預(yù)設(shè)“錯誤”，成就“精彩”

☉江蘇省如東縣實驗中學(xué)　徐維東

?

預(yù)設(shè)“錯誤”，成就“精彩”

☉江蘇省如東縣實驗中學(xué)徐維東

在數(shù)學(xué)認知活動中，“錯誤”是難以回避的.因為錯誤來自于教與學(xué)的“前沿”，所以無論是學(xué)生無意生成的錯誤，還是教師有意預(yù)設(shè)的錯誤，都應(yīng)成為寶貴的教學(xué)資源.在教學(xué)過程中，我們應(yīng)充分挖掘這些“錯誤”的教學(xué)價值，為學(xué)生知識的增長、技能的形成、經(jīng)驗的積淀及“良習(xí)”的養(yǎng)成服務(wù).在近期的“因式分解”教學(xué)中，筆者就預(yù)設(shè)了一道“錯誤”的例題，讓學(xué)生展開探索，取得了較好的教學(xué)成效.現(xiàn)呈現(xiàn)這則片斷及教學(xué)的感悟，希望能給大家?guī)韱⑹?

一、“因式分解”教學(xué)片斷

教學(xué)內(nèi)容：因式分解.

教學(xué)預(yù)設(shè)：因式分解（a+b）2-12（a+b）+9.

教師板書，抄寫題目，讓學(xué)生尋找因式分解的思路，并給出分解的結(jié)果.

在教師抄題過后，立即有幾個學(xué)生在下面小聲交流.大約過了兩分鐘，有兩名學(xué)生舉手示意自己解答完畢.教師立即走到這兩名學(xué)生身邊，查閱其分解的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)兩人所得結(jié)果一致，于是選擇其中一位同學(xué)的過程進行了投影展評.

投影：原式=（a+b）（a+b-12）+9.

師：這樣分解對嗎？

生（齊）：不對！

師：這是因式分解嗎？

生（齊）：不是！

師：為什么？

生1：因式分解是把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這里給出的結(jié)果不是積的形式.

師：很好！從結(jié)果的形式看，這里是兩個整式的和的形式，不符合因式分解的定義.所以這兩位同學(xué)的因式分解都是錯的.你們還有其他結(jié)果嗎？

學(xué)生安靜下來，四下張望，期待著能有其他答案出現(xiàn).

師：怎么了！難道這個式子不能分解嗎？

生2：不能！

師：為什么？

生2：我是把（a+b）當做一個整體的.這樣一來，這個式子就可以變形為（a+b）2-2（a+b）·6+9.根據(jù)完全平方公式的形式，這里的最后一項不是6的平方，所以這道題是不可以用完全平方公式來分解的.

生3：我也有這樣的發(fā)現(xiàn).這個式子中，前面是a+b的平方，后面是3的平方，中間一項就應(yīng)該是±6（a+b），而實際上卻是-12（a+b），這顯然不符合完全平方公式的形式，所以我們是無法分解的.

師：如果給你一次修改題目的機會，怎樣修改才能使得多項式可以因式分解呢？

生3：將數(shù)字9改為36.

師：分解的結(jié)果是什么？

生3：（a+b-6）2.

師：還可以怎么改呢？

生4：將中間的系數(shù)12改為6.

師：分解的結(jié)果呢？

生4：（a+b-3）2.

生5：還可以將數(shù)字9改為20，這樣可以分解為（a+b-10）（a+b-2）.

師：很好！

生6：這么說的話，中間的數(shù)字也可以改為-10，分解的結(jié)果為（a+b-1）（a+b-9）.

……

師：剛才，老師抄題時犯下了一個“錯誤”，這個“錯誤”給你帶來了哪些收獲？

生7：我重新認識了“因式分解”，知道了因式分解的結(jié)果應(yīng)該是“積”的形式.

生8：辨析一個式子能不能用完全平方公式分解因式.

生9：做事要嚴謹，看題要認真，否則一個數(shù)字就會鑄成大錯.

生10：犯“錯”后，要及時調(diào)整改正，這樣離成功會越來越近的.

……

師：非常棒，通過一道“錯誤”的例題，我們很好地梳理了這些天獲得的因式分解的知識，對數(shù)學(xué)的嚴謹性、邏輯性有了更深的認識.

二、片斷分析

用公式進行因式分解，關(guān)鍵要將多項式按照公式的樣式進行“匹配”.以完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2為例，讓學(xué)生弄清多項式中的哪一項相當于公式中的a2，哪一項相當于公式中的2ab，哪一項相當于公式中的b2，在實現(xiàn)項與公式的“配形”成功后，才能按照公式來進行分解.案例中，教師故意設(shè)計了一道不可以分解的例題，讓學(xué)生經(jīng)歷“錯誤”探索.首先，教師對學(xué)生給出的錯解案例進行了講評，帶領(lǐng)學(xué)生回顧了因式分解的概念.接下來，通過調(diào)整數(shù)字對“錯誤”進行改正，將原本不可以分解的多項式轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢杂猛耆椒焦郊啊笆窒喑朔ā狈纸獾亩囗検?這樣的設(shè)計，由一道例題變化出多道例題.“如果給你一次修改題目的機會，怎么修改才能使得多項式可以因式分解呢”，迅速激活了學(xué)生的求異思維.在他們的積極探索下，多個可以分解的多項式即時生成，與之對應(yīng)的結(jié)果也隨之產(chǎn)生.最后，教師圍繞自己預(yù)設(shè)的這個錯誤及由此產(chǎn)生的教學(xué)過程進一步展開交流，“這個‘錯誤’給你帶來了哪些收獲”，讓例題教學(xué)的品味迅速提升，學(xué)生不僅梳理了自己在知識與技能方面的收獲，還從習(xí)慣養(yǎng)成的角度談了自己的感受.我們不難發(fā)現(xiàn)，這則案例中的“錯誤”的預(yù)設(shè)是巧妙的，教師的教學(xué)實施是到位的，教學(xué)的效果更是顯著的.

