關(guān)注概念的生成生長讓概念教學(xué)更自然
——以“平面向量的坐標表示”概念教學(xué)為例

☉浙江省桐鄉(xiāng)第一中學(xué) 倪樹平

關(guān)注概念的生成生長讓概念教學(xué)更自然
——以“平面向量的坐標表示”概念教學(xué)為例

☉浙江省桐鄉(xiāng)第一中學(xué) 倪樹平

一、問題提出

數(shù)學(xué)概念就是數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性及其特征在人們思想中的反映，數(shù)學(xué)概念具有高度抽象的特點，學(xué)生對概念的學(xué)習常常需要自己的觀察、感知、體驗、抽象和概括的過程.而現(xiàn)實中有的教師借口教學(xué)時間緊、任務(wù)重，在教學(xué)中常常略去概念的生成過程和生長發(fā)展過程、必要的問題探究過程，缺少概念本質(zhì)內(nèi)涵的揭示，取而代之的是搞“一個定義三項注意”的概念教學(xué)模式，從而弱化了學(xué)生對概念形成過程及其本質(zhì)的理解，影響了學(xué)生對概念的建構(gòu)，學(xué)生普遍感到概念難學(xué)、難懂，不會用.那么，如何讓學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)概念，形成自身結(jié)構(gòu)完整的概念體系呢？筆者認為，我們要做的是：關(guān)注概念的生成生長，在學(xué)生已有概念的基礎(chǔ)上讓學(xué)生親身經(jīng)歷概念的自然生成和生長發(fā)展過程，理解概念之間的必然聯(lián)系及其本質(zhì)內(nèi)涵，感悟概念的應(yīng)用價值，這樣，才能讓概念教學(xué)更自然、更貼近學(xué)生，有利于學(xué)生合理有序建構(gòu)概念，形成較為完整的概念體系，從而減少對概念理解和應(yīng)用的各種思維障礙.下面以“平面向量的坐標表示”概念教學(xué)為例談幾點教學(xué)思考，以拋磚引玉.

二、案例回放

《平面向量的坐標表示》概念教學(xué)案例

1.類比引入，生成概念

教師：我們知道，在平面直角坐標系中，每一個點都可以用一對有序?qū)崝?shù)對即它的坐標來表示，對于直角坐標平面內(nèi)的任一個向量，如何表示呢？能否也可以用坐標來表示？今天我們來研究這個問題.由平面向量基本定理可知平面內(nèi)任一向量都可以用一組基底來表示，如何選取基底會給我們研究帶來方便？

學(xué)生1：選取兩個互相垂直的單位向量作為基底比較合適.

教師：你是怎么考慮的，跟大家說說！

學(xué)生1：單位向量模是1，體現(xiàn)簡約，互相垂直又是向量位置關(guān)系中最常見的一種，這也類似于選取兩條互相垂直的坐標軸一樣，因此，選取互相垂直的單位向量作為基底會給我們研究問題帶來方便.

教師：很好！選取兩個互相垂直的單位向量作為基底與我們以前確定點的坐標時選取兩條互相垂直的坐標軸并確定坐標軸上單位長度是類似的.那么，我們按上述思路確定怎樣的一組基底比較合適呢？

學(xué)生2：分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底最好.

教師：好的！這樣基底的互相垂直與兩坐標軸互相垂直吻合了.那么對于平面內(nèi)任一向量a該如何用i，j來表示呢？

學(xué)生3：由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得a=xi+yj.

教師：不錯！這樣a是由x，y唯一確定，能否將a的表示可以再簡化一些？

學(xué)生4：我想類比點的坐標形式直接把a用（x，y）來表示最簡單了.

教師：非常好！體現(xiàn)簡約的思想！我們把有序?qū)崝?shù)對（x，y）叫做向量a的坐標，記作a=（x，y），其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，這個式子叫做向量a的坐標表示.由此，我們看到向量的坐標表示與點的坐標表示形式是一樣的.

