“思過留痕”：學(xué)生數(shù)學(xué)思維生長的推進(jìn)器

□席愛勇

“思過留痕”：學(xué)生數(shù)學(xué)思維生長的推進(jìn)器

□席愛勇

讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“思過留痕”，可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維有條理、更全面、更靈活、更深刻、系統(tǒng)化和可持續(xù)發(fā)展?！八歼^留痕”可以成為學(xué)生數(shù)學(xué)思維生長的推進(jìn)器，它既是一種提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的有效資源，也是教師讀懂學(xué)生進(jìn)行因材施教的有效策略。

思過留痕 思維生長

俗話說：“人過留名，雁過留聲。”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師是否可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維“思過留痕”呢？即讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)或作業(yè)時，把自己的思維過程和方法用文字、符號或圖表表示出來，留下痕跡。這樣既便于學(xué)生自我反思、自我完善、自我評價和自我提升，也便于學(xué)生與他人交流共享、思維碰撞、相互借鑒和取長補(bǔ)短，更便于教師及時了解學(xué)生、讀懂學(xué)生、研究學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，及時采取有效措施進(jìn)行有針對性的教學(xué)。實踐證明，“思過留痕”是學(xué)生數(shù)學(xué)思維生長的推進(jìn)器，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的有效策略，也是教師讀懂學(xué)生進(jìn)行因材施教的有效策略。

一、思過留痕，讓數(shù)學(xué)思維有條理

思過留痕，可以讓學(xué)生清晰地看到：對于一個數(shù)學(xué)問題，自己或他人先是怎么想的、怎么做的，后又是怎么想的、怎么做的，使數(shù)學(xué)思維過程清晰可見，條理分明。

二年級學(xué)生認(rèn)識鐘面上的時刻是一個難點，很容易認(rèn)錯。如寫出右圖鐘面上的時刻，學(xué)生就會出現(xiàn)如下一些錯誤結(jié)果：1：11、2：11、2：55、11：02、11：10。究其原因，11：02、11：10是沒分清時針和分針導(dǎo)致的錯誤，而1：11、2：11、2:55則是沒弄懂時針和分針行走的規(guī)律導(dǎo)致的錯誤。仔細(xì)分析這些錯誤，讓學(xué)生寫出如右圖的思考過程：先找鐘面上較短的時針，指在1和2之間，是1時多；再找鐘面上較長的分針，指向11，因為分針走1大格是5分鐘，所以用11×5=55分，因此，鐘面上的時刻是1：55。學(xué)生像這樣進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，并寫下主要思維過程，就會自己發(fā)現(xiàn)和避免上面出現(xiàn)的各種錯誤。

教師引導(dǎo)學(xué)生有條理分步驟地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，一方面可以大大降低學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，彌補(bǔ)“想了這個忘了那個”的低年級學(xué)生思維普遍存在的不足，更重要的是可以幫助學(xué)生養(yǎng)成有條理、逐步思考問題的好習(xí)慣，不斷提升數(shù)學(xué)思維水平。

二、思過留痕，讓數(shù)學(xué)思維更全面

低年級學(xué)生很容易出現(xiàn)將圖形數(shù)多了或數(shù)少了的現(xiàn)象，怎樣讓他們不重復(fù)不遺漏地數(shù)出圖形的個數(shù)呢？有順序一一列舉是一個非常有效的方法。

如下圖，要數(shù)出圖中一共有多少個三角形，可以讓學(xué)生先在圖上標(biāo)出1、2、3（如左圖），再有順序地一一列舉出來：1，2，3，12，23，123，就很容易數(shù)出一共有6個三角形。教師引導(dǎo)學(xué)生把圖形按編號先一一列舉出來再數(shù)一數(shù)，就不容易重復(fù)或遺漏了。

三、思過留痕，讓數(shù)學(xué)思維更靈活

教師讓學(xué)生把自己數(shù)學(xué)思維的角度、過程、方法寫下來再進(jìn)行交流，這樣就可以相互學(xué)習(xí)、相互借鑒、取長補(bǔ)短，使數(shù)學(xué)思維變得更加靈活和開闊。

如筆者在執(zhí)教蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊“解決問題的策略”例1時（如下圖），放手讓學(xué)生列式解答，有的學(xué)生用分?jǐn)?shù)的思想列式解答，有的學(xué)生用按比例分配的思想列式解答，還有的學(xué)生用方程的思想列式解答。筆者讓他們分別把自己的解法寫出來，同學(xué)之間相互交流研討，相互理解別人的解題思路和思維方法，從而相互啟發(fā)，不斷促進(jìn)數(shù)學(xué)思維靈活性的發(fā)展。

四、思過留痕，讓數(shù)學(xué)思維更深刻

思過留痕，可以讓學(xué)生把數(shù)學(xué)思維過程和方法顯示出來，便于后續(xù)學(xué)習(xí)可以借鑒。

例如，學(xué)完“加法交換律”后，筆者讓學(xué)生總結(jié)回顧本課所經(jīng)歷的數(shù)學(xué)思維過程，學(xué)生總結(jié)如下：

在學(xué)習(xí)“加法結(jié)合律”時，筆者首先讓學(xué)生全面回顧學(xué)習(xí)“加法交換律”所經(jīng)歷的數(shù)學(xué)思維過程，讓學(xué)生按照上面的思維過程嘗試探究加法結(jié)合律，大部分學(xué)生都能順利探究出加法結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）,并進(jìn)行廣泛應(yīng)用，解決實際問題，還進(jìn)行了大膽類比聯(lián)想：減法、乘法、除法是否也有類似的規(guī)律呢？學(xué)生一旦掌握了這樣科學(xué)探究的思維過程和方法，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就會變得非常輕松高效。學(xué)生可以用這樣的思維過程和方法學(xué)習(xí)“乘法交換律”“乘法結(jié)合律”和“乘法分配律”，在多次經(jīng)歷科學(xué)探究的數(shù)學(xué)思維過程以后，學(xué)生遇到類似規(guī)律的學(xué)習(xí)就會自然運用，形成科學(xué)的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