三、教學(xué)感悟

1.“錯誤”預(yù)設(shè)應(yīng)緊扣教學(xué)主線

任何一節(jié)數(shù)學(xué)課都有著既定的教學(xué)主線，在課堂教學(xué)中，所有的課前預(yù)設(shè)都應(yīng)在這根教學(xué)主線上展開.所以我們預(yù)設(shè)“錯誤”時，也應(yīng)充分關(guān)注課堂教學(xué)的主線，力求在教學(xué)主線上找到“錯誤”的最佳“附著點”，以便其在最佳教學(xué)時機上進入課堂，成為學(xué)生獲取知識、提升技能的“利器”.在本文給出的教學(xué)案例中，課堂教學(xué)的主線是因式分解，與因式分解相關(guān)的知識應(yīng)附著其上，漸次散開.教師預(yù)設(shè)的這則錯例，正是教者基于這一目標設(shè)計的.首先，例題的解題要求是“因式分解”，直指教學(xué)主線，學(xué)生在化解例題過程中，必然會回憶出因式分解的方法和技巧.然而，“錯誤”的題目學(xué)生是無法分解的，所以一旦有結(jié)果出現(xiàn)，就成為了回顧因式分解概念的絕佳時機，教師是絕對不會放過的.當然，教師預(yù)設(shè)的這個錯誤在教學(xué)中的應(yīng)用絕不止于此，接下來的糾錯和究錯自然會在因式分解這根教學(xué)主線上越走越遠.

2.核心探究落實糾錯究錯

錯例教學(xué)的資源，既有源自學(xué)生的“錯誤”，也有老師精心預(yù)設(shè)的“錯誤”.無論是哪一種資源，我們的教學(xué)處理絕不能止于“知錯就改”，我們應(yīng)立足于“知錯”，確保及時準確地糾錯，還要努力究錯，深究出現(xiàn)這些錯誤的深層次原因和這些錯誤背后更大的拓展空間，以便及時而有效地挖掘出這些錯誤的教學(xué)價值.所以教師首先應(yīng)重視錯誤的教學(xué)應(yīng)用.學(xué)生出現(xiàn)錯誤時，教師應(yīng)對錯誤的價值進行即時評估，以確定是否進行教學(xué)應(yīng)用及教學(xué)應(yīng)用的程度；教師預(yù)設(shè)錯誤時，應(yīng)提前全方位剖析設(shè)計的錯誤，確定教學(xué)應(yīng)用的程度和步驟，以求最大限度地發(fā)揮其教學(xué)價值.本文給出的是一則預(yù)設(shè)錯誤的教學(xué)片斷，從教師教學(xué)實施的過程看，他對自己所展示的錯誤的教學(xué)方向是十分清楚的.在學(xué)生探索這個“錯誤”時，可能會產(chǎn)生新的錯誤；改正這個“錯誤”的方法有很多，由此生成的結(jié)果也有很多；糾正這個錯誤，需要調(diào)用的知識不只是完全平方公式，還有閱讀材料中的“十字相乘法”（說明：教材給出的是二次項系數(shù)為1的多項式分解方法）；這個錯誤不只涉及數(shù)學(xué)“四基”，還會影響到學(xué)生的習(xí)慣養(yǎng)成……如此種種分析，讓教師對教學(xué)的內(nèi)容及教學(xué)的步驟有了深刻的認知.所以教者最終將課堂探究的核心環(huán)節(jié)定格在對錯誤的糾正與其教學(xué)價值的挖掘之上，錯誤的價值無形中被放大，與此相關(guān)的知識與技能逐步走進了學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)之中.

3.教后反思彰顯“錯誤”的價值

反思，有利于人的全面發(fā)展.在教學(xué)活動中，適時的反思不僅能提升教師教育教學(xué)的能力，還能提高學(xué)生學(xué)習(xí)與實踐的能力.所以在教學(xué)過程中，我們應(yīng)重視學(xué)生的學(xué)后反思.當探索活動結(jié)束后，我們以合適的問題引導(dǎo)學(xué)生對自己學(xué)習(xí)的結(jié)果和學(xué)習(xí)的過程進行梳理，使其在明確知曉自己所獲得的知識和形成的技能的同時，還能感知知識獲得過程中存在的探究方法、探索技巧及思維方式.很明顯，這樣的反思對學(xué)生的成長是非常有利的.在人的成長過程中，知識與技能的獲得與應(yīng)用是短暫的，它們只是學(xué)生人生成長過程中的一個個“過客”，對學(xué)生發(fā)展與影響最大的應(yīng)該是那些蘊藏在學(xué)生知識獲得與技能形成過程中的思想、方法、經(jīng)驗等.初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)，恰好處在學(xué)生成長的關(guān)鍵期，我們應(yīng)努力將這些對學(xué)生影響很大的重要因素融入學(xué)生的認知活動中，以實現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價值.嚴謹做事，知錯就改，是上面案例中“錯誤”教學(xué)給學(xué)生的啟示.在教學(xué)中，教師并沒有將這個教學(xué)點遺漏，以“這個‘錯誤’給你帶來了哪些收獲”引領(lǐng)學(xué)生從解題走向反思.學(xué)生在梳理自己知識與技能所獲的同時，還將自己由問題解決生成的感悟一并梳理出來，為后續(xù)的學(xué)習(xí)和問題解決奠基.