點擊幾何光學(xué)難題的求解策略

楊麗芬 孫國標(biāo)

（1.紹興市魯迅中學(xué)，浙江 紹興 312030；2.紹興市柯橋中學(xué)，浙江 紹興 312030）

幾何光學(xué)試題通常以折射率為核心，考查光的反射、折射、全反射、色散等知識.在高三復(fù)習(xí)中，筆者發(fā)現(xiàn)有些光學(xué)試題綜合度大，數(shù)學(xué)要求高、靈活性強(qiáng)，學(xué)生求解較為困難.下面筆者歸納了求解幾何光學(xué)難題的4種策略，但求予讀者以點滴啟發(fā).

圖1

1 勤作光路，尋求角度關(guān)系

例1.如圖1所示，兩塊相同的玻璃等腰三棱鏡ABC置于空氣中，兩者的AC面相互平行放置，由紅光和藍(lán)光組成的細(xì)光束平行于BC面從P點射入，通過兩棱鏡后，變?yōu)閺腶、b兩點射出的單色光，對于這兩束單色光

（A）紅光在玻璃中傳播速度比藍(lán)光大.

（B）從a點射出的為紅光，從b點射出的為藍(lán)光.

（C）從a、b兩點射出的單色光不平行.

（D）從a、b兩點射出的單色光仍平行，且平行于BC.

圖2

解析：由于紅光在玻璃中的折射率小于藍(lán)光的折射率，在玻璃中傳播速度為v＝，因此（A）選項不難判斷是正確的.本題的難點在于：紅光與藍(lán)光出射時是否平行？直接觀察不易得到結(jié)果，但若能作出光路圖，找到角度關(guān)系，問題便迎刃而解.

作出某一顏色光的光路如圖2所示，由幾何關(guān)系得，θ2＋θ3＝∠A，θ6＋θ7＝∠A，又因為sinθ1＝nsinθ2，nsinθ3＝sinθ4，θ4＝θ5，sinθ5＝nsinθ6，nsinθ7＝sinθ8，從而得到θ3＝θ6，θ2＝θ7，θ1＝θ8，即出射光與入射光平行.又因為藍(lán)光折射率大，因此出射時紅光應(yīng)在藍(lán)光的右側(cè)且平行射出，故正確選項為（A）、（B）、（D）.

思路點撥：畫光路圖是求解幾何光學(xué)的問題的基本策略，而且應(yīng)“邊作圖邊找?guī)缀侮P(guān)系”.

2 巧用對稱，轉(zhuǎn)換光路

例2.截面為等腰直角三角形的棱鏡稱為全反射棱鏡，如圖3所示，由a、b兩束單色光組成的復(fù)色 光沿PO方向斜射向一全反射棱鏡ABC的BC面，經(jīng)AB、AC面反射后從BC面射出.已知a光的頻率小于b光的頻率，棱鏡對a、b單色光的折射率均大于.則下列說法正確的是

（A）經(jīng)BC面射出的a、b光一定都與OP方向平行.

（B）經(jīng)BC面射出的a光位置比b光更靠近O點.

（C）a、b光在AB、AC面上一定都會發(fā)生全反射.

（D）a、b兩束光從BC射入到BC射出的路程相同.

圖3

圖4

解析：與上例的方法相同，根據(jù)幾何關(guān)系，作光路如圖4所示，第1次折射的折射光線應(yīng)與第2次折射的入射光線平行，則得到出射光線應(yīng)與入射光線平行，且a光的折射率小于b光的折射率，因此a光第一次折射的折射角應(yīng)大于b光，作出光路如圖4中虛線所示，故a更靠近O點，故（A）（B）正確.而各色光在全反射棱鏡的的臨界角均小于45°，故AB面反射時的入射角為45°＋θ2，可以發(fā)生全反射，而AC面反射時的入射角為45°-θ2，不一定可以發(fā)生全反射，故（C）選項錯誤.

但本題的難點在于（D）選項，a、b兩束光從BC射入到BC射出的路程是否相同？有學(xué)生從光路圖中粗略地可以看出兩路程不相同，但沒有根據(jù).其實，如果我們利用對稱性，轉(zhuǎn)換光路，問題便迎刃而解.

如圖5所示，作△AB′C，使其與△ABC關(guān)于AC 對稱，作△BB′C′，使其與△BB′C 關(guān)于BB′對稱.對b光而言，將DE光線延長交B′C于G，由幾何關(guān)系不難證明EF和EG關(guān)于AC對稱，因此可以將光線DEF等效為DEG，同理將OD延長，交B′C′于H點，由幾何關(guān)系得DH與DG關(guān)于BB′對稱，因此可以將光線ODEG等效為ODH，同理a光走過的路程可以等效為OH′，所以a光走過的路程長，（D）選項錯誤.

