旋轉(zhuǎn)三棱鏡尋找色散光帶過程中出現(xiàn)的一些有趣現(xiàn)象引發(fā)的思考

石繼兵

（無錫市東湖塘中學(xué)，江蘇 無錫 214000）

利用圖1所示三棱鏡在太陽光下旋轉(zhuǎn)獲得色散光帶幾乎是每個(gè)初中物理教師經(jīng)歷過的實(shí)驗(yàn)，一般情況下教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生在教室內(nèi)的墻壁上觀察色散現(xiàn)象.大部分教師對(duì)旋轉(zhuǎn)時(shí)色散現(xiàn)象發(fā)生的變化沒有仔細(xì)觀察過，三棱鏡在哪個(gè)位置范圍內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)出現(xiàn)彩色光帶？怎樣旋轉(zhuǎn)可以使色散光帶變得更寬？色散光帶會(huì)隨著三棱鏡的旋轉(zhuǎn)一直向同一方向偏轉(zhuǎn)嗎？為什么墻壁上的色散光帶位置最低時(shí)會(huì)有一個(gè)光斑與其重合？

圖1

1 色散光帶出現(xiàn)在墻壁上的原因

圖2所示為圖1位置時(shí)三棱鏡的主截面示意圖，太陽光從AB面射入時(shí)，經(jīng)折射后從BC面射出，色散光帶相對(duì)于斜向下的入射光向底面AC偏折，所以在距離三棱鏡較遠(yuǎn)的墻壁上出現(xiàn)了一條完全展開的色散光帶.

圖2

2 色散光帶的位置會(huì)先降低后升高

當(dāng)三棱鏡從圖1所示位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，色散光帶并沒有預(yù)想的那樣從墻壁上的較高位置一直向下移動(dòng)，而是出現(xiàn)了先降低到某個(gè)位置后又升高的現(xiàn)象.這其實(shí)是由于三棱鏡的最小偏向角造成的.

所謂偏向角是指所研究的單色光在三棱鏡主截面內(nèi)折射時(shí)，出射光線和入射光線之間的夾角.圖3為單色光在三棱鏡主截面內(nèi)的折射光路圖，其中α為入射角，β為出射角，∠1為AB面的折射角，∠2為BC面的入射角，δ為偏向角.

如圖3 所 示，四 邊 形DNEB中，∠NDB＝90°，∠NEB＝90°，∠DBE＝60°，∠DNE＝360°－90°－90°－60°＝120°.在△DNE中，∠1＋∠2＝180°－120°＝60°，δ＝（α－∠1）＋（β－∠2）＝α＋β－（∠1＋∠2）.則

圖3

以上兩式中，n為三棱鏡的介質(zhì)折射率.由（1）、（2）式得

故由（1）、（3）式得

圖4

根據(jù)（3）、（4）式對(duì)于三棱鏡來說，入射角α一定時(shí)，有唯一確定的折射角β和唯一確定的偏向角δ與它對(duì)應(yīng).根據(jù)光路可逆性可知：如果單色光線以β角入射，那么折射角就一定等于α，則偏向角δ不變，也就是說：對(duì)同一個(gè)函數(shù)值δ有兩個(gè)不同的自變量數(shù)值α和β與之相對(duì)應(yīng).根據(jù)拉格朗日中值定理和進(jìn)一步推導(dǎo)，可以證明：δ存在一個(gè)最小值，當(dāng)α＝β時(shí)，偏向角δ最小.δ隨α的變化大致如圖4所示.表1是根據(jù)上面式子計(jì)算出的頂角為60°的三棱鏡，折射率n＝1.5的單色光對(duì)應(yīng)的各個(gè)角度.

由表1看出：當(dāng)α（α＞β）逐漸減小時(shí)，∠1減小，∠2增大，β增大.但是α減小的角度大于β增大的角度，所以δ減小，隨著α的數(shù)值越來越接近β，δ減小的越來越慢，當(dāng)α＝β時(shí)，δ達(dá)到最小值.此后，α減小的角度小于β增大的角度，所以δ逐漸增大，隨著α的數(shù)值越來越小，δ增大得越來越快.

