方寸之間 獨(dú)具一格
——方格圖在第一學(xué)段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用策略

□葛素兒

方寸之間 獨(dú)具一格
——方格圖在第一學(xué)段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用策略

□葛素兒

方格圖是以若干個(gè)小正方形為基本構(gòu)成要素，以信息加工過(guò)程的直觀性為形態(tài)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具，借助方格圖可以使學(xué)習(xí)的情趣和學(xué)科的理趣相得益彰。具體而言，可以從豐富方格圖的形式、注重挖掘方格圖的內(nèi)涵以及基于方格圖的思維活動(dòng)進(jìn)行多元活動(dòng)的設(shè)計(jì)等幾個(gè)方面進(jìn)行有機(jī)應(yīng)用，從而使方格圖的功能發(fā)揮出最大化的效應(yīng)，構(gòu)建智慧課堂。

方格圖 第一學(xué)段 應(yīng)用策略

方格圖是以若干個(gè)小正方形為基本構(gòu)成要素，以信息加工過(guò)程的直觀性為形態(tài)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具。小小的方格，具有大大的智慧。它既是一種認(rèn)知載體，更是思維支架。玩轉(zhuǎn)方格圖，將使數(shù)學(xué)課堂別有洞天。對(duì)于以形象思維為主的第一學(xué)段學(xué)生來(lái)說(shuō)，我們更應(yīng)該讓它貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中。綜觀第一學(xué)段的數(shù)學(xué)教材，方格圖出現(xiàn)的次數(shù)并不少。以教育部2013年審定的人教版數(shù)學(xué)教材為例，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，方格圖小學(xué)一至三年級(jí)出現(xiàn)50余次，隨著年級(jí)的遞增，逐步增加。在教學(xué)中，我們應(yīng)物盡所用、物盡所能，挖掘其豐富的內(nèi)涵，讓方格圖的作用最大化、最優(yōu)化，讓方格圖成為溝通兒童特質(zhì)與學(xué)科本質(zhì)之間的橋梁。

一、豐富形式：積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

教學(xué)是不斷螺旋上升的過(guò)程，小方塊的教學(xué)亦應(yīng)如此，教學(xué)中可以對(duì)方格圖進(jìn)行形式多樣變化，在“萬(wàn)變不離其宗”的活動(dòng)過(guò)程中，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（一）方格圖的“今生”，方格圖的靈活應(yīng)用

方格圖內(nèi)涵豐富，我們可以借助方格進(jìn)行數(shù)一數(shù)、畫(huà)一畫(huà)、想一想、填一填、說(shuō)一說(shuō)等數(shù)學(xué)活動(dòng)?；诜礁駡D的活動(dòng)采取多種形式開(kāi)展，試舉三例如下：

其一，數(shù)一數(shù)。比如，100以內(nèi)的認(rèn)識(shí)教學(xué)中，可以借助數(shù)方格的活動(dòng)展開(kāi)，在數(shù)方格時(shí)，可以一個(gè)一個(gè)數(shù)，也可以幾個(gè)幾個(gè)數(shù)，或者十個(gè)十個(gè)數(shù)，建立起“一”“十”“百”計(jì)數(shù)單位的概念，理解100以內(nèi)數(shù)的意義。

其二，想一想。比如，百數(shù)表中，我們可以抽取其中的數(shù)，讓學(xué)生借助數(shù)的排列規(guī)律，想象一下它的左鄰右舍、上下層等不同方位的數(shù)各是幾，發(fā)展其空間觀念。

其三，畫(huà)一畫(huà)。比如，在周長(zhǎng)的教學(xué)中，讓學(xué)生在方格圖中畫(huà)一畫(huà)“周長(zhǎng)是12厘米的長(zhǎng)方形有哪些”，在畫(huà)圖的過(guò)程中感受長(zhǎng)、寬與周長(zhǎng)的關(guān)系。

（二）方格圖的“后世”，變式圖的有效應(yīng)用

如果對(duì)方格圖的外在形式進(jìn)行改變的話，我們可以得到點(diǎn)子圖、線段圖、坐標(biāo)圖等不同形式、不同思維含量的變式圖。這里重點(diǎn)介紹一下點(diǎn)子圖和線段圖。

