“形散而神不散”的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)——以蘇教版七下9.4乘法公式（第3課時(shí)）為例

☉江蘇省張家港市梁豐初級中學(xué)　邵美琴

“形散而神不散”的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)——以蘇教版七下9.4乘法公式（第3課時(shí)）為例

☉江蘇省張家港市梁豐初級中學(xué)邵美琴

蘇霍姆林斯基說過這么一句話：“多年的經(jīng)驗(yàn)使我們得出這樣的結(jié)論，可以把所有的教學(xué)方法歸納為兩類：一類是使學(xué)生初次感知知識和技能的方法；另一類是使知識得到進(jìn)一步理解、發(fā)展和深化的方法.”“使學(xué)生初次感知知識和技能的方法”主要用于新授課，“使知識得到進(jìn)一步理解、發(fā)展和深化的方法”更多地用于復(fù)習(xí)課上.由次我想到了復(fù)習(xí)需要注意的兩點(diǎn)：一是教學(xué)方法要因時(shí)因人而異；二是有時(shí)方法的掌握比知識的了解重要.

在我的觀念里，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)該志趣高遠(yuǎn)，定位在素養(yǎng)提升的高度上，追求一種融合的境界，所有的學(xué)生都能獲得一種能力的提升、心靈的探索與理性精神的養(yǎng)料.所以，“形散而神不散”應(yīng)該是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)追求的一種境界.下面是經(jīng)過指導(dǎo)的張家港市教育人才服務(wù)中心初中數(shù)學(xué)半脫產(chǎn)培訓(xùn)學(xué)員借班級上的實(shí)踐研討課的一些教學(xué)片段，學(xué)生來自于普通農(nóng)村初級中學(xué).我們試圖實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的初衷：給學(xué)生一份讓生命靈動可愛的存在，一種讓思想理性成熟深刻的力量，引領(lǐng)學(xué)生追求生命成長的快樂.

一、教學(xué)過程

1.題組練習(xí)，回顧知識要點(diǎn)

自主計(jì)算下列各式，并寫出所利用的乘法公式，小組內(nèi)先行交流：

（1）（x+2）（x-2）；（2）（2a+b）（b-2a）；（3）（a-3b）2；（4）（2a+b）（-2a-b）.

師：同學(xué)們剛才完成的4個(gè)計(jì)算題，老師通過巡視，發(fā)現(xiàn)（1）、（2）兩題的正確率比較高，你們使用了什么乘法公式？

生1：都使用了平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.

師：下面請諸位看一下這三位同學(xué)第（3）題的做法，請你當(dāng)小老師給予評點(diǎn).（實(shí)物投影出示下列解法）

①（a-3b）2=a2+9b2；②（a-3b）2=a2+3b2-6ab=a2+9b2-6ab；③（a-3b）2=a2-6ab+（3b）2=a2-6ab+9b2.

生2：第一個(gè)同學(xué)記錯(cuò)了公式，漏了乘積項(xiàng)的兩倍，不是完全平方公式，而是平方和.

生3：第二個(gè)同學(xué)答案對了，但過程中有錯(cuò)，可能是筆誤，3b是一個(gè)整體，要加括號.

師：你很善良，但又不失中肯地指出了問題，這種機(jī)智評價(jià)方式比較容易讓人接受.

生4：第三個(gè)同學(xué)完全正確，而且結(jié)果按a的降冪排列，很整齊.

師：確實(shí)，準(zhǔn)確地記憶公式結(jié)構(gòu)是正確使用公式的前提，而有序地排列不但是美觀的需要，也是保障記憶準(zhǔn)確的法寶，那么完全平方公式的特點(diǎn)是什么？

生5：（a±b）2=a2±2ab+b2中是完全相同的兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，展開后有三項(xiàng)，中間一項(xiàng)是乘積的兩倍，符號與括號內(nèi)的中間符號保持一致.

師：再來看有同學(xué)第（4）題的做法，請你當(dāng)小老師給予評點(diǎn).（實(shí)物投影出示下列解法）

①原式=2a·（-2a）-2a·b+b·（-2a）-b·b=…=-4a2-4ab-b2；②原式=（2a+b）·［-（2a+b）］=-（2a+b）2=-（4a2+ 4ab+b2）=-4a2-4ab-b2.

生6：兩位同學(xué)都是對的，第一位沒有看出公式來，用了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式做，中間多了合并同類項(xiàng)的環(huán)節(jié).

