半序s－度量空間中積分型壓縮映射公共耦合不動(dòng)點(diǎn)定理

張丹青，柴國慶

（湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北黃石 435002）

半序s－度量空間中積分型壓縮映射公共耦合不動(dòng)點(diǎn)定理

張丹青，柴國慶

（湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北黃石 435002）

給出了s－度量空間中幾種形式的公共耦合不動(dòng)點(diǎn)定理，改進(jìn)并推廣了前人的結(jié)果．

s－度量空間；耦合不動(dòng)點(diǎn)；偏序集；混合單調(diào)性；混合g－單調(diào)性

0 引言

Banach壓縮映象原理［1］被廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)學(xué)科及其它領(lǐng)域，成為非線性科學(xué)中一個(gè)重要工具．近年來，學(xué)者們對它進(jìn)行了各種推廣．最近有作者研究了偏序條件下度量空間中的壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理（見［2－7］），從而開啟了廣義度量空間中不動(dòng)點(diǎn)理論的研究．此外，作者們還考慮了各種空間．例如2－度量空間［8］，G－度量空間［8］，D＊－度量空間［10］，錐度量空間［11］，s－度量空間［12］等空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理．

首先介紹一些基本概念和結(jié)果，它們在本文中多處用到．

定義1［12］設(shè)是X一個(gè)非空集合，s∶X3→［0，＋∞）為一個(gè)映射．若?x，y，z，a∈X，滿足下列條件：

（P1）?x，y，z∈X，當(dāng)x≠y≠z時(shí)，則s（x，y，z）＞0；

（P2）s（x，y，z）＝0?x＝y(tǒng)＝z；

（P3）s（x，y，z）≤s（x，x，a）＋s（y，y，a）＋s（z，z，a） ?x，y，z，a∈X，

則s稱為s－度量，而稱（X，s）為s－度量空間．

引理1［13］在s－度量空間中，有s（x，x，y）＝s（y，y，x）．

定義2［14］設(shè)（X，s）是一個(gè)s－度量空間，對于?x∈X，存在x∈X，定義Bs（x，r）是x關(guān)于r的開球如下：

定義3［14］設(shè)（X，s）是一個(gè)s－度量空間，A?X．

1）若?x∈X，?r＞0，使得Bs（x，y）?A，則稱A為X中的開集；

2）若?r＞0，?x，y∈A，有s（x，x，y）＜r，則稱A為s－有界；

3）若s（xn，xn，x）→0（n→∞），則稱｛xn｝?X收斂于x；

4）若?ε＞0，?n0∈?，使得?n，m＞n0時(shí)，s（xn，xn，xm）＜ε，則稱｛xn｝?X為柯西列；

5）若X中的每個(gè)柯西列都收斂，則稱（X，s）是完備的；

6）τ是A一個(gè)集族，A?X，A集合是由所有滿足下列條件的x組成：x∈A 當(dāng)且僅當(dāng)存在r＞0滿足Bs（x，r）?A，稱τ是X上的拓?fù)洌?/p>

引理2［14］設(shè)（X，s）是一個(gè)s－度量空間．如果當(dāng)n→∞時(shí)，存在序列｛xn｝，｛yn｝滿足xn→x，yn→y，則s（xn，xn，yn）→s（x，x，y）．

引理3［15］設(shè)（X，s）是一個(gè)s－度量空間，則對于任意的x，y，z∈X，有

定義4［16］設(shè)（X，≤）是一個(gè)半序集．a(chǎn)，b∈X稱為可比較的當(dāng)且僅當(dāng)a≤b或b≤a成立．

定義5［16］設(shè)X是一個(gè)非空集合，若下列兩個(gè)條件成立，則稱（X，s，≤）為有序s－度量空間：

1）（X，s）是一個(gè)s－度量空間，

2）（X，≤）是一個(gè)半序集．

定義6［4］設(shè)（X，≤）是一個(gè)半序集，H∶X×X→X，稱映射H具有混合單調(diào)性當(dāng)且僅當(dāng)對于任意的a，b∈X，

定義7［17］設(shè)（X，≤）是一個(gè)半序集，H∶X×X→X，g∶X→X，稱映射具有混合g－單調(diào)性當(dāng)且僅當(dāng)對于任意的a，b∈X，

定義8［14］（a，b）∈X×X稱為映射F∶X×X→X和g∶X→X的耦合重合點(diǎn)．如果F（a，b）＝g（a）且F（b，a）＝g（b），如果F（a，b）＝g（a）＝a且F（b，a）＝g（b）＝b時(shí)，（a，b）稱為耦合不動(dòng)點(diǎn)．

定義9［18］設(shè)X，Y?（－∞，＋∞），函數(shù)φ∶X→Y稱為次可加可積函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)?c，d∈X，

定義10［18］（X，s）和（X′，s′）是兩個(gè)s－度量空間．映射f∶（X，s）→（X′，s′）是一個(gè)函數(shù)，稱f在a∈X連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對于任意X中的序列xn，s（xn，xn，a）→0可得到s′（f（xn），f（xn），f（a））→0．f 在X上連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對于任意的a∈X都連續(xù)．

