（4）

由于傳感器安裝精度的限制，構成磁梯度張量系統(tǒng)4個矢量傳感器的測量軸指向可能不一致，張量系統(tǒng)非對準誤差可通過旋轉方式進行校正（Pang et al.,2013b;Li et al.,2018）.定義傳感器繞x軸旋轉為橫傾角α，繞y軸旋轉為俯仰角β，繞z軸旋轉為方位角γ.如圖3所示，O-X1Y1Z1表示1號傳感器的正交坐標系，O-XiYiZi表示i（i=2,3,4）號傳感器的正交坐標系.假定i號傳感器先繞y軸旋轉，再繞x軸旋轉，最后繞z軸旋轉，可以令i號傳感器坐標系與1號傳感器坐標系重合，即可實現非對準誤差校正.

圖3 傳感器非對準誤差校正示意圖Fig.3 Schematic diagram of misalignment error calibration

由式（4）可知，單傳感器誤差校正后的輸出為B，經非對準誤差校正后得到的輸出Br可表示為（遲鋮等,2017）

Br=TγTαTβB，

（5）

綜合考慮單傳感器誤差和多傳感器非對準誤差，可得

Br=TγTαTβ（KC）-1（Bc-b）.

（6）

由上式可知，如果得到單傳感器誤差參數和多傳感器非對準誤差參數即可實現張量系統(tǒng)誤差校正.

2 差分進化算法

差分進化算法是一種模擬自然界生物遺傳和進化機理發(fā)展起來的基于種群的全局優(yōu)化算法，它是由Storn和Price于1995年提出的（Storn and Price,1995）.差分進化算法具有原理簡單，控制參數較少，魯棒性較好的優(yōu)點（Storn and Price,1995,1997），已得到較為廣泛的應用（Das and Suganthan,2011）.差分進化算法主要包括參數初始化、變異、交叉和選擇4個步驟.參數初始化就是在預先設定的搜索空間中隨機產生NP個維度為P的參數向量，在該步驟中隨機產生的參數向量應盡可能覆蓋整個搜索空間.變異操作的目的是產生新的個體以增加種群多樣性，當前種群向量稱為目標向量，通過使用某種變異策略對目標向量進行變異操作產生新的變異向量.在交叉操作中，令目標向量和變異向量隨機交換參數，產生新的試驗向量.選擇的目的是保持種群數量不變，使用“貪婪性”選擇策略將優(yōu)良個體保留至下一代種群中.下面，結合磁梯度張量系統(tǒng)誤差校正的目的介紹差分進化算法的實現步驟.

（1）參數初始化

在參數初始化這一步驟中，隨機產生NP個維度為P的參數向量.針對磁梯度張量系統(tǒng)誤差校正這一應用，每個傳感器有12個誤差參數，于是參數向量的維度為48.假設當前進化代數為g，第m個體可以表示為

m=1,2,…,NPi=1,2,3,4

（7）

式中，φ,θ,ψ表示傳感器的非正交角（圖2），kx,ky,kz表示三軸靈敏度標度因子，bx,by,bz表示零偏誤差，α,β,γ表示非對準角（圖3），i表示傳感器序號.

在參數初始化過程中，應盡量保證隨機產生的參數向量能夠覆蓋整個搜索范圍.假設參數向量的取值上下界為Xmax=（x1,max,x2,max,…,xP,max）和Xmin=（x1,min,x2,min,…,xP,min），則初始化過程可表示為

（2）變異操作

（9）

式中，F為處于[0,2]之間變異因子（Storn and Price,1997），r1,r2,r3為[1,NP]之間隨機選擇的不同于m的整數.變異策略可以表示為DE/X/Y/Z的形式，其中DE表示差分進化算法，X表示指定的變異向量，Y表示變異過程中使用的差分向量個數，Z表示交叉方式（Das and Suganthan,2011）.

（3）交叉操作

（10）

（4）選擇操作

為了使下一代中種群數量保持不變，采用“貪婪性”策略將試驗向量與目標向量進行對比，優(yōu)良個體將會保留至下一代種群中，選擇操作可以表示為

（11）

式中，f（x）為目標函數，其值越小表明個體表現越好.

在傳統(tǒng)的差分進化算法中，變異因子F和交叉概率因子CR均為固定值，且只采用DE/rand/1/bin變異策略.為了提高算法的搜索效率和精度，避免陷入局部最優(yōu)，本文使用DE/rand/1/bin、DE/target-to-best/2/bin變異策略（陳亮,2012）、時變變異因子（顏學峰等，2006）和時變交叉概率因子（王天意,2015）對差分進化算法進行了改進.