2.體會合理性，生長概念

教師：接下來我們思考如此定義平面向量的坐標表示是否合理？你能給出i，j，0的坐標嗎？

學(xué)生5：i=（1，0），j=（0，1），0=（0，0）.

教師：我們可以看到上述三個向量的坐標與平面內(nèi)三個點的坐標成一一對應(yīng).如果把i，j，0的起點放在原點，其終點坐標與其坐標有什么關(guān)系？

學(xué)生6：其終點坐標就是向量的坐標.

教師：這是巧合嗎？我們把問題一般化來研究，在直角坐標平面中，以原點O為起點的向量的坐標與A點的坐標分別是什么？它們之間有何關(guān)系？

教師：很好！因此，在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一對有序?qū)崝?shù)對唯一表示，這樣平面向量與有序?qū)崝?shù)對即它的坐標建立起一一對應(yīng)關(guān)系，所以這樣定義平面向量的坐標與定義點的坐標是類似的，體現(xiàn)了其合理性.

3.理解本質(zhì)，建構(gòu)概念

教師：同學(xué)們?nèi)绾卫斫馄矫嫦蛄康淖鴺吮硎镜谋举|(zhì)內(nèi)涵呢？

問題1：已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），a，b的坐標所表達的本質(zhì)內(nèi)涵是什么？

學(xué)生8：a=（x1，y1）=x1i+y1j，b=（x2，y2）=x2i+y2j.

教師：不錯！“平面向量的坐標表示”的本質(zhì)就是用平面內(nèi)的一組與x軸，y軸方向相同且互相垂直的單位向量i，j作為基底來表示平面內(nèi)任一向量，只是簡化了表示形式而已.

教師點明平面向量的坐標表示的本質(zhì)內(nèi)涵，讓學(xué)生充分理解概念的本質(zhì).

教師：那么如此定義平面向量的坐標表示給向量的運算帶來哪些方便呢？

問題2：能否運用平面向量的線性運算求出a+b，ab，λa的坐標呢？

學(xué)生9：a+b=x1i+y1j+x2i+y2j=（x1+x2）i+（y1+y2）j=（x1+ x2，y1+y2），同理，a-b=（x1-x2，y1-y2），λa=（λx1，λy1）.

教師：很好！這樣，我們看到前面學(xué)過的向量加減法和數(shù)乘運算都轉(zhuǎn)化為簡單清晰的代數(shù)運算，這也體現(xiàn)了平面向量的坐標表示的合理性和優(yōu)越性，這就是平面向量的坐標運算.

問題3：如圖1，已知A（x1， y1），B（x2，y2），求的坐標.

教師：很好！由此，我們看到一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標.同學(xué)們能在圖中標出坐標為（x2-x1，y2-y）1的點P嗎？

4.解決問題，應(yīng)用概念

教師：請同學(xué)們談?wù)剢栴}的解決思路！

學(xué)生10：因為A，B，C三點共線，所以存在唯一實數(shù)λ，使得，代入計算求出m的值.教師：請同學(xué)們按該同學(xué)的思路做做看！數(shù)分鐘后讓學(xué)生10共享其解答過程.

學(xué)生10：∵A，B，C三點共線，所以存在唯一實數(shù)λ，使得，所以2i+3j-（i+j）= λ［（m+1）i+（m-2）j-（i+j）］，

教師：今天我們學(xué)習了平面向量的坐標表示和坐標運算，同學(xué)們對學(xué)生10的做法有什么反思嗎？

學(xué)生11：可以運用平面向量的坐標運算來做！建立平面直角坐標系，使i、j與x軸，y軸同向，這樣，所以（1，2）=λ（m，m-3），求出m=-3.

教師：很好！這樣做大大簡化了運算過程，體現(xiàn)了平面向量的坐標表示的優(yōu)越性，說明同學(xué)們已經(jīng)理解了平面向量的坐標表示的本質(zhì)涵義.等我們以后學(xué)習平面向量數(shù)量積時將更加突顯出其優(yōu)越性.