其一，點(diǎn)子圖。點(diǎn)子圖是由一行行、一列列相互對(duì)齊的點(diǎn)組成，每行、每列點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離都相等。可以說(shuō)，因?yàn)槿鄙僖唤M組相互平行與垂直的網(wǎng)格，思維的空間更大了。例如，在四邊形的認(rèn)識(shí)中，我們可以借助點(diǎn)子圖來(lái)認(rèn)識(shí)圖形的特征。

其二，線段圖。方格圖是二維的，而線段圖是一維的，對(duì)于低年級(jí)學(xué)生而言，是比較抽象的學(xué)習(xí)工具。教學(xué)中，我們可以將方格圖變形為條形圖，再“壓縮”成線段圖。抽象的線段圖由熟悉的方格圖“變身”而來(lái)，學(xué)生很樂(lè)于接受并理解。

二、挖掘內(nèi)涵：彰顯工具智慧

方格圖不僅是一種物化的符號(hào)，是學(xué)生數(shù)數(shù)、認(rèn)識(shí)圖形等知識(shí)的載體，更是一種思維支架，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必不可少的學(xué)習(xí)工具。

（一）認(rèn)知載體，借助方格圖感知

生活經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的源頭。從最淺層次看，方格圖是一種低水平的“物化”符號(hào)。如第一學(xué)段中數(shù)的認(rèn)識(shí)教學(xué)中，就可以憑借方格圖這一認(rèn)知載體進(jìn)行教學(xué)。

案例一:20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)

1.情境引入：呈現(xiàn)十多本擺放雜亂的練習(xí)本，猜一猜有幾本？在猜的過(guò)程中，數(shù)數(shù)并板書(shū)。

2.物化探究：一本練習(xí)本用一個(gè)小方格表示。怎么樣整理，15本練習(xí)本可以一眼就看出有幾本？學(xué)生拼擺小方塊并交流。

3.看圖寫(xiě)數(shù)：涂色的方格各有幾個(gè)？想一想每個(gè)數(shù)各由幾個(gè)十和幾個(gè)一組成。

4.梳理提升：結(jié)合方格圖認(rèn)識(shí)計(jì)數(shù)單位。那你們知道為什么這樣寫(xiě)嗎？出示計(jì)數(shù)器，在撥數(shù)的過(guò)程中與方格圖、數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

……

這節(jié)課中，從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，將練習(xí)本物化成小方塊，在小方塊拼擺過(guò)程中形成方格圖，經(jīng)歷“實(shí)物—小方塊—方格圖—計(jì)數(shù)（？）單位”的數(shù)學(xué)化過(guò)程，充分地激活了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，讓抽象的數(shù)有了形象的認(rèn)知載體，生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)無(wú)縫對(duì)接。

（二）思維支架，借助方格圖思考

方格圖直觀、形象，可以使數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、結(jié)構(gòu)化，幫助學(xué)生掌握解題策略，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。因此，它是問(wèn)題解決的重要思維支架之一。在杭州市2015年小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)觀摩活動(dòng)中，筆者曾聽(tīng)到一節(jié)讓人耳目一新的課，其教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)要敘述如下：

案例二：乘除法解決問(wèn)題①本課由杭州市濱文小學(xué)虞建峰執(zhí)教。

1.灰色圖形的大小表示36，黑色圖形的大小表示（ ）。

2.如果灰色圖形的大小表示35，其他圖形大小各是多少？

3.如果紅色圖形的大小表示35，那么大小是49的圖形是怎么樣的？請(qǐng)你畫(huà)一畫(huà)。

4.去除方格圖，將圖形變化成條形圖（線段圖雛形）。

5.一格小方格可以表示生活中的什么？與生活聯(lián)系，形成文字問(wèn)題，并列式解答。

在這節(jié)課中，教師借助方格圖的直觀、計(jì)算、操作與變化，逐步抽象出歸一問(wèn)題模型，整堂課獨(dú)具一格！細(xì)細(xì)品味這堂課，可以說(shuō)方格圖是歸一問(wèn)題模型建構(gòu)過(guò)程的思維支架，借助方格圖，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷圖形、符號(hào)與文字之間不斷互譯的知識(shí)加工與重組的過(guò)程。

（三）整理載體，借助方格圖梳理

借助方格圖，使知識(shí)關(guān)系與結(jié)構(gòu)在一個(gè)整體內(nèi)清晰地呈現(xiàn)。通過(guò)知識(shí)的縱橫交錯(cuò)、清晰對(duì)比，使知識(shí)在學(xué)生頭腦中形成結(jié)構(gòu)化、可視化的體系。

