例談新知教學(xué)設(shè)計的步驟

☉江蘇省南京市江浦高級中學(xué)文昌校區(qū)　王禮之

例談新知教學(xué)設(shè)計的步驟

☉江蘇省南京市江浦高級中學(xué)文昌校區(qū)王禮之

眾所周知，數(shù)學(xué)新知教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)最核心的部分．?dāng)?shù)學(xué)家、中科院院士王元等多次在公共場合談及數(shù)學(xué)教學(xué)，說到底是玩數(shù)學(xué)概念的，而數(shù)學(xué)概念恰是數(shù)學(xué)新知的一部分．近年來，隨著教育應(yīng)試的愈演愈烈，我們也不難發(fā)現(xiàn)很多地區(qū)在概念教學(xué)、新知教學(xué)中也極其簡化這些新知感受、理解的過程，更多地是從后續(xù)解題角度去理解新知，通過訓(xùn)練、解題去理解新知成為了當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)的普遍現(xiàn)象．

這種問題一直存在于數(shù)學(xué)教學(xué)中，當(dāng)應(yīng)試更被看重的時候，這種以解題教學(xué)替代其余多元教學(xué)的方式成為了更一般化的現(xiàn)象．筆者記得章建躍先生多次在本省談及數(shù)學(xué)概念新知教學(xué)，其說的較多的一句話是：“你理解這個課為什么這么設(shè)計？”對于很多老師常常將教材中的例題處理、替換，其又常常問及：“你為什么換掉了教材中的例題？你的處理好在哪里？”等等.這種問題多次讓教師目瞪口呆，啞口無言．筆者認(rèn)為，這正是教師設(shè)計新知教學(xué)時，對于如何處理教材、引用教材并未作出深層次的思考，更多地是站在解題的角度去思考一堂課，而未從知識的角度、作用、長遠(yuǎn)的發(fā)展去思考一堂課，這是教師新知教學(xué)處理亟需提高之處．本文以筆者研究的《一元二次不等式及其解法》第一課時為例，結(jié)合自身的一些設(shè)計來談?wù)勑轮虒W(xué)的一些想法，懇請指出不足之處．

一、地位與作用

教學(xué)設(shè)計首先需要了解教學(xué)內(nèi)容的地位與作用，這是設(shè)計第一要素：

一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式解法在知識上的延伸和發(fā)展，它是解不等式的基礎(chǔ)和核心．在高中數(shù)學(xué)中，許多問題的解決都會借助一元二次不等式的解法，如函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)等．概括地說，本節(jié)課的地位體現(xiàn)于它的基礎(chǔ)性，作用體現(xiàn)于它的工具性．

一元二次不等式和二次函數(shù)、一元二次方程是中學(xué)數(shù)學(xué)中的核心內(nèi)容．一元二次不等式能部分地反映函數(shù)的部分性質(zhì)．如，什么時候二次函數(shù)的值大于零？什么時候二次函數(shù)的值等于零？什么時候二次函數(shù)的值小于零？在函數(shù)單調(diào)性的定義中，也是利用不等關(guān)系來表示的．這是函數(shù)性質(zhì)的主要方面，有助于加深對函數(shù)的認(rèn)識和理解．

實際上還可以通過導(dǎo)函數(shù)來反映原函數(shù)的性質(zhì)，由于研究函數(shù)主要是研究函數(shù)的變化關(guān)系，一元二次不等式正好給我們提供了研究函數(shù)變化的方法．例如，一元三次函數(shù)的變化問題就可以通過它的導(dǎo)函數(shù)，即二次函數(shù)是大于零還是小于零來判斷．

二、教學(xué)與安排

第一種安排：在高一必修1第一章《集合》的講授過程中，運(yùn)用因式分解解一元二次不等式，把它的解集作為集合運(yùn)算的載體，有利于強(qiáng)化學(xué)生的運(yùn)算能力，復(fù)習(xí)因式分解起到了初高中的銜接作用．但這只強(qiáng)調(diào)了解一元二次不等式“數(shù)的性質(zhì)”，且只適合能因式分解的一元二次不等式，不利于學(xué)生理解一元二次不等式“形”的意義和解法．

