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    一道“另類(lèi)”函數(shù)小題的剖析與思考

    2016-02-16 15:11:27浙江省紹興市高級(jí)中學(xué)阮偉強(qiáng)
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年1期
    關(guān)鍵詞:型函數(shù)另類(lèi)考題

    ☉浙江省紹興市高級(jí)中學(xué) 阮偉強(qiáng)

    一道“另類(lèi)”函數(shù)小題的剖析與思考

    ☉浙江省紹興市高級(jí)中學(xué)阮偉強(qiáng)

    2015年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)中有這樣一道小題:存在函數(shù)f(x)滿(mǎn)足,對(duì)任意x∈R都有().

    (A)f(sin2x)=sinx(B)f(sin2x)=x2+x

    (C)f(x2+1)=|x+1|(D)f(x2+2x)=|x+1|

    此題秉承了浙江高考數(shù)學(xué)卷一貫的命題風(fēng)格:簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單.然而,從高考后的反饋看,不少學(xué)生的感覺(jué)是“另類(lèi)”,表現(xiàn)在:首先,與平常做過(guò)的大量函數(shù)小題(側(cè)重于求最值、零點(diǎn)、判斷圖像形狀等)對(duì)不上號(hào),積累的經(jīng)驗(yàn)與方法不管用;其次,雖想到用換元法來(lái)求f(x),但對(duì)得出的答案心里仍沒(méi)底.具體就是:對(duì)選項(xiàng)A、B,令sin2x=t后,發(fā)現(xiàn)要反解出sinx及x,覺(jué)得較困難,就認(rèn)為f(x)不存在;對(duì)選項(xiàng)C,令x2+1=t,可得f(t)=|±+1|,對(duì)選項(xiàng)D,令x2+2x=t,可得x+1=±,故f(t)=|±|=.最后,想到常見(jiàn)函數(shù)解析式的形式,覺(jué)得應(yīng)選D.鑒于學(xué)生的上述困惑,筆者認(rèn)為十分有必要就考題作一番剖析與思考.

    一、命題探源

    初識(shí)考題,筆者便有似曾相識(shí)之感,原因是:學(xué)生手頭的教輔資料中,時(shí)不時(shí)會(huì)出現(xiàn)下列問(wèn)題:“①若f(log2x)=x,則f(2)=______;②若f(sinx)=cos3x,則f(0)=______.”等等.學(xué)生初次接觸問(wèn)題①,常常會(huì)這樣解:先用換元法求出f(x),再代入求出f(2).而教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生無(wú)需求出f(x),只要直接取x=4就得f(2)=4.學(xué)生在嘗到甜頭后,會(huì)模仿著解決問(wèn)題②,就是取x=0得f(0)=cos0=1.然而,細(xì)心的學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn):若取x=π卻得f(0)=f(sinπ)=cos3π=-1,對(duì)此,學(xué)生會(huì)感到十分困惑.當(dāng)然,教師心里是清楚的.既然有f(0)=1及f(0)=-1,對(duì)照函數(shù)概念知,這樣的函數(shù)是不存在的,故問(wèn)題②是個(gè)錯(cuò)題.至此,筆者猜想:命題者或許正是從這種頗為“流行”的錯(cuò)題中獲得靈感,編制出上述考題,屬妙手偶得之作.預(yù)期的效果是:首先,在糾正“流行”錯(cuò)題的同時(shí),考驗(yàn)了每個(gè)教師應(yīng)對(duì)和處理錯(cuò)誤的水平和能力,而從學(xué)生對(duì)考題有“另類(lèi)”之感表明,結(jié)果是不容樂(lè)觀的.其次,再一次喚醒我們要重視概念教學(xué),要幫助和引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成從概念出發(fā)思考和解決問(wèn)題的意識(shí).

    二、解法探究

    基于上述探究,立足于函數(shù)的定義,考題可這樣來(lái)解.