生7：第二位同學(xué)對公式的結(jié)構(gòu)很了解，數(shù)學(xué)感覺好，方法更靈活.

師：在沒有規(guī)定方法的前提下，能獨(dú)立解決問題，都是值得贊賞的，但能靈活地使用新知識更是一種能力的體現(xiàn)，有時(shí)會體現(xiàn)出更多的優(yōu)越性.

點(diǎn)評：教師通過對學(xué)生進(jìn)行的“題組自主練習(xí)”的巡視，有選擇性地選取了三位學(xué)生第（3）題的解題過程和兩位學(xué)生第（4）題的解題過程進(jìn)行展示，明晰了應(yīng)用乘法公式的條件和注意事項(xiàng)，促使現(xiàn)場生成的問題由學(xué)生現(xiàn)場及時(shí)自行解決，學(xué)生既復(fù)習(xí)了舊知（兩個(gè)乘法公式及變形練習(xí)），糾正了偏差（漏項(xiàng)、去括號時(shí)的“變號”易錯(cuò)點(diǎn)），又鍛煉了數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力，而且生生間互相評價(jià)，增強(qiáng)了學(xué)生生命靈動可愛的存在感，突出了學(xué)生的主體地位和教師的適時(shí)引領(lǐng)作用，提高了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效率.

2.探索交流，提升思維能力

［探索交流一］

例1（速算比賽）計(jì)算：（x+2）（x2+4）（x-2）.

（學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，教師巡視）

生8（板演）：（x+2）（x2+4）（x-2）=（x3+4x+2x2+8）（x-2）.（后面沒有寫完）

生9（板演）：原題=（x+2）（x-2）（x2+4）=（x2-4）（x2+4）=x4-16.

師：請生9講解自己的思維過程、解題方法和依據(jù).

生9：我先觀察到利用乘法交換律和結(jié)合律后，可以連續(xù)兩次使用平方差公式，所以比較簡單.

師：認(rèn)真審題，觀察結(jié)構(gòu)，調(diào)整順序，認(rèn)清算理，巧用公式，常常能事半功倍地簡化代數(shù)式的運(yùn)算.

變式1：計(jì)算：（x+2）（x2+4）（x-2）（x4+16）.

（這次學(xué)生快速地報(bào)出答案：x8-256，面露得意之色）

師：難不到大家了，是吧？請嘗試解決下一題，有初步想法的同學(xué)可以主動來板演.

變式2：計(jì)算：3（22+1）（24+1）（28+1）.

（學(xué)生作沉思狀，后有竊竊私語，生10面露喜色，奮筆疾書，快步登上講臺）

生10（板演）：原式=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22-12）（22+12）（24+14）（28+ 18）=216-1.

師：這位同學(xué)把3拆成（2+1）后又補(bǔ)了一個(gè)（2-1），從而創(chuàng)造了使用平方差公式的條件，相當(dāng)巧妙，是一種創(chuàng)造性的思維.還有其他想法嗎？

生11：把它的前兩步擦去，把3直接拆成（4-1），也就是（22-1），那么原式=（22-12）（22+12）（24+14）（28+18）=216-1.

（多數(shù)學(xué)生先呈驚訝狀，后現(xiàn)豁然開朗景象，一聲情不自禁的“哇塞”，把由衷的佩服、贊賞之情表現(xiàn)得淋漓盡致.）

師：正是“山外有山，樓外樓”，同一個(gè)熟悉的3，在不同的場合派了不同的功用，但又殊途同歸，都利用平方差公式順利地達(dá)到了簡化數(shù)的運(yùn)算的作用.

例2（速算比賽）計(jì)算：（3x+2）2（3x-2）2.

（有了前面的經(jīng)驗(yàn)，這次學(xué)生不再貿(mào)然動手，先進(jìn)行觀察，快速完成了任務(wù)）

生12（板演）：原式=［（3x+2）（3x-2）］2=（9x2-4）2= 81x4-72x2+16.

師：我們?nèi)绱诉\(yùn)算的依據(jù)是什么？

生：先逆用（ab）n=an·bn，再用平方差和完全平方公式.