表1

當(dāng)α＝β時(shí)，∠1＝∠2＝30°偏向角δ＝37.18°最小.當(dāng)三棱鏡從圖1位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，所有單色光的偏向角先變小后變大，所以色散光帶的位置先降低后升高.分析數(shù)據(jù)還可看出，α在40°～60°范圍變化時(shí)，偏向角δ變化不大.這與色散光帶在最低位置附近時(shí)，三棱鏡偏轉(zhuǎn)的角度對(duì)色散光帶的位置幾乎無影響的現(xiàn)象吻合.

圖5

3 墻壁上的色散光帶位置最低時(shí)將與底面上的反射光斑重合

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)三棱鏡使色散光帶下降到最低位置過程中，色散光帶中的每條單色光線的寬度增加，同時(shí)會(huì)看到底面AC反射的光斑與最低位置的色散光帶重合.圖5中，∠1＝ ∠2＝30°時(shí)，∠EDB＝90°－∠1＝60°.因?yàn)椤螩AB＝60°，所以DE∥AC.又因?yàn)镻O∥KD，所以∠POA＝θ1＝α－∠1.而∠QOC＝α－∠1，θ2＝β－∠2＝α－∠1，故θ2＝∠QOC，OQ∥EF.

由于紫光的出射角最大，底面AC的反射光與BC面出射的紫光最早達(dá)到平行，隨著三棱鏡的旋轉(zhuǎn)，紫光、藍(lán)光、綠光、黃光向上移動(dòng)，底面AC的反射光斑向下移動(dòng)，最后與紅光達(dá)到平行.在這個(gè)過程中，底面AC的反射光斑和BC面的出射光帶必定會(huì)有一個(gè)重合位置.

4 色散現(xiàn)象出現(xiàn)的角度范圍

三棱鏡旋轉(zhuǎn)到色散光帶與底面上的反射光斑重合后繼續(xù)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，光帶中每條單色光線的寬度將繼續(xù)增加，到達(dá)某個(gè)位置后，紫光先消失，各種單色光將依次消失，紅光最后消失，這是為什么呢？

（1）入射單色光經(jīng)三棱鏡折射后能夠從三棱鏡出射是有條件的.表2為各單色光在三棱鏡中的折射率.

表2

表3

表3中列出發(fā)生色散時(shí)紅光、紫光的最小入射角，所以能看到完整色散光帶的入射角α的范圍是30.34°＜α＜90°.從表中看出，紫光第1個(gè)達(dá)到全反射的臨界角，先消失；紅光最后達(dá)到臨界角，最后消失.

（2）全反射后從第3個(gè)面折射出去的是光斑，而不是色散光帶.

從BC面全反射的各種單色光將從AC面射出（圖6），雖然各種色光在三棱鏡中偏折角度不同，但射出三棱鏡后仍然平行.D點(diǎn)附近位置射入的各條光線在AC面射出的光帶將彼此交叉重疊，并以同樣的角度射出，所以不產(chǎn)生色散現(xiàn)象.具體證明過程如下.

圖6

因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠DBE＝∠FCE.根據(jù)光的反射定律，有∠DEB＝∠FEC.則△BDE∽△CFE.得∠BDE＝∠CFE，∠1＝∠2.

根據(jù)光路可逆性原理∠1對(duì)應(yīng)的入射角α與∠2對(duì)應(yīng)的折射角β相等，即β＝α.

同理可證γ＝α，則γ＝β.所以FG∥HM.

通過上面的分析，總結(jié)出在墻壁上能觀察到最佳色散光帶的調(diào)節(jié)步驟：① 先將三棱鏡的一個(gè)面調(diào)節(jié)到水平位置（此時(shí)這個(gè)面對(duì)應(yīng)的頂角朝下），這時(shí)就會(huì)在墻壁上看到一條色散光帶，微調(diào)三棱鏡，調(diào)節(jié)到色散光帶與一個(gè)光斑重合.② 三棱鏡繼續(xù)旋轉(zhuǎn)一定角度使白色光斑向下移動(dòng)一段距離，觀察到色散光帶向上移動(dòng)，這個(gè)過程每條色散光的寬度較大，光帶位置較高，坐在座位上的學(xué)生觀察效果較好.

1 羅樂，何于江，吳本科.三棱鏡最小偏向角的推導(dǎo)［J］.工科物理，1997（4）.

2 王紹符.瀏覽三棱鏡光的色散復(fù)合實(shí)驗(yàn)［J］.物理通報(bào)，2005（10）.