引理4［18］設(shè)｛rn｝n∈?是一個(gè)非負(fù)序列，滿足n→∞時(shí)rn→a．則

其中φ∶［0，＋∞）→［0，＋∞）是在［0，＋∞）上的任何有界閉集，且對于任意ε＞

引理5［18］設(shè)｛rn｝n∈?是一個(gè)非負(fù)序列當(dāng)且僅當(dāng)limrn＝0，其中φ∶［0，＋∞）n→∞→［0，＋∞）是在［0，＋∞）上的任何有界閉集，且對于任意ε

1 主要結(jié)果

定理1 （X，s，≤）是一個(gè)半序s－度量空間，H∶X×X→X和g∶X→X是兩個(gè)映射．其中H滿足混合g－單調(diào)性．如果存在a0，b0∈X，滿足g（a0）≤H（a0，b0），g（b0）≥H（b0，a0），且存在正實(shí)數(shù)k1和k2滿足k1＋k2∈（0，1），滿足下列條件

其中a，b，c，p，q，r∈X，ga≥gp≥gc且gb≤gq≤gr或ga≤gp≤gc且gb≥gq≥gr．

φ∶［0，＋∞）→［0，＋∞）是一個(gè)非負(fù)Lebesgue可積的映射，且滿足可列可加性，且對于?ε＞0，有，滿足下列條件：

1）H（X×X）?g（X），

2）g（X）是完備的，

3）g是連續(xù)的且關(guān)于H可交換．

那么H和g存在一個(gè)耦合重合點(diǎn)．進(jìn)一步地，如果gp＝gc且gq＝gr，那么存在a∈X，滿足g（a）＝H（a，a）＝a．

證明：設(shè)a0，b0滿足g（a0）≤H（a0，b0），g（b0）≥H（b0，a0），由于H（X×X）?g（X），故存在a1，b1∈g使得g（a1）＝H（a0，b0），g（b1）＝H（b0，a0）．又由于H（X×X）?g（X），同樣存在a2，b2∈g使得g（a2）＝H（a1，b1），g（b2）＝H（b1，a1）．重復(fù)以上過程，可得到X中的兩個(gè)序列｛an｝，｛bn｝滿足

其中n∈?．

下面證明?n∈?，有

應(yīng)用歸納法，當(dāng)n＝0時(shí)，由于

故g（a0）≤g（a1）．現(xiàn)假設(shè)存在一個(gè)n≥1，使得（3），（4）成立，則由（2）式可得

故?n∈?，（3）－（4）成立．于是由于g（an＋1）＝H（an，bn），g（bn＋1）＝H（bn，an），故當(dāng)（an，bn）＝（an＋1，bn＋1），有g(shù)（an＋1）＝g（an）＝H（an，bn），g（bn＋1）＝g（bn）＝H（bn，an）

我們斷言：H和g存在一個(gè)耦合重合點(diǎn)．事實(shí)上，假若

即

由于g（an）≤g（an＋1），g（bn）≥g（bn＋1），故由（1）得

當(dāng)m＝2p時(shí)，有

由于k1＋k2＜1，故當(dāng)n，m→∞時(shí)，s（gam，gam，gan）→0．所以｛gan｝是g（X）中的柯西列．類似地，可以證明｛gbn｝是g（X）中的柯西列．因?yàn)間（X）是完備的，所以X中存在a，b使得當(dāng)n→∞時(shí)，gan→a，gbn→b．由于g是連續(xù)的，故

由于g和H是可交換的，故有

現(xiàn)證，（a，b）是H和g的耦合重合點(diǎn)．事實(shí)上由（1），有

由于g是連續(xù)的，故當(dāng)n→∞，有

所以ga＝H（a，b）．類似地，我們可以證明gb＝H（b，a）．

接下來我們證明H（a，a）＝g（a）＝a．由于（a，b）是H和g的耦合重合點(diǎn)，故有g(shù)（a）＝H（a，b），g（b）＝H（b，a）．

假設(shè)ga≠gb，由（1），我們有

矛盾．故ga＝gb，于是H（a，b）＝ga＝gb＝H（b，a）．

又由于n→∞時(shí)，gan＋1＝a，gbn＋1＝b，故

由于g是連續(xù)的，當(dāng)n→∞，有

類似地，我們可以得到

由于k1＋k2＜1，故上式成立當(dāng)且僅當(dāng)s（ga，ga，a）＝s（gb，gb，b）＝0．故ga＝a，gb＝b．由此得到ga＝H（a，a）＝a．

應(yīng)用舉例

其中k1

故定理1條件成立．故存在a∈X，ga＝H（a，a）＝a，其中a＝0．

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Common couple fixed point theorems for integral type mappings in ordered s－metric spaces

ZHANG Dan－qing，CHAI Guo－qing

（College of Mathematics and Statistics，Hubei Normal University，Huangshi 435002，China）

Several common couple fixed point results for integral type mappings in ordered s－metric spaces are given，which improve and generalize the previous results in the literature．

s－metric space；coupled point；partially ordered set；mixed monotonity；mixed g－monotonity

G250

：A

1009－2714（2016）04－0051－07

10．3969／j．issn．1009－2714．2016．04．012

2016—05—10

張丹青（1989— ），男，貴州六盤水人，碩士研究生，研究方向?yàn)榉蔷€性泛函分析．