    解:對(duì)選項(xiàng)A,考慮到f(0)=f[sin(2×0)]=sin0=0,f(0)不符合函數(shù)的定義,故f(x)不存在;同理,對(duì)選項(xiàng)B可得f(0)=0及f(0)對(duì)選項(xiàng)C可得f(2)=2及f(2)=0,故選項(xiàng)A、B、C均是錯(cuò)誤的,正確答案是選項(xiàng)D.進(jìn)一步,既可用換元法來(lái)求f(x),也可以直接配湊來(lái)求,具體就是:f(x2+2x)=f[(x+1)2-1]=|x+1|=,故存在函數(shù)

    三、拓展

    顯然,從考題中可提煉出下列值得思考的問(wèn)題:一般地,設(shè)函數(shù)g(x)與φ(x)有相同的定義域?yàn)镈,是否存在函數(shù)f(x),對(duì)任意的x∈D,使得f[g(x)]=φ(x)成立?經(jīng)研究,可獲得下列3個(gè)結(jié)論:

    結(jié)論1:若g(x)為一一對(duì)應(yīng)型函數(shù),則存在函數(shù)f(x),對(duì)任意的x∈D都有f[g(x)]=φ(x).

    證明:設(shè)g(x)的值域?yàn)镸,由于g(x)為一一對(duì)應(yīng)型函數(shù),對(duì)M中的任意y0,g(x)的定義域中有唯一的x0與之對(duì)應(yīng),故f(y0)有唯一值φ(x0)與之對(duì)應(yīng),故f(x)表示函數(shù)關(guān)系,即函數(shù)f(x)存在.

    結(jié)論2:若g(x)為多對(duì)一型函數(shù),而φ(x)屬于一一對(duì)應(yīng)型函數(shù),則不存在函數(shù)f(x),對(duì)任意的x∈D都有f[g(x)]=φ(x).

    證明:由于g(x)是多對(duì)一型函數(shù),故g(x)的定義域中必存在有x1≠x2,使g(x1)=g(x2)=y0,所以f(y0)=φ(x1)= φ(x2),但φ(x)屬于一一對(duì)應(yīng)型函數(shù),所以φ(x1)≠φ(x2),即對(duì)于f(y0)而言,有兩個(gè)不同的值φ(x1)和φ(x2)與之對(duì)應(yīng),故f(x)不存在.

    結(jié)論3:若g(x)、φ(x)均為多對(duì)一型函數(shù),則對(duì)任意的x∈D使得f[g(x)]=φ(x)成立的f(x)可能存在,也可能不存在.

    不難發(fā)現(xiàn),考題正是基于結(jié)論3編制而成.

    四、思考

    總之,考題再次告誡我們:概念和定義是數(shù)學(xué)的根基,是數(shù)學(xué)內(nèi)容的高度總結(jié)和抽象,用其作為解題的手段往往能為我們提供思考的方向而直擊問(wèn)題要害.那么,如何“玩概念”呢?筆者的感悟是:既要重視概念教學(xué)的前半段,也要重視概念教學(xué)的后半段.前半段就是:概念教學(xué)起始,創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景固然重要,但更重要的是能多渠道、多視角,幫助學(xué)生揭示和理解概念的本質(zhì)、內(nèi)涵與外延;后半段是:概念的應(yīng)用,要讓學(xué)生養(yǎng)成從概念出發(fā)思考問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣.事實(shí)上,凡是參加過(guò)高考閱卷的老師,都會(huì)有這樣的體會(huì):解答題中的大量低分卷,多半是概念理解不到位、甚至不準(zhǔn)確所造成的.總之,如何“玩概念”是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)永恒課題,值得我們一線(xiàn)教師不斷實(shí)踐與探索.

    1.徐智愚.爭(zhēng)執(zhí)與創(chuàng)意:對(duì)一個(gè)錯(cuò)題的再探究[J].?dāng)?shù)學(xué)教學(xué),2015(4).

    2.何永堅(jiān).打破定勢(shì),追求靈動(dòng)——由高考數(shù)學(xué)命題“吐槽”引發(fā)的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(上),2015(10).

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