三、概念教學(xué)思考

1.放緩概念的引入過程，讓概念自然生成

概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式，數(shù)學(xué)概念具有高度抽象的特點.每一個數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)知識體系中都占有一定的地位，與其他概念之間存在著必然的聯(lián)系，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的獲得往往是通過自己的觀察、感知、體驗、抽象和概括等過程，將新的概念與已有的認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念建立聯(lián)系，并將新的概念建構(gòu)到自己的知識結(jié)構(gòu)中.因此，在概念教學(xué)中要放緩概念的引入過程，揭示新概念與已有概念之間的聯(lián)系，給學(xué)生以充分的時間去感知、體驗和探究概念的生成過程，同時，概念的引入過程也是讓學(xué)生自己抽象、概括新概念的過程，這樣，使學(xué)生感受到新概念的生成是一個自然流暢而又水到渠成的過程.

案例中通過類比“平面內(nèi)點的坐標表示”的方法引出“平面向量的坐標表示”，在表示平面內(nèi)點的坐標時必須先選取兩條有公共原點且互相垂直的坐標軸x軸，y軸并確定坐標軸上的單位長度，建立平面直角坐標系，再確定點的坐標，類比到表示平面向量的坐標時必須先選取一組互相垂直且與x軸，y軸方向相同的單位向量i，j作為基底，由平面向量基本定理將平面內(nèi)任一向量用i，j的唯一線性組合表示，再將表示形式簡化，這樣自然生成了平面向量的坐標表示.整個過程是學(xué)生通過類比的方

法，充分感知、探究概念的生成過程，同時，為下一步探究點的坐標與向量的坐標之間的聯(lián)系奠定了良好的認知基礎(chǔ).

2.展現(xiàn)概念的發(fā)展過程，讓概念自然生長

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》提出：“概念教學(xué)要返璞歸真，努力揭示概念的形成過程、發(fā)展過程及其本質(zhì).”每一個數(shù)學(xué)概念都有其一定的背景，概念的引入都有其合理性，因此，在概念教學(xué)過程中，要揭示概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，展現(xiàn)概念的發(fā)展過程，讓學(xué)生在已有概念的基礎(chǔ)上親身經(jīng)歷概念的生成過程和發(fā)展過程，這樣，學(xué)生對概念的生成過程和發(fā)展過程做到清晰明了，也能更好地體會概念的合理性，有利于概念在學(xué)生的頭腦中自然地生長.

案例中“平面向量的坐標表示”的概念的生成過程自然流暢，但如何讓概念自然生長，使學(xué)生更好地體會概念的合理性，教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般的研究方法去探究點的坐標與平面向量坐標之間的聯(lián)系，整個探究過程展現(xiàn)了“平面向量的坐標表示”的生長發(fā)展過程，揭示了將向量的起點放在原點時，其終點的坐標與向量的坐標之間的必然聯(lián)系.學(xué)生已經(jīng)清楚了平面內(nèi)的點與其坐標的一一對應(yīng)關(guān)系，由此得到每一個平面向量都可以用一對有序?qū)崝?shù)對即它的坐標唯一表示，即建立起平面向量與其坐標的一一對應(yīng)關(guān)系也就一自了然.

3.揭示概念的本質(zhì)內(nèi)涵，讓概念有序建構(gòu)

概念的本質(zhì)內(nèi)涵是指反映在概念中的對象的本質(zhì)屬性，學(xué)生對概念本質(zhì)內(nèi)涵的把握也是一個緩慢有序的過程.建構(gòu)概念的關(guān)鍵是在經(jīng)歷概念的生成過程和發(fā)展過程的基礎(chǔ)上理解概念的本質(zhì)內(nèi)涵，搞清楚概念之間的內(nèi)在聯(lián)系.因此，在概念教學(xué)過程中要揭示概念的本質(zhì)內(nèi)涵，讓學(xué)生清楚概念的來龍去脈，深刻理解概念的本質(zhì)涵義，促使學(xué)生將所學(xué)的概念融合到自己相應(yīng)的知識結(jié)構(gòu)中，與其他概念建立實質(zhì)性的聯(lián)系，并在概念體系中去建構(gòu)新概念，這樣，學(xué)生對概念的建構(gòu)是建立在已有概念基礎(chǔ)上的意義建構(gòu)，才是合理有序的建構(gòu)，建構(gòu)的概念在學(xué)生的頭腦中才能持久而深刻，學(xué)生才有可能運用概念提出新問題、解決新問題.