（學(xué)生信心滿滿，課堂漸入佳境）

點(diǎn)評：在課堂上讓學(xué)生展示的方式可以是豐富多樣的，針對教學(xué)的重點(diǎn)和學(xué)生易出錯(cuò)的環(huán)節(jié)，這里采用了速算比賽和“板演”相結(jié)合的方式讓兩位學(xué)生展示，通過兩種方法的直觀比較，無論是從運(yùn)算量的大小，還是結(jié)論的正確性來說，都給學(xué)生以強(qiáng)烈的印象，創(chuàng)造條件使用公式，選擇合理算法的思想植入也就水到渠成了，而兩個(gè)變式訓(xùn)練的組合更是激發(fā)了學(xué)生的自信心和表現(xiàn)欲.我們知道，只有不斷創(chuàng)造著的人才是有鮮活生命特征的.因此，數(shù)學(xué)課堂就應(yīng)該這樣：時(shí)而靜默，時(shí)而迸發(fā)，充滿著勃勃的生機(jī)，數(shù)學(xué)的簡約之美自然地流淌在學(xué)生的心田.我們看到，正因?yàn)橛辛怂偎惚荣悾?）及兩個(gè)變式訓(xùn)練的充分思考、展示、交流及理解，速算比賽（2）的完成學(xué)生才得心應(yīng)手，一蹴而就.所以說，適時(shí)的等待很有必要，教是為了不教，只有靈魂跟上，腳步才能輕盈，能力才會顯現(xiàn).

［探索交流二］

師：剛才速算比賽（2）還有其他問題嗎？

生13：我先用了完全平方公式，發(fā)現(xiàn)有點(diǎn)煩，沒做下去.

師：有堅(jiān)持下去的嗎？

生14（實(shí)物投影）：（3x+2）2（3x-2）2=（9x2+12x+4）·（9x2-12x+4）=（9x2+4）2-（12x）2=81x4+72x2+16-144x2= 81x4-72x2+16.

師：這位同學(xué)的基本功相當(dāng)扎實(shí)，解題思路也很自然.其中關(guān)鍵的是：得到三項(xiàng)乘三項(xiàng)（9x2+12x+4）（9x2-12x+4）后，他看出了兩個(gè)相乘的括號中共有六項(xiàng)，其中9x2、+4是各自完全相同的兩個(gè)項(xiàng)，+12x、-12x是前面符號相反的兩個(gè)項(xiàng)，所以把（9x2+4）看作一個(gè)整體，就是平方差公式中的a，把（+12x）也當(dāng)成一個(gè)整體，就是平方差公式中的b，由此構(gòu)造了平方差公式，再利用混合運(yùn)算法則，先把完全平方式展開，最后合并同類項(xiàng).我們把條件變得更清晰些，請嘗試完成下面的任務(wù)，并理清思路.

例3計(jì)算：（m+n+4）（m+n-4）.

生15：其中m、+n是各自完全相同的兩個(gè)項(xiàng)，+4、-4是前面符號相反的兩個(gè)項(xiàng)，所以把（m+n）看作一個(gè)整體，就是平方差公式中的a，把（+4）也當(dāng)成一個(gè)整體，就是平方差公式中的b，由此構(gòu)造了平方差公式，所以（m+n+4）·（m+n-4）=（m+n）2-42=m2+2mn+n2-16.

師：看來完成得不錯(cuò).請你嘗試操作：在原題的六個(gè)項(xiàng)中改變一個(gè)項(xiàng)的符號，并且改變后能夠構(gòu)造出可以用平方差公式來解決，這樣的題型有哪些？

（眾生思考、嘗試后，爭先恐后地沖上來板演，課堂氣氛異常活躍）

下面是學(xué)生呈現(xiàn)的四種結(jié)果：

（1）（m+n+4）（-m+n-4）=（n+m+4）（n-m-4）=…=n2-m2-8m-16；

（2）（m+n+4）（m-n-4）=…=m2-n2-8n-16；

（3）（-m+n+4）（m+n-4）=…=n2-m2+8m-16；

（4）（m-n+4）（m+n-4）=…=m2-n2+8n-16.

