封閉圖形“內(nèi)部”與“外部”的辨別探究

□ 洪 偉 郜舒竹

封閉圖形“內(nèi)部”與“外部”的辨別探究

□ 洪 偉 郜舒竹

判斷某點(diǎn)是處于一個(gè)閉合圖形的內(nèi)部還是外部，看起來(lái)是一個(gè)很簡(jiǎn)單的問(wèn)題，但在一定條件下也會(huì)變得非常復(fù)雜?！皟?nèi)部還是外部”的學(xué)習(xí)活動(dòng)即是讓學(xué)生通過(guò)實(shí)踐操作探索如何用數(shù)學(xué)方法解決該問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)方法。學(xué)生將在知識(shí)技能、情感體驗(yàn)、數(shù)學(xué)思維、個(gè)性品質(zhì)與社會(huì)性等多方面得到提升。

封閉圖形 內(nèi)部 外部 規(guī)律

“內(nèi)部還是外部”這個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)即是將一段細(xì)線打結(jié)形成閉合線圈，通過(guò)改變線圈的形狀形成幾個(gè)不同的閉合曲線圖形，探索如何更便捷、準(zhǔn)確地判斷一枚一角硬幣處于這幾個(gè)曲線圖形的內(nèi)部還是外部的方法。

通過(guò)該學(xué)習(xí)活動(dòng)學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，原本一些感覺(jué)上非常簡(jiǎn)單、司空見(jiàn)慣或者顯而易見(jiàn)的概念在一定條件下也會(huì)變得模糊不清、難以界定，也需要認(rèn)真研究和探索。對(duì)于一些基本圖形來(lái)說(shuō)內(nèi)部和外部可以一眼看出，很好判斷，如長(zhǎng)方形、三角形、梯形等，因此人們往往忽略對(duì)這種看似平常概念的深入探究和思考?；顒?dòng)提供一次范例引起學(xué)生對(duì)這些平常概念的關(guān)注和思考，適合小學(xué)五年級(jí)教學(xué)。

在該學(xué)習(xí)活動(dòng)中學(xué)生將完整經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探索問(wèn)題、提出假設(shè)、驗(yàn)證假設(shè)、解決問(wèn)題的全過(guò)程，并經(jīng)歷從簡(jiǎn)單到復(fù)雜再回到簡(jiǎn)單后又復(fù)雜化的情感體驗(yàn)。學(xué)生將體會(huì)到數(shù)學(xué)問(wèn)題的模型化可以將具體的實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題并使其得以簡(jiǎn)單清晰地解決，體會(huì)到數(shù)學(xué)的實(shí)用性和數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)謹(jǐn)性。活動(dòng)中展現(xiàn)出來(lái)的簡(jiǎn)單與復(fù)雜之間的反差及相互轉(zhuǎn)化對(duì)學(xué)生思維具有很好的啟迪作用。

活動(dòng)中學(xué)生需要小組分工合作，組員分別輪流承擔(dān)出題人、解題人和協(xié)助者的角色，并協(xié)作完成活動(dòng)任務(wù)。學(xué)生的表達(dá)能力、溝通能力、分工協(xié)作能力和實(shí)踐操作能力都將得到鍛煉。

一、問(wèn)題與動(dòng)機(jī)

探討一個(gè)點(diǎn)處于一個(gè)幾何圖形的內(nèi)部還是外部看起來(lái)是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的問(wèn)題，但如果這個(gè)幾何圖形是一個(gè)閉合的曲線圖形，問(wèn)題還是不是那么簡(jiǎn)單呢？如果這個(gè)曲線圖形非常復(fù)雜，如何更有效、更快捷地判斷出哪是內(nèi)部哪是外部呢？

提出問(wèn)題、引發(fā)思考這一環(huán)節(jié)需要教師把握課堂節(jié)奏、營(yíng)造適宜氣氛，生動(dòng)地展現(xiàn)問(wèn)題的簡(jiǎn)單與復(fù)雜之間的反差，引發(fā)學(xué)生的興趣和探索欲。教師分三步展示圖1、圖2、圖3，每次詢問(wèn)學(xué)生圖中的一角硬幣處于圖形的內(nèi)部還是外部。

圖1

圖2

圖3

展示圖1和圖2時(shí)學(xué)生一般會(huì)認(rèn)為問(wèn)題實(shí)在是太簡(jiǎn)單了，然后教師給出圖3，展示反差，并詢問(wèn)如果圖形再?gòu)?fù)雜一些，用觀察法判斷不出來(lái)，怎么辦。拋出疑問(wèn)，引發(fā)接下來(lái)的探索活動(dòng)。

活動(dòng)的主要內(nèi)容是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)幾個(gè)不同閉合曲線圖形內(nèi)部外部的判斷，探索總結(jié)規(guī)律，建立簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型。需要準(zhǔn)備的學(xué)習(xí)用具包括：一段1米長(zhǎng)的細(xì)繩、一枚一角硬幣、一枚五角硬幣、一把30厘米長(zhǎng)的直尺。

二、過(guò)程與設(shè)計(jì)

感知到從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的反差后，教師可以給學(xué)生一小段自由討論和思考的時(shí)間。學(xué)生可以先進(jìn)行天馬行空的想象，因?yàn)榕c書(shū)本上學(xué)過(guò)的知識(shí)看起來(lái)關(guān)系不大，學(xué)生受到的束縛和思維定勢(shì)的影響較小，利于發(fā)散性思維的培養(yǎng)。通常情況下經(jīng)過(guò)討論后學(xué)生會(huì)給出一些直觀的辦法，例如直接觀察，把曲線圖形看成迷宮、硬幣看成小蟲(chóng)子嘗試能不能找到出路，把曲線圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃翁幚碓儆^察判斷，等等。將該問(wèn)題與數(shù)學(xué)知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái)總結(jié)歸納出一般化解決方法的概率較小。學(xué)生自己有了一定的思考后，教師再介紹本活動(dòng)的探索步驟，更有利于其體會(huì)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用。