案例中“平面向量的坐標表示”的本質(zhì)就是用平面內(nèi)的一組與x軸，y軸方向相同且互相垂直的單位向量i，j作為基底來表示平面內(nèi)任一向量，再類比點的坐標表示方法將表示形式簡化.對這一本質(zhì)的揭示回歸了概念的本源，學(xué)生在已有向量加減法和數(shù)乘運算的基礎(chǔ)上導(dǎo)出了它們的坐標運算，學(xué)生驚喜地看到平面向量這一幾何概念的運算可以轉(zhuǎn)化為簡單清晰的代數(shù)運算，使學(xué)生更加清楚地認識到向量的坐標與點的坐標之間的必然聯(lián)系，也更讓學(xué)生體會到引入“平面向量的坐標表示”的合理性和必要性以及它的優(yōu)越性，至此，在學(xué)生理解概念本質(zhì)內(nèi)涵，探索解決問題的過程中合理有序建構(gòu)了新概念.

4.強化概念的具體應(yīng)用，感悟概念的應(yīng)用價值

任何一個數(shù)學(xué)概念都有其應(yīng)用價值，學(xué)生不會應(yīng)用概念解決問題，說明對概念本質(zhì)的理解還停留在一知半解，相應(yīng)概念的知識體系還不完整，因此，在概念教學(xué)過程中要讓學(xué)生感悟概念的具體應(yīng)用，深刻體會概念的應(yīng)用價值之所在，同時，概念應(yīng)用也是促進學(xué)生完整穩(wěn)固建構(gòu)概念，加深對概念本質(zhì)理解之必須.

案例中的問題4，學(xué)生10的解題思路是最為典型的代表，還是選擇直接利用平面向量的線性運算求解，運算過程相對復(fù)雜，這些學(xué)生對平面向量的坐標表示的理解還不夠深刻，通過對問題4的討論探究，學(xué)生對平面向量的坐標表示有了更深的認識，也讓學(xué)生再次真切地體會到引入平面向量的坐標表示的必要性和優(yōu)越性.在以后的學(xué)習中如學(xué)習平面向量數(shù)量積時將更加凸顯其坐標表示的應(yīng)用價值.

四、結(jié)束語

人教A版教材主編曾寄語：“數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的.如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應(yīng)用，以及它與其他概念的聯(lián)系，你就會發(fā)現(xiàn)它實際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味.”因此，概念教學(xué)應(yīng)該是自然的、水到渠成的.在概念教學(xué)中我們要放緩概念的引入過程，展現(xiàn)概念的發(fā)展過程，讓學(xué)生體會概念的自然生成生長，揭示概念的本質(zhì)內(nèi)涵，強化概念的具體應(yīng)用，讓學(xué)生有序建構(gòu)概念，感悟概念的應(yīng)用價值，這樣才能使概念教學(xué)更自然、更貼近學(xué)生，讓概念在學(xué)生的頭腦中生長生根.

1.人民教育出版社課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)必修4［M］.北京：人民教育出版社，2007.

2.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）［M］.北京：人民教育版社，2003.

3.李鋒.自然的、水到渠成的概念教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2011（6）.

4.張愛平.基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的概念教學(xué)活動的實踐與思考［J］.數(shù)學(xué)通報，2012（2）.

5.劉瓊.讓類比為概念課添彩——“直線的斜率”課堂實錄及反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（2）.Z