點(diǎn)評：看似熱鬧紛雜、穿梭上下的課堂，涌動的是勤于思考、勇于交流的積極狀態(tài).第斯多惠說：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵(lì)、喚醒和鼓舞.”因此，這一環(huán)節(jié)的評價(jià)主要由學(xué)生進(jìn)行：識別正誤、修改糾錯(cuò)、評判是否把情況考慮周全等.任何一個(gè)數(shù)學(xué)問題，它的教學(xué)功能是有限的，但其中蘊(yùn)含的“理”，應(yīng)當(dāng)成為學(xué)數(shù)學(xué)更重要的價(jià)值所在.本題通過開放性的設(shè)計(jì)，由學(xué)生自己提出問題、解決問題，感受構(gòu)造的巧妙性和數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)之美，體會有序思考的必要性，加深了對整體思想功用的認(rèn)識，強(qiáng)烈地體驗(yàn)了符號對于初中及以后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，只改一個(gè)符號，就是全然不同的答案！同時(shí)也明白了一個(gè)道理：合作可以集思廣益，提高效率.這種在學(xué)習(xí)過程中的發(fā)現(xiàn)、歸納、調(diào)整才是學(xué)生自己的學(xué)習(xí)財(cái)富，才是今后在分析問題、解決問題中以不變應(yīng)萬變的王道.授人以漁，讓學(xué)生在過程中發(fā)現(xiàn)方法，讓學(xué)生在過程中感悟思想，讓學(xué)生的思維深刻起來，讓學(xué)生的情感豐富起來.

3.感悟小結(jié)，追求生命成長

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，諸位在知識層面、思想方法層面和互相合作交流層面都有哪些收獲？還有什么疑問？

（生答略）

師：在陌生中尋找熟悉的影子，這就是轉(zhuǎn)化；在雜亂中尋找潛在的規(guī)則，這就是構(gòu)造；在多樣中尋找優(yōu)美的簡潔，這就是優(yōu)化；在交流中尋找突破，這就是成長！

二、教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)紛繁復(fù)雜，不同的時(shí)間段有不同的復(fù)習(xí)要求，本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了兩個(gè)乘法公式后的首節(jié)公式應(yīng)用復(fù)習(xí)課，要求起點(diǎn)低，綜合度小，不同于整章的復(fù)習(xí)，更區(qū)別于初三的綜合復(fù)習(xí)，目標(biāo)更單一，設(shè)計(jì)難度也更高，很容易變成習(xí)題訓(xùn)練課，課堂顯得散亂且枯燥無味.

怎樣像語文中的散文一樣，把數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上得“形散而神不散”，我認(rèn)為可以從下面幾個(gè)方面來思考.

首先，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)需要把學(xué)生的需求放在第一位.“以學(xué)定教，教學(xué)相長”是新課改理念與傳統(tǒng)教育思想的結(jié)合，也是無數(shù)教師的追求.就其本質(zhì)而言，“以學(xué)定教，教學(xué)相長”是真正意義上的“學(xué)”的主體地位回歸，所有的教都是為了學(xué)，心中有數(shù)學(xué)的靈魂，眼里有課堂的靈魂——學(xué)生，這兩顆靈魂碰撞，才能發(fā)出熠熠光輝，實(shí)現(xiàn)“學(xué)”的同時(shí)，也成就了“教”.

奧蘇伯爾說過：“影響學(xué)習(xí)的唯一重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么，要探明這一點(diǎn)，并據(jù)此進(jìn)行教學(xué).”所以課的開始我們設(shè)計(jì)了一組“題組練習(xí)”，以探明學(xué)生在新授課中對新知識的掌握程度及還存在的缺陷漏洞，以有限的交流來增加對教學(xué)對象的認(rèn)識，這對于“借班上課”的教師來說顯得尤其重要，是后繼教學(xué)順利進(jìn)行的保障.同時(shí)也避免了常見的空洞文字公式復(fù)習(xí)的俗套，提高了數(shù)學(xué)課堂的實(shí)效性.

其次，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必須遵循數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律.數(shù)學(xué)的育人本分，就是培養(yǎng)學(xué)生的良好思維習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的理性精神，追求數(shù)學(xué)課堂的真實(shí).數(shù)學(xué)是一個(gè)慢中開悟、自然生成、不斷探索的過程.所以在探索交流環(huán)節(jié)力求樸素地以學(xué)生的現(xiàn)有知識儲備開展速算比賽，自然地逼近數(shù)學(xué)本質(zhì)，以此獲得知識、擁有智慧.本節(jié)課摒棄了花哨的教學(xué)手段，教師只在關(guān)鍵處予以點(diǎn)撥，生生間、師生間思維的碰撞充滿了課堂.