圖5

思路點撥：在研究光的反射時，利用對稱性，將反射光線作鏡面對稱，可以將光線等效成直線傳播，在研究鏡面間多次反射問題時極為方便.

3 分析特殊光線，明確光路走向

例3.如圖6所示，半徑為R的1／4透明圓柱體固定于地面上，透明體對紅光的折射率為n.今讓一束平行于地面的紅光射向圓柱體的左側(cè)，經(jīng)折射后紅光照射到圓柱體右側(cè)的地面上.下列說法中正確的是

（A）紅光能從圓柱體的右側(cè)的圓弧面上的任一點射出，因為折射，出射后的光線不是平行光.

（B）從圓柱體的圓弧面上射出的光線能將圓柱體右側(cè)的地面照亮，且照亮的區(qū)域比陰影長度長.

（C）折射率n越小，圓柱體右側(cè)地面上的陰影長度越長.

（D）折射率n越大，圓柱體右側(cè)地面上的陰影長度越長.

圖6

解析：作光路如圖7所示，但解本題的困惑在于：入射角小于臨界角C的入射光，折射角應(yīng)小于90°，那折射光與地面的交點應(yīng)在A點的右側(cè)還是左側(cè)？從圖7分析似乎都是可以的，那（B）、（C）、（D）3選項便無法確定.其實，我們可以分析一些特殊光線，便可明確光路走向.我們來分析入射角趨向于0°的光線，其折射角也應(yīng)趨向于0°，即光射向無窮遠(yuǎn)，因此說明入射角越小，射到地面上越遠(yuǎn)，因此照亮地面的區(qū)域應(yīng)在A的右側(cè)，陰影區(qū)域應(yīng)A的左側(cè)，正確光路為圖7（a）所示.故（B）選項錯誤；而且n越小，臨界角越大，陰影長度越長.故正確選項為（C）.

圖7

思路點撥：一束光在傳播時，其邊界光線因處于特殊位置而成為我們關(guān)注的點.當(dāng)涉及求光照范圍或?qū)挾鹊葐栴}時，瞄準(zhǔn)邊界光線常常為我們快速解題打開方便之門.

4 定量分析，顯現(xiàn)漸變過程

例4.一束由紅、藍(lán)兩單色光組成的光線從一平板玻璃磚的上表面以入射角θ射入，穿過玻璃磚自下表面射出.已知該玻璃對紅光的折射率為1.5.設(shè)紅光與藍(lán)光穿過玻璃磚所用的時間分別為t1和t2，則在θ從0°逐漸增大至90°的過程中

（A）t1始終大于t2.

（B）t1始終小于t2.

（C）t1先大于后小于t2.

（D）t1先小于后大于t2.

解析：作出光路圖如圖8所示，出射光線與入射光線平行，而且紅光在玻璃中走過的路程長，但紅光在玻璃中的傳播速度也比藍(lán)光大，因此在玻璃中的傳播時間沒法比較.當(dāng)然，我們可以采用上例的方法，考慮特殊光線，當(dāng)入射角為0°時，折射角也為0°，因此光走過的路程相同，則紅光在玻璃中的傳播時間小于藍(lán)光的傳播時間，但是否當(dāng)入射角增大的過程中一直如此呢？僅對特殊光線的分析不能得到清晰的答案，因此我們必須定量分析，給出傳播時間t關(guān)于入射角的函數(shù)表達(dá)式，然后進(jìn)行比較.

圖8

設(shè)入射角為θ1，折射角為θ2，玻璃磚的厚度為d，某一色光在玻璃中的折射率為n，因此光在玻璃中傳播的時間為

因為已知該玻璃對紅光的折射率為1.5，當(dāng)然玻璃對藍(lán)光的折射率應(yīng)大于1.5.因為由折射定律得sinθ1＝nsinθ2.因為n＞，所以θ2＜45°，所以θ越大，sin2θ2越大.

對于同樣的入射角，n越大，θ越小，時間就越長，因此在θ從0°逐漸增大至90°的過程中，紅光的傳播時間始終小于藍(lán)光的傳播時間，故（B）選項正確.

思路點撥：在幾何光學(xué)中，經(jīng)常研究某些極值或者兩種色光比較等問題，我們可以寫出所求量與變量之間的函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性和極值進(jìn)行求解.