第二種安排：老教材是在必修2第二章《函數(shù)》之后，從二次函數(shù)角度解一元二次不等式，較順理成章，二次函數(shù)模型是初高中數(shù)學(xué)重要模型之一，體現(xiàn)了知識的螺旋上升過程，但要分配好課時．

第三種安排：新課程把本節(jié)內(nèi)容設(shè)置在必修5第三章《不等式》中就比較合適，在此之前，學(xué)生高一已經(jīng)學(xué)完了基本函數(shù)模型，包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列等，有了基本函數(shù)的知識儲備，同時在數(shù)學(xué)思想方法上，學(xué)生通過學(xué)習(xí)了向量、函數(shù)與方程，有了一定的數(shù)形結(jié)合思想的意識．向量在整個高中階段有非常重要的地位，也是幾年來高考的熱點(diǎn)，是“數(shù)形結(jié)合”標(biāo)志性知識點(diǎn)．在《函數(shù)與方程》這節(jié)中，對函數(shù)的“形”的認(rèn)識已經(jīng)有了較高的基礎(chǔ)．所以本節(jié)課主旨設(shè)計就是用數(shù)形結(jié)合的思想，把三個“二次”之間的關(guān)系，銜接“等”與“不等”的關(guān)系．不僅在知識技能上起了鞏固作用，還在數(shù)學(xué)思想方法上進(jìn)一步加深，有助于學(xué)生今后的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．

三、設(shè)計的前瞻

1.如何呈現(xiàn)定義

在解決這一困難時，筆者大膽處理教材，舍棄課本上枯燥的應(yīng)用題．通過“回顧熱身”，引導(dǎo)學(xué)生回憶二次函數(shù)的圖像、零點(diǎn)、方程的根等概念，設(shè)置了題組一，用具體題目明晰了函數(shù)與方程之間的關(guān)系．在題組一的基礎(chǔ)上設(shè)置了題組二，通過函數(shù)圖像的“區(qū)域”直觀地呈現(xiàn)了“不等”關(guān)系，因此抽象出代數(shù)式，給出了一元二次不等式的定義．方程、函數(shù)和不等式是關(guān)系非常密切的“兄弟”，通過題組一的函數(shù)圖像，讓學(xué)生在還沒有開始解決解一元二次不等式之前，就已經(jīng)讓它們攜手上陣了．為后面本節(jié)課的重點(diǎn)突破，埋下了伏筆．同時題組二中“潛伏”著f（x）>0，f（x）>C，f（x）>g（x）三種不等式的基本形態(tài)，在學(xué)生的頭腦中埋下種子．

2.如何突破本節(jié)課的重點(diǎn)

利用函數(shù)法求解一元二次不等式，是圍繞學(xué)習(xí)“一元二次不等式”的主要目的展開的，并且在一元二次函數(shù)、一元二次方程學(xué)習(xí)之后，既對一元二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)及一元二次方程進(jìn)行了全面復(fù)習(xí)，又使得重要數(shù)學(xué)內(nèi)容得到了應(yīng)用，同時也有利于理解一元二次不等式的意義和一元二次函數(shù)的關(guān)系．對于其他函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等的一元二次不等式，利用函數(shù)法求解也比較方便．因此利用函數(shù)法求解一元二次不等式的解是通性通法．本節(jié)課筆者重點(diǎn)用函數(shù)法求解一元二次不等式．

在題組一中已經(jīng)出現(xiàn)了函數(shù)圖像，在解決題組二的前兩個問題時自然想到了用函數(shù)圖像，但在課堂討論中進(jìn)一步歸納簡化解法．之后在題組二中第三個問題的錯誤解法中再把解法進(jìn)一步改良，在兩次改良后，在題組三中學(xué)生體驗，把解一元二次不等式的解法變?yōu)橥ǚǎㄟ^一次歸納、兩次改良、最后總結(jié)，使得學(xué)生的思維螺旋式上升，在不知不覺中掌握了求解一元二次不等式的解法．

3.如何安排教學(xué)