改進差分進化算法迭代過程中變異策略選取方法為

（12）

式中，rand（0,1）為處于[0,1]之間的隨機數，φ為隨迭代次數變化的閾值，可以表示為

（13）

其中，φmax=1,φmin=0.1分別為φ取值上下界（陳亮,2012），itermax和iter分別為最大迭代次數和當前迭代次數.

時變變異因子可以表示為（顏學峰等，2006）

（14）

式中，F0為初始變異因子.

時變交叉概率因子可以表示為（王天意,2015）

（15）

式中，CR0為初始交叉概率因子.

如果磁梯度張量系統(tǒng)不存在誤差，在勻強磁場環(huán)境下旋轉其姿態(tài)測量數據，由磁通門傳感器三軸讀數計算得到的總磁場為一定值，且不同傳感器相同方向的測量軸讀數一致.磁梯度張量系統(tǒng)誤差校正標準為

（16）

式中，Bxi,Byi,Bzi（i=1,2,3,4）分別為由每個個體向量計算得到的第i個傳感器的三分量數據，Bti為由三分量數據計算得到的總磁場，Bc為參考總磁場.

本文針對磁梯度張量系統(tǒng)校正目的，設計如下目標函數：

（17）

由式（17）可知，目標函數包括兩項：第一項為由4個磁通門傳感器3分量數據構成的總磁場與質子磁力儀測得的參考總磁場之間的偏差，它主要用于校正單傳感器誤差（零偏、三軸靈敏度不一致和三軸非正交誤差）.第二項為傳感器三分量數據的偏差、張量分量和張量不變量，主要用于校正磁梯度張量系統(tǒng)的三軸非對準誤差.

3 仿真試驗

3.1 仿真試驗1

為驗證本文方法的有效性，設計了仿真模擬試驗.如表1所示，磁梯度張量系統(tǒng)零偏誤差在-200～200 nT之間隨機產生，非正交誤差和非對準誤差在-2°～2°之間隨機產生，靈敏度參數在0.9～1.1之間隨機產生.假定磁梯度張量系統(tǒng)的基線距離為0.4 m，試驗地點處總磁場為52000 nT，磁偏角和磁傾角分別為-7°和54°，使用磁梯度張量系統(tǒng)在三維空間內隨機旋轉采集200組數據.

在實際應用中，磁梯度張量系統(tǒng)采集數據可能會存在一定的測量誤差，且不可避免地受到非均勻背景場的影響.因此，在仿真試驗中加入隨機噪聲，在4個磁通門傳感器的3個測量軸中分別加入了最大幅值為0 nT、2 nT、5 nT和10 nT的隨機噪聲.加入不同大小噪聲時，反演得到的磁梯度張量系統(tǒng)誤差參數如表1所示，校正后的總磁場和張量分量如圖4所示.當仿真模擬數據不含隨機噪聲時，反演得到的誤差參數和預設參數完全一致，校正后的總磁場和張量分量分別為52000 nT和0 nT/m.當仿真模擬數據加入2 nT、5 nT和10 nT的隨機噪聲時，反演得到的零偏誤差參數與預設參數的最大偏差分別為0.367 nT、0.909 nT和1.825 nT，非正交誤差與預設參數的最大偏差為0.001°、0.003°和0.006°，對靈敏度不一致誤差和傳感器非對準誤差6個誤差參數的反演結果沒有影響.由圖4可知，當加入最大幅值為10 nT的隨機噪聲時，校正后的張量分量仍小于0.2 nT/m.

表1 預設誤差參數與反演得到的誤差參數Table 1 Preset and estimated error parameters

圖4 加入不同大小隨機噪聲得到的總磁場和張量分量校正結果Fig.4 Calibration results of total magnetic intensity and tensor component

圖5 不同種群大小得到的校正數據RMS隨迭代次數的變化情況Fig.5 RMS error of calibration results with different population size

差分進化算法的反演精度與設定的種群數量NP、變異因子F和交叉概率因子CR有關（Balkaya et al.,2017）.本文分析了這些參數對反演結果的影響.將種群數量分別設定為10、15、20、50、100和200，分別反演200組不含噪聲的磁場數據.令最大迭代次數為10000，利用每次迭代中最佳個體校正磁場數據，并計算校正數據的RMS.RMS計算公式如式（18）所示.圖5為不同種群數量時校正數據RMS隨迭代次數的變化情況，可以看出隨著種群數量增大，差分進化算法陷入局部最優(yōu)解的可能性降低.當種群數量為50時即可實現精度較高的反演.