教師將學(xué)習(xí)用具分發(fā)給學(xué)生，并介紹活動(dòng)步驟如下：

1.所有學(xué)生分成3～4人的小組，組員之間自行商量分工事宜，選出組長(zhǎng)、發(fā)言人、記錄員等角色。

2.取出細(xì)繩，并將兩端系成一個(gè)結(jié)，形成一個(gè)閉合線圈。

3.將閉合線圈平放在桌面上，并將兩枚硬幣放在線圈的外部，注意使兩枚硬幣間的距離不超過(guò)30厘米（即直尺的長(zhǎng)度）。

4.一名同學(xué)操作線圈，改變它的形狀，使其圍繞一角硬幣形成一個(gè)較為復(fù)雜的閉合圖形。注意線圈不能離開(kāi)桌面，以保證兩枚硬幣始終處于線圈的外部。然后用直尺將兩枚硬幣連接起來(lái)，觀察直尺所在的連接線段穿過(guò)線圈有幾個(gè)交點(diǎn)，將結(jié)果記錄在如下表 1所示的活動(dòng)記錄單中。每位同學(xué)輪流操作一次，注意使每次的線圈形狀盡可能不同。教師可以先示范操作一次，學(xué)生有問(wèn)題先提出解決，再小組展開(kāi)活動(dòng)。

表1 活動(dòng)記錄單

5.活動(dòng)結(jié)束后，小組內(nèi)先討論記錄下的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有什么規(guī)律，試著總結(jié)規(guī)律，提出判斷硬幣處于曲線圖形內(nèi)部還是外部的方法。

三、規(guī)律與建模

小組活動(dòng)結(jié)束后，每組的發(fā)言人上臺(tái)講解自己小組的發(fā)現(xiàn)與結(jié)論，教師組織全班展開(kāi)討論，使結(jié)論盡可能完善并引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)結(jié)論使之模型化。例如，用模型化的語(yǔ)言可以概括成：“要判斷曲線圖形上一點(diǎn)A處于圖形的內(nèi)部還是外部，可以在圖形外建立另一點(diǎn)B，連接A和B形成線段AB，線段AB穿過(guò)曲線圖形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為n。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，點(diǎn)A處于曲線圖形的外部。”模型的建立使具體的實(shí)際問(wèn)題變成抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，復(fù)雜的問(wèn)題又回歸簡(jiǎn)單。

四、總結(jié)與反思

活動(dòng)中學(xué)生經(jīng)歷的思維過(guò)程包括：實(shí)踐操作、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、歸納推理、模型化表達(dá)。規(guī)律指的是運(yùn)動(dòng)或變化過(guò)程中的不變因素。[1]活動(dòng)中曲線圖形和交點(diǎn)個(gè)數(shù)都是變化的，交點(diǎn)個(gè)數(shù)的奇偶性與內(nèi)外部之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是其中的不變因素。

從發(fā)現(xiàn)規(guī)律到提出結(jié)論運(yùn)用的數(shù)學(xué)思維是歸納推理。從邏輯的角度說(shuō)，歸納(induction)推理指的是人依據(jù)自身的意愿、經(jīng)驗(yàn)和當(dāng)前感知，從事實(shí)(fact)到推論(inference)的思維方式。[2]從有限個(gè)曲線圖形中總結(jié)出的規(guī)律是經(jīng)驗(yàn)和當(dāng)前感知，用于判斷內(nèi)部還是外部的一般化方法是推論。由于曲線圖形的種類和個(gè)數(shù)都是無(wú)窮多個(gè)，這里用的是不完全歸納，因此結(jié)論是否正確存在著不確定性。教師可以根據(jù)課堂情況引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑結(jié)論，引發(fā)其課后進(jìn)行進(jìn)一步的探索和思考。于是簡(jiǎn)單的結(jié)論如果想要嚴(yán)密的證明又似乎變得復(fù)雜了。整個(gè)探索過(guò)程學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)問(wèn)題在簡(jiǎn)單和復(fù)雜間不斷地奇妙變化，收獲豐富的情感體驗(yàn)。

最后全班討論環(huán)節(jié)使得結(jié)論得以模型化表達(dá)，學(xué)生可以體會(huì)到數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔高效和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)謹(jǐn)性。

五、關(guān)聯(lián)與拓展

開(kāi)展該學(xué)習(xí)活動(dòng)所需的用具很簡(jiǎn)單，學(xué)生課后可以自己準(zhǔn)備用具繼續(xù)探索兩個(gè)問(wèn)題：第一，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，點(diǎn)A是否處于曲線圖形內(nèi)部，改變曲線圖形的形狀多次驗(yàn)證并填寫(xiě)活動(dòng)記錄單；第二，嘗試尋找反例。

教師可以引入數(shù)學(xué)史上類似運(yùn)用不完全歸納法提出的著名數(shù)學(xué)問(wèn)題，如哥德巴赫猜想等，引導(dǎo)有興趣的同學(xué)進(jìn)一步查閱相關(guān)資料拓展研究，思考有什么方法可以嚴(yán)密地證明課上提出的數(shù)學(xué)模型正確與否。

[1]郜舒竹.“探索規(guī)律”釋義[J].課程·教材·教法，2015（1）.

[2]郜舒竹.小學(xué)數(shù)學(xué)這樣教[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2015：137.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）