小議引導(dǎo)導(dǎo)數(shù)教學(xué)中的條件轉(zhuǎn)換

☉江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué) 陳玲鈺

小議引導(dǎo)導(dǎo)數(shù)教學(xué)中的條件轉(zhuǎn)換

☉江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué) 陳玲鈺

眾所周知，導(dǎo)數(shù)是一種用來研究函數(shù)單調(diào)性和最值的工具，有了導(dǎo)數(shù)這樣的工具，給我們研究更為復(fù)雜的函數(shù)帶來了很大的方便.對(duì)于剛剛接觸導(dǎo)數(shù)的學(xué)生而言，其在認(rèn)知改變上有著極為嚴(yán)重的困擾，主要原因是：第一，對(duì)于導(dǎo)數(shù)概念還不完全理解，導(dǎo)數(shù)概念相比其他概念而言，形式化程度還是較高的；第二，用導(dǎo)數(shù)解決問題，主要依賴導(dǎo)數(shù)的工具性作用，在諸多考題對(duì)于導(dǎo)數(shù)的考查，更多的是體現(xiàn)在其后續(xù)如何轉(zhuǎn)化導(dǎo)數(shù)題中的條件，這一點(diǎn)對(duì)于初學(xué)者往往更難掌握，本文舉例說明.

一、基本工具性作用的轉(zhuǎn)化

導(dǎo)數(shù)最基本的工具性作用是用來研究函數(shù)單調(diào)性.從直觀圖形中，我們可以看出，函數(shù)在單調(diào)遞增過程中每一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)均為正值，在單調(diào)遞減的過程中每一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)均為負(fù)值.利用導(dǎo)數(shù)這一極為方便的單調(diào)性判別方式，對(duì)于更為復(fù)雜的函數(shù)我們不再需要研究其圖像來分析單調(diào)性，只需要通過一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性的研究即可達(dá)到目的.

例1 已知函數(shù)f（x）=plnx+（p-1）x2+1，當(dāng)p＞0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

注意：利用導(dǎo)數(shù)工具對(duì)于單調(diào)性的判別，學(xué)生往往已經(jīng)將這樣的條件轉(zhuǎn)換變成一種下意識(shí)的處理，筆者認(rèn)為在處理過程中求出導(dǎo)函數(shù)并非是重點(diǎn)和難點(diǎn)，難點(diǎn)在于后續(xù)如何對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行介入討論（現(xiàn)階段而言，一般導(dǎo)函數(shù)模型圍繞二次函數(shù)為主），這種二次函數(shù)的討論模型主要圍繞張口、對(duì)稱軸、判別式，與二次函數(shù)經(jīng)典討論區(qū)別不大.

二、模式識(shí)別條件的轉(zhuǎn)化

在很多場(chǎng)合，對(duì)于“模式識(shí)別”這一詞語(yǔ)褒貶不一.有些專家對(duì)其嗤之以鼻，認(rèn)為模式識(shí)別是在教學(xué)生套用題型，是一種“教死書”、“死教書”的體現(xiàn)，認(rèn)為這種方式教導(dǎo)的學(xué)生沒有創(chuàng)新能力.對(duì)此過于偏激的批評(píng)模式識(shí)別，筆者持保留意見.至少?gòu)闹袑W(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理解和接受，以及中學(xué)數(shù)學(xué)無法擺脫應(yīng)試的兩個(gè)方面來看，模式識(shí)別還將長(zhǎng)期存在于當(dāng)下中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，其合理性在于：學(xué)生對(duì)知識(shí)尚處在起步認(rèn)知階段，必須通過一定的解題訓(xùn)練才能對(duì)本質(zhì)有更深的認(rèn)知，在這樣的訓(xùn)練過程中模式記憶和識(shí)別是必不可少的，因此導(dǎo)數(shù)教學(xué)中如何解決一般性的條件轉(zhuǎn)化為已有知識(shí)體系中的模式是關(guān)鍵.

解析：由已知得g（x）=ln（x+1）+3-（-2x2+4ax+3）= ln（x+1）+2x2-4ax，所 以g′（x）

設(shè)h（x）=4x2+4（1-a）x+1-4a，對(duì)稱軸為

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤0.