RMS=

（18）

式中，N為磁場數據量.

假定變異因子和交叉概率因子的取值范圍分別為[0.2,0.9]和[0.2,1]，我們分別采用傳統(tǒng)差分進化算法和改進差分進化算法估計張量系統(tǒng)誤差參數，并計算校正后總磁場與張量分量RMS的和，結果如圖6所示.假定校正后總磁場與張量分量RMS之和小于0.01時校正精度是可以接受的.由圖6可知，與傳統(tǒng)差分進化算法相比，改進差分進化算法對變異因子和交叉概率因子依賴性較小.本文算例中F0取值為0.3，CR0取值為0.8.

參與反演的數據量可能也會影響誤差參數的反演精度，為分析數據量對反演結果的影響，令磁梯度張量系統(tǒng)在三維空間中隨機旋轉采集10組、20組、50組、100組、200組和500組磁場數據，并將其輸入改進差分進化算法反演誤差參數.令種群數量為200，最大迭代次數為10000，利用每次迭代中最佳個體校正磁場數據，并計算校正數據的RMS.由圖7可知，當數據量為10組時，無法得到良好的校正效果，而當數據量為50組時即可實現誤差參數的精確反演.

將本文方法所得結果與遺傳算法、最小二乘擬合方法的校正結果進行了對比.在反演中使用了200組磁場數據，最大迭代次數為10000，種群數量分別設置為50和200，利用每次迭代中最佳個體校正磁場數據，并計算校正數據的RMS.改進差分進化算法和遺傳算法反演過程中RMS隨迭代次數變化情況如圖8所示.由圖8可知，改進差分進化算法的搜索效率與反演精度明顯高于遺傳算法.當種群數量為50時，改進差分進化算法迭代次數約為2000時反演得到的RMS收斂于10-4量級，而遺傳算法迭代10000次得到的RMS仍為17.68.

校正前后磁場數據的均方根誤差如表2所示.由表2可知，當不存在隨機噪聲時，本文方法和最小二乘方法的校正結果相同，均能準確反演出磁梯度張量系統(tǒng)的誤差參數.添加隨機噪聲后，本文方法反演結果的RMS明顯小于最小二乘方法，本文方法具有較強的抗噪能力.與遺傳算法相比，本文方法反演結果的RMS小于遺傳算法反演結果的RMS，這意味著本文方法的反演精度較高.

表2 磁場數據校正前后的均方根誤差Table 2 Comparison of RMS error of total magnetic intensity and tensor components before and after calibration

圖6 兩種差分進化算法校正后磁場數據的均方根誤差（a） 傳統(tǒng)差分進化算法；（b） 改進差分進化算法.Fig.6 RMS error of calibration results with differential evolution algorithm（a） Traditional differential evolution algorithm；（b） Improved differential evolution algorithm.

圖7 不同數據量得到的校正數據RMS隨迭代次數的變化情況Fig.7 RMS error of calibration results with different magnetic data

圖8 改進差分進化算法和遺傳算法反演結果對比Fig.8 Comparison of RMS error of calibration results with improved differential evolution algorithm and genetic algorithm

3.2 仿真試驗2

為進一步測試本文方法的實用性和可靠性，依據某國產磁通門傳感器測定的誤差大致取值范圍，設計了仿真模擬試驗.如表3所示，磁梯度張量系統(tǒng)的零偏誤差在-100～100 nT之間隨機產生，非正交誤差在-0.1～0.1度之間隨機產生，靈敏度參數在0.9999～1.0001之間隨機產生，非對準誤差在-1～1度之間隨機產生.同樣，假定磁梯度張量系統(tǒng)的基線距離為0.4 m，試驗地點處總磁場為52000 nT，磁偏角和磁傾角分別為-7°和54°，使用磁梯度張量系統(tǒng)在三維空間內隨機選擇采集200組數據，在磁場數據中加入了最大幅值為0 nT、2 nT、5 nT和10 nT的隨機噪聲.

由表4可知，當仿真模擬數據不含隨機噪聲時，磁梯度張量系統(tǒng)的誤差參數可以得到精確的反演.當仿真模擬數據加入2 nT、5 nT和10 nT的隨機噪聲時，反演得到的零偏誤差參數與預設參數的最大偏差分別為0.339 nT、0.844 nT和1.715 nT，非正交誤差與預設參數的最大偏差為0.001°、0.003°和0.006°，靈敏度誤差與預設參數的最大偏差為2.2×10-5、5.6×10-5和1.13×10-4.由表5可知，經過校正后，磁梯度張量系統(tǒng)的測量誤差得到了較大程度地壓制，當仿真模擬數據加入10 nT的隨機噪聲時，校正后總磁場、張量分量Bxx,Bxy,Bxz,Byy,Byz的均方根誤差分別為7.327、0.379、0.211、0.151、0.044和0.075.