案例三：“周長(zhǎng)與面積整理與復(fù)習(xí)”教學(xué)片段

1.在方格圖中畫(huà)一畫(huà)，想一想周長(zhǎng)與面積有什么聯(lián)系？

①周長(zhǎng)是16厘米的長(zhǎng)方形有哪幾個(gè)？畫(huà)一畫(huà)，并算一算這些圖形的面積，填在表格里。

②用16個(gè)小正方形拼長(zhǎng)方形，在方格圖中畫(huà)一畫(huà)，并算一算這些圖形的周長(zhǎng)，填在表格里。

2.練后組織反饋，呈現(xiàn)結(jié)果并追問(wèn)：觀察所畫(huà)的圖形和表格里的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？引導(dǎo)討論，得出結(jié)論并板書(shū)。運(yùn)用課件的動(dòng)態(tài)演示強(qiáng)化規(guī)律。

3.辨析：“邊長(zhǎng)是4厘米的正方形的周長(zhǎng)與面積相等”這句話對(duì)嗎？

4.小結(jié)整理概念圖表，明確周長(zhǎng)與面積的聯(lián)系與區(qū)別。

這個(gè)片段中，教師結(jié)合學(xué)生在方格圖中畫(huà)周長(zhǎng)一定和面積一定的長(zhǎng)方形的數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生探究長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)與面積的區(qū)別和聯(lián)系，經(jīng)歷知識(shí)再生成的理解過(guò)程，使知識(shí)豎成線、橫成片，形成關(guān)于周長(zhǎng)與面積這兩個(gè)容易混淆的數(shù)學(xué)概念的知識(shí)結(jié)構(gòu)?？梢暬姆礁駡D為學(xué)生提供了整理支架，使知識(shí)梳理直觀有效。

三、提升能力：思維層層遞進(jìn)

方格圖使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具體化、思維過(guò)程可視化、知識(shí)體系結(jié)構(gòu)化。教學(xué)中，我們要對(duì)基于方格圖的思維活動(dòng)進(jìn)行多元設(shè)計(jì)，在觀察、計(jì)算、操作、想象、推理等層層遞進(jìn)的思維過(guò)程中，提升學(xué)習(xí)力。

（一）從具象到抽象，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維向精細(xì)化發(fā)展

借助方格圖，將具象的方格和抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)融合在一起，通過(guò)“實(shí)物圖—方格圖—數(shù)學(xué)符號(hào)”的溝通，呈現(xiàn)知識(shí)形成的思維路徑，實(shí)現(xiàn)抽象思維的發(fā)展。

案例四：“小括號(hào)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)片段

1.數(shù)學(xué)活動(dòng)：剪一剪。10個(gè)☆（一個(gè)☆占一個(gè)方格），先剪掉2個(gè)，再剪掉3個(gè)，還剩幾個(gè)？(活動(dòng)后嘗試列式解答)

2.自主探究：結(jié)合圖理解小括號(hào)的意義。

①將☆紙條抽象成方格圖，誰(shuí)在方格圖上把剛才剪的過(guò)程用不同的顏色涂一涂。

②嘗試列式：你能用不同的方法列式解答嗎？

③反饋交流：想一想，下面這個(gè)圖表示什么意思？哪個(gè)算式可以用它來(lái)解釋?zhuān)?/p>

A.10-2-3=5（個(gè)） B.2+3=5（個(gè)） 10-5=5（個(gè)）

C.10-（2+3）=5（個(gè)）

④溝通梳理：方法B和方法C都能用這個(gè)圖來(lái)解釋?zhuān)刻摼€框表示的是什么？（一共剪了幾個(gè)）通過(guò)動(dòng)態(tài)演示，把虛線抽象成“()”，將灰色方塊數(shù)和黑色方塊數(shù)抽象成“2+3”。

將方格圖抽象成色塊圖，比較兩個(gè)方法的聯(lián)系與區(qū)別，進(jìn)一步理解小括號(hào)的意義。

3.嘗試畫(huà)圖、解釋、編題：12-（3+4）。

這節(jié)課中，通過(guò)具體活動(dòng)情境的支撐，通過(guò)方格圖、畫(huà)圖等策略，讓學(xué)生心目中模糊的小括號(hào)變得清晰，促進(jìn)意義理解。借助實(shí)物圖、方格圖、抽象色塊圖之間從具體到抽象的數(shù)學(xué)化過(guò)程，通過(guò)情境與符號(hào)、圖形與算式、算式與算式，算式、圖形與生活之間多重互譯的過(guò)程，加深對(duì)小括號(hào)意義的理解，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維從具體到抽象、從粗放到精細(xì)的轉(zhuǎn)變。