本節(jié)課始終貫穿數(shù)形結(jié)合的思想，用圖像法解一元二次不等式．那么如何設(shè)計教學(xué)“用因式分解法解一元二次不等式”，存在自己的疑慮．把求解一元二次不等式的問題轉(zhuǎn)化為求解一元一次不等式組的問題，是根據(jù)“數(shù)”的性質(zhì)，把它理解為集合運(yùn)算的一個載體，理解集合的交、并運(yùn)算．一方面考慮到一元二次不等式用數(shù)軸的區(qū)間來刻畫的方法，可以延伸到高次不等式的解法（數(shù)軸法）；另一方面，一元二次不等式可以用來刻畫數(shù)軸上的區(qū)間，類似地可以推廣：二元不等式組，可以刻畫平面上的區(qū)域，三元不等式可以刻畫空間中的區(qū)域．

雖然用因式分解求解一元二次不等式解決的問題具有一定的局限性，但學(xué)生對十字相乘的認(rèn)識深刻，所以這里只是作為特殊技巧介紹給學(xué)生，因為一元二次不等式普遍是不能分解的二次結(jié)構(gòu)．另外非一元二次不等式，使用因式分解就很難求解，例如sinx<0等等．

四、教學(xué)與過程

題組一：

（1）求函數(shù)y=x2-3x-4的零點(diǎn)；（2）求函數(shù)y=x2-3x與函數(shù)y=4的交點(diǎn)；（3）求函數(shù)y=x2-4與函數(shù)y=3x的交點(diǎn).

問題1-1什么是函數(shù)的零點(diǎn)？畫圖（圖1，略）觀察．

問題1-2什么是兩圖像交點(diǎn)？畫圖（圖2，略）觀察．

問題1-3從題組一中得到的三個式子，你會有什么奇妙的發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計意圖：

①讓學(xué)生鞏固畫圖的基本技能，如一次函數(shù)、二次函數(shù)；

②回顧區(qū)分概念（一元二次方程、二次函數(shù)）；

③體會回顧方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)和圖像交點(diǎn)三者之間的關(guān)系．

題組二：

（1）求滿足函數(shù)y=x2-3x圖像在函數(shù)y=4圖像的上方的x的取值范圍.

（2）求滿足函數(shù)y=x2-4圖像在函數(shù)y=3x圖像的上方的x的取值范圍.

（3）求滿足函數(shù)y=-x2圖像在函數(shù)y=-3x-4圖像的上方的x的取值范圍.

問題2-1聯(lián)系題組一的圖2，題組二的（1）中“函數(shù)y=x2-3x圖像在函數(shù)y=4圖像的上方”指的是什么？從圖像可以看出，“在函數(shù)y=4圖像的上方”的區(qū)域中涵蓋了函數(shù)y=x2-3x的兩段圖像，這兩段圖像在x軸上的投影即為要求的x的取值范圍．

問題2-2這是我們從圖像上得到的結(jié)果，那如何用代數(shù)式來進(jìn)行描述呢？

問題2-3比較題組一中的代數(shù)式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計意圖：從函數(shù)圖像的角度來體會“等”與“不等”的關(guān)系，在銜接上一節(jié)內(nèi)容《不等關(guān)系與不等式》的同時，引入了一元二次不等式的概念，直觀地發(fā)現(xiàn)了一元二次方程和一元二次不等式之間的聯(lián)系．

問題2-4上述內(nèi)容我們是從“形”看解一元二次不等式x2-3x-4>0，能否從“數(shù)”的角度來繼續(xù)研究呢？

問題2-5比前面用“形”的方法解一元二次不等式，哪種更好？

設(shè)計意圖：用“數(shù)”的性質(zhì)再解一元二次不等式只是作為介紹，不作為本節(jié)課的重點(diǎn)，其中數(shù)軸法是后面解高次不等式的一種方法，這里只是鋪墊，后續(xù)訓(xùn)練環(huán)節(jié)不再贅述．

總之，新知教學(xué)需要教師在新知理解環(huán)節(jié)加深自身對于這些知識的理解，并在問題設(shè)計環(huán)節(jié)多作一些設(shè)計意圖的思考.對教師而言這些理解和思考大大加深了教師對于教材、新知的理解，而不再是一味地以解題教學(xué)去替代多元的數(shù)學(xué)教學(xué)，這樣的教學(xué)是有益于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的，值得教師多作一些嘗試和探索．

1.方明.陶行知教育名篇［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2005.

2.姜興榮.探求教學(xué)思路的幾種有效策略［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2013（7-8）.