表3 預設誤差參數與反演得到的誤差參數Table 3 Preset and estimated error parameters

表4 磁場數據校正前后的均方根誤差Table 4 Comparison of RMS error of total magnetic intensity and tensor components before and after calibration

4 實測試驗

為驗證本文方法的實用性，在地磁干擾比較小的夜間開展了試驗工作.試驗中將十字形磁梯度張量系統(tǒng)安裝于三軸無磁旋轉臺上（圖9a）隨機旋轉采集數據，采用質子磁力儀（圖9c）測量試驗場地的地磁場.磁梯度張量系統(tǒng)基線距離為0.16 m，質子磁力儀分辨率為0.1 nT、測量精度為1 nT，三軸無磁旋轉臺旋轉角度可讀分辨率為1°.為降低試驗中地磁場的天然變化對試驗結果的影響，本次試驗中只采集了60組數據，以縮短試驗所需時間.

圖9 試驗所用儀器（a） 張量系統(tǒng)與無磁三軸旋轉臺；（b） 張量系統(tǒng)記錄儀；（c） 質子磁力儀.Fig.9 Test equipment（a） Magnetic gradient tensor system and three-axis turntable；（b） Data acquisition system；（c） Proton magnetometer.

利用本文提出的校正方法對實測數據進行了校正，校正前和校正后的總磁場和張量分量如圖10和圖11所示.磁梯度張量系統(tǒng)誤差未校正前測量值波動較大，地磁場總磁場的波動值可達數百 nT，磁梯度張量分量的最大偏差可達1000 nT/m，這說明磁梯度張量系統(tǒng)的誤差會對測量結果產生較為嚴重的影響，必須對其進行校正.從圖10和圖11中可以看出，經過本文方法校正后，總磁場均收斂至試驗地點處地磁場（51600 nT）附近，張量分量均收斂至0 nT/m附近.

圖10 總磁場校正前后對比Fig.10 Comparison of total magnetic intensity before and after calibration

圖11 張量分量校正前后對比Fig.11 Comparison of tensor components before and after calibration

校正前后總磁場與張量分量的均方根誤差如表5所示.由表5可以看出，經過校正后，磁場數據的均方根誤差明顯減小，且本文方法的校正結果明顯優(yōu)于基于遺傳算法和最小二乘方法的誤差校正方法.以總磁場為例，校正前總磁場均方根誤差為179.566 nT，基于本文方法、遺傳算法和最小二乘方法的總磁場均方根誤差分別為3.398 nT、18.197 nT和14.210 nT.

表5 磁場數據校正前后的均方根誤差Table 5 Comparison of RMS error of total magnetic intensity and tensor components before and after calibration

5 結論

磁梯度張量系統(tǒng)的測量精度受到磁場傳感器零偏、靈敏度不一致、非正交和傳感器非對準誤差的影響.本文提出了一種基于改進差分進化算法的磁梯度張量系統(tǒng)誤差校正方法，只需一步反演即可實現磁梯度張量系統(tǒng)48個誤差參數的估計.用兩個仿真模擬算例驗證了本文方法的有效性，仿真結果表明本文方法與遺傳算法相比具有更高的求解精度和搜索效率，本文方法較最小二乘擬合方法具有更高的抗噪能力.改進的差分進化算法能有效避免傳統(tǒng)差分進化算法搜索效率低、易陷入局部最優(yōu)解、對變異因子和交叉概率因子取值依賴大等問題.實測數據總磁場、張量分量Bxx,Bxy,Bxz,Byy,Byz校正后RMS改善比分別為52.845、54.530、25.415、40.057、38.330和25.586，本文方法能夠有效降低磁梯度張量系統(tǒng)誤差引起的測量誤差，提高測量精度.本論文的不足在于實際試驗場地磁場環(huán)境不夠理想，導致實測數據總磁場校正后的均方根誤差仍為3.398 nT.在下一步的工作中需尋找環(huán)境干擾更小的場地進行試驗，以更好地估計磁梯度張量系統(tǒng)的誤差參數.

致謝三位審稿人提出了建設性意見，對本文的質量提升幫助很大，在此表示誠摯的感謝.