注意：與例1不同，本題是已知單調(diào)性求解參數(shù)，從導(dǎo)數(shù)的角度來說，單調(diào)遞增即導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于等于0恒成立，對(duì)于學(xué)生腦海中“恒成立”問題是中學(xué)數(shù)學(xué)中比較常見的模式，其條件轉(zhuǎn)換完畢即思考常用的處理方式——參變分離，這里要指出一點(diǎn)，因一般問題涉及的是非常數(shù)函數(shù)，所以導(dǎo)函數(shù)大于等于0是滿足的，切勿忘了等號(hào)的選擇.從條件轉(zhuǎn)換處理來說，涉及單調(diào)性問題的求解一般均合理地轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的恒成立，在腦海中如何處理恒成立模型便成了一種典型的模式識(shí)別，將類似的函數(shù)最值解決一系列問題.

例3 已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值.（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）求證：對(duì)于區(qū)間［-1，1］上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤4；

（3）若過點(diǎn)A（1，m）（m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析：本題是一種陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題的模式識(shí)別.第（2）小題中如何理解“對(duì)于區(qū)間［-1，1］上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤4”？這種任意性決定了研究的充要條件是函數(shù)f（x）在［-1，1］上的最大值與最小值的差小于等于4即可，這種轉(zhuǎn)換是經(jīng)過對(duì)“任意性”三個(gè)字的思考后得到的，進(jìn)而將條件轉(zhuǎn)化為閉區(qū)間上最值的處理；第（3）小題的這種條件轉(zhuǎn)換對(duì)于學(xué)生而言有些生疏，如何處理三條切線？是求出其三個(gè)斜率，還是圖中研究怎樣存在切線的位置？其實(shí)，要找到切線最合理的方式是找到三個(gè)切點(diǎn)，即為什么存在這樣的三個(gè)切點(diǎn)！因此條件的轉(zhuǎn)化是研究有且僅有三個(gè)實(shí)根即可.

解：（1）f（x）=x3-3x.

（2）即求函數(shù)f（x）在［-1，1］上的最值，略.

（3）f′（x）=3（x2-1），設(shè)切點(diǎn)M（x0，y0），則M的縱坐標(biāo)

因?yàn)檫^點(diǎn)A（1，m）可作曲線的三條切線，所以關(guān)于x0的方程有三個(gè)實(shí)根.

設(shè)g（x0），則g′（x0）0，得x0=0或x0=1.

所以g′（x0）在（-∞，0），（1，+∞）上為增函數(shù)，在（0，1）上為減函數(shù).

所以關(guān)于x0的方程有三個(gè)實(shí)根的充要條件是得-3＜m＜-2.

注意：上述例3中的第（3）小題，筆者給學(xué)生做過測(cè)試，很多學(xué)生在如何轉(zhuǎn)化“三條切線”這一條件上沒有領(lǐng)悟到函數(shù)與方程的思想，其實(shí)這樣的問題在函數(shù)零點(diǎn)問題研究中比比皆是，很多時(shí)候解決某函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為不同函數(shù)的交點(diǎn)，不同函數(shù)交點(diǎn)可轉(zhuǎn)換為某一函數(shù)零點(diǎn)，在有了導(dǎo)數(shù)的背景之后，這種轉(zhuǎn)化的思想還需在教學(xué)中由教師不斷的滲透和加強(qiáng).

從上述案例來看，導(dǎo)數(shù)教學(xué)本身難度并不大，其較難在于如何將問題順利地轉(zhuǎn)化為上一階段函數(shù)中的基本問題，在函數(shù)問題解決中常用的知識(shí)尋找合理的轉(zhuǎn)化途徑，找到問題解決的優(yōu)化方式.這種條件轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗(yàn)需要在解題中不斷積累，也需要教師加以關(guān)注和總結(jié).

1.柴賢亭.數(shù)學(xué)教學(xué)中的導(dǎo)數(shù)問題設(shè)計(jì)［J］.教學(xué)與管理，2012（10）.

2.鮑建生，等.導(dǎo)數(shù)變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2013（1）.

3.吳志雄.培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的策略與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2010（5）.