五、思過留痕，讓數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)化

思過留痕，需要學(xué)生將數(shù)學(xué)思維進(jìn)行不斷梳理，不斷加工，連點成線，連線成面，連面成體。在這個過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維逐步從零散走向聯(lián)系，從碎片走向系統(tǒng)，從而打通數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)系統(tǒng)化建構(gòu)，便于他們在以后相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活實踐中靈活提取和綜合應(yīng)用。

例如，學(xué)生學(xué)完“三角形”以后，筆者引導(dǎo)他們作如下圖的梳理：

從上圖可以清晰看出，學(xué)生從三角形的角、邊、高三個緯度出發(fā)，每一個緯度又可分成“特點、規(guī)律、分類、作圖”等多個方面，多維度、網(wǎng)絡(luò)化、立體式建構(gòu)三角形的知識結(jié)構(gòu)體系。學(xué)生以后再學(xué)習(xí)三角形的相關(guān)知識（如初中學(xué)習(xí)全等三角形和相似三角形、三角函數(shù)等）也會自然從這些緯度進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，不斷充實完善三角形的知識結(jié)構(gòu)體系。同時，學(xué)生在遇到三角形方面的實際問題時，也會自然從這些緯度靈活提取相關(guān)數(shù)學(xué)知識，綜合運用相關(guān)數(shù)學(xué)知識分析解決實際問題?？梢?，上圖不僅僅是三角形知識結(jié)構(gòu)的全面整理，更是學(xué)生對三角形全面再認(rèn)識的數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)整理。

思過留痕，促進(jìn)學(xué)生不斷梳理自己的數(shù)學(xué)思維，將內(nèi)隱的難以言傳的數(shù)學(xué)思維過程和方法個性化地呈現(xiàn)出來進(jìn)行展示交流，在展示交流中相互碰撞，不斷優(yōu)化，不斷完善，不斷走向全面系統(tǒng)和深刻。

六、思過留痕，讓數(shù)學(xué)思維可持續(xù)

讓學(xué)生把數(shù)學(xué)思維過程、方法、策略充分暴露展示，這樣可以促進(jìn)他們自覺主動地進(jìn)行自我反思，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維糾偏糾錯、自我矯正、自我完善和自我提升，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的可持續(xù)發(fā)展。

例如，二年級學(xué)生在確定方向時經(jīng)常出錯，筆者以為是學(xué)生沒有找準(zhǔn)方向，便讓學(xué)生在圖中先按照“上北下南，左西右東”標(biāo)出“東、南、西、北”四個方向后再確定，但是在數(shù)學(xué)作業(yè)中錯誤率還是比較高。經(jīng)過訪談?wù){(diào)查才發(fā)現(xiàn)，有一些學(xué)生找不到觀察點，不知道從哪里看向哪里。于是筆者讓他們根據(jù)題目要求圈出觀察點，用箭頭標(biāo)出觀察方向，如下圖：

這樣學(xué)生就很容易弄清“誰在誰的哪個方向？誰的哪個方向是誰？”了。

思過留痕，引導(dǎo)學(xué)生在多次寫下自己的思維過程和方法中不斷積累數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的累積性生長，從而從量變逐步走向質(zhì)變，最終形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的可持續(xù)發(fā)展。

在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，我們分別選擇了小學(xué)二年級、四年級、六年級進(jìn)行為期一學(xué)年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“思過留痕”實驗，實驗結(jié)果表明，實驗班學(xué)生數(shù)學(xué)思維的條理性、全面性、靈活性、系統(tǒng)性和數(shù)學(xué)表達(dá)的清晰性、完整性以及他們在數(shù)學(xué)課堂上所表現(xiàn)出來的自信心都明顯高于同軌平行班級學(xué)生，學(xué)生作業(yè)錯誤率大大降低，數(shù)學(xué)成績明顯高于同軌平行班級。

可見，“思過留痕”作為學(xué)生數(shù)學(xué)思維生長的推進(jìn)器和重要學(xué)習(xí)策略，可以有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的條理性、全面性、靈活性、深刻性、系統(tǒng)化和可持續(xù)發(fā)展，不斷提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，避免和減少各種數(shù)學(xué)作業(yè)錯誤，提高數(shù)學(xué)成績。“思過留痕”作為教師了解學(xué)生、讀懂學(xué)生、研究學(xué)生進(jìn)行因材施教的重要教學(xué)策略，具有豐富的教育意蘊(yùn)和實踐價值，值得一線數(shù)學(xué)教師深入探討和研究。

[1]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會編寫.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]約翰·哈蒂.金鶯蓮，洪超，裴新宇，譯.可見的學(xué)習(xí)：最大程度地促進(jìn)學(xué)習(xí)[M].北京：教育科學(xué)出版社，2015.

[3]弗賴登塔爾.陳昌平，唐瑞芬，等，譯.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].上海：上海教育出版社，1995.

[4]劉濯源.基于“思維可視化”的小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展策略[J].江蘇教育（小學(xué)教學(xué)），2016（5）：7-9.

[5]劉麗娟.讓兒童的思維看得見[J].人民教育，2014（23）：40-42.

（江蘇省淮安工業(yè)區(qū)實驗學(xué)校 223008）