關(guān)于對教材的處理，我們尊重教材，但不迷信教材.教材中原有三個(gè)例題、四個(gè)小題，我們舍去了一個(gè)混合運(yùn)算的例題，因?yàn)樵诒菊n的例2中已涵蓋了這樣的內(nèi)容.整個(gè)探索環(huán)節(jié)通過游戲加變式訓(xùn)練，以問題串的形式呈現(xiàn)了出來，自然流暢，一氣呵成，給足了學(xué)生探索、交流的時(shí)間和空間，讓所有的學(xué)生都有所收獲.當(dāng)然，對教材的處理要遵循一個(gè)基本原則：既不能任意拔高教學(xué)起點(diǎn)，也不能任意降低教學(xué)要求，一切要遵循數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律.

再次，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)需要精神感染，追求豐富多彩的數(shù)學(xué)味道.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)需要層層剝離、步步深入的嚴(yán)密推理，需要聯(lián)想翩翩的精確構(gòu)造與抽象.數(shù)學(xué)語言表達(dá)彰顯氣質(zhì)，數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)散發(fā)氣質(zhì)，數(shù)學(xué)審美升華氣質(zhì).數(shù)學(xué)語言，包括口頭常態(tài)語言和“板演”等書面語言，我們常常從課堂表現(xiàn)的合理性、機(jī)智性及數(shù)學(xué)的嚴(yán)密邏輯性幾個(gè)方面來評價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言的表達(dá)水平.

最后，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程需要達(dá)成下列五個(gè)層面的目標(biāo).

第一，知識層面.學(xué)生對相應(yīng)內(nèi)容的基本知識點(diǎn)及常見的題型和應(yīng)對策略都有比較系統(tǒng)的認(rèn)識，能將知識橫向、縱向相結(jié)合，把零碎散亂的知識串起來，將它們綜合化、系統(tǒng)化，要達(dá)到全面掌握基礎(chǔ)知識、基礎(chǔ)方法，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，形成知識體系.

第二，能力層面.數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵所在.在復(fù)習(xí)教學(xué)中要強(qiáng)化三個(gè)層次的思想方法，一是數(shù)學(xué)思想方法，如整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等；二是基本的數(shù)學(xué)方法，如配方法、換元法、比較法等；三是科學(xué)思維方法與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯方法.啟發(fā)學(xué)生從思想方法的高度去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，研究數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)變學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的觀念，提升審美能力，培養(yǎng)學(xué)生具有數(shù)學(xué)意識，熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)質(zhì)疑、探究、解決實(shí)際問題的能力.

第三，方法層面.指導(dǎo)與促進(jìn)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)積累、培養(yǎng)數(shù)感，提升思維品質(zhì)，養(yǎng)成自學(xué)數(shù)學(xué)、自我歸納的習(xí)慣，為終生發(fā)展打好基礎(chǔ).養(yǎng)成獨(dú)立思考、質(zhì)疑探究的習(xí)慣，增強(qiáng)思維的嚴(yán)密性、深刻性和批判性.樂于交流和思想碰撞，在互相切磋中，加深領(lǐng)悟，共同提高.

第四，情感價(jià)值層面.通過數(shù)學(xué)探究活動，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升理性思維的能力，培養(yǎng)良好的團(tuán)隊(duì)合作意識，樹立積極向上的人生觀；通過數(shù)學(xué)史及數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，增強(qiáng)民族使命感和社會責(zé)任感.

第五，創(chuàng)新層面.引導(dǎo)學(xué)生注意觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象，培養(yǎng)探究意識和發(fā)現(xiàn)問題的敏感性；指導(dǎo)學(xué)生關(guān)注題型結(jié)構(gòu)，學(xué)會尋找原型，對于新出現(xiàn)的問題能用新的角度、新的思維恰當(dāng)?shù)財(cái)?shù)學(xué)化地解決；學(xué)習(xí)多角度多層次地看待數(shù)學(xué)，獲得新的體驗(yàn)和發(fā)現(xiàn).

當(dāng)我們穿越了一段又一段的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，解決了一個(gè)又一個(gè)問題，積累了豐富的知識、情感和品味后，我們的生命必然越來越豐厚，思想越來越飽滿，眼睛越來越清澈，這就是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)帶給我們的成長.讓我們追求有靈魂的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：以靈魂搖動靈魂，喚醒智慧，烘焙情懷.讓教師自己和學(xué)生都成為一個(gè)走著的、追求著的和希望著的人.Z