（二）從有形到無(wú)形，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維向多維化發(fā)展

方格圖是外在有形的，思維是內(nèi)在無(wú)形的。小學(xué)生的空間想象能力比較薄弱，他們的數(shù)學(xué)思維相對(duì)單一，將方格圖從有形到無(wú)形變化，使思維更為寬廣，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維向多維化發(fā)展。例如，百數(shù)表是一份富有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的、挑戰(zhàn)性的、變式的、思考性的、抽象性的學(xué)習(xí)材料。借助方格圖，將數(shù)與形結(jié)合，讓學(xué)生加深對(duì)百以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)以及排列規(guī)律。通過(guò)一張百數(shù)表多次使用，架構(gòu)一個(gè)集觀察、表達(dá)、推理、想象等多維數(shù)學(xué)活動(dòng)于一體的智慧課堂。

（三）從符號(hào)到圖形，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維向靈活化發(fā)展

數(shù)學(xué)符號(hào)、圖形語(yǔ)言、生活語(yǔ)言是一個(gè)不斷溝通轉(zhuǎn)換的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，知識(shí)不斷來(lái)回互譯，思維不斷碰撞發(fā)展，思維的靈敏度得到培養(yǎng)。

案例五：方格圖涂色規(guī)律

1.下面圖形的方格一共有幾格？仔細(xì)觀察涂色規(guī)律，將算式與圖形連起來(lái)。

①1+3+5+7+9 ②1+8+16

③1+2+3+4+5+4+3+2+1

2.猜想：1+3+5+7+9+11+13的算式，你認(rèn)為是（ ）×()的方格圖。

3.涂色：根據(jù)算式，在方格中涂一涂。

①1+3+5+7+9+11+13 ②1+8+16+24

③1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1

4.自己設(shè)計(jì)一種規(guī)律，在方格圖中涂一涂，并列好算式。

形與式搭配，結(jié)合了觀察、計(jì)算、操作、想象、推理等思維活動(dòng)，滲透了“數(shù)形結(jié)合”“數(shù)的守恒”等數(shù)學(xué)思想，并滲透了平方數(shù)這一后續(xù)學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)，這不僅是對(duì)數(shù)學(xué)思維有序性的培養(yǎng)，更是對(duì)數(shù)學(xué)思維靈活性和變通性的考量，方格圖在這個(gè)過(guò)程中起到了不可估量的作用。

方寸之間，獨(dú)具一格。方格圖既是信息的解釋工具，建立直觀、形象、抽象間的連接，促進(jìn)知識(shí)從形象化到形式化轉(zhuǎn)變；又是知識(shí)建構(gòu)的工具，學(xué)生通過(guò)觀察、畫(huà)圖、表達(dá)等行為方式將自己的數(shù)學(xué)思想以直觀的形式表達(dá)出來(lái)，表現(xiàn)自身對(duì)數(shù)學(xué)的深層次理解。其實(shí)，數(shù)獨(dú)、俄羅斯方塊、九宮格等數(shù)學(xué)思維游戲，都是憑借方格圖這一載體。數(shù)學(xué)是深?yuàn)W的，方格圖是生動(dòng)的，讓方格圖承載更多的數(shù)學(xué)知識(shí)與思維，使學(xué)生的數(shù)學(xué)能力獲得更大的發(fā)展空間，盡顯數(shù)學(xué)課堂的大智慧。

[1]葛素兒.思維可視,情理相融——圖式思維在第一學(xué)段數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用策略[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2015（10）.

[2]王晶晶.數(shù)學(xué)小方格，教學(xué)大智慧——方格圖在教學(xué)中的應(yīng)用與再開(kāi)發(fā)[J].江蘇教育·小學(xué)教學(xué)，2014（05）.

[3]宋應(yīng)開(kāi).小小方格，大大學(xué)問(wèn)——方格一例小議“數(shù)學(xué)思考”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2015（05）.

[4]林海漲.“方”寸之地，自成一“格”——談方格圖在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的有效應(yīng)用[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2015（02）.

（浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)富春第二小學(xué) 311400）

（注：本文作者系朱樂(lè)平數(shù)學(xué)名師工作站“一課研究”組成員）