從一道高考題品味電流有效值與平均值

張慧敏

（秦皇島市第一中學，河北 秦皇島 066000）

2008年全國高考Ⅱ卷理綜試卷的第24題，綜合性地考查了電磁感應、安培力、電流熱效應等相關知識，尤其是對電流的有效值與平均值的考查，真是讓人有“耳目一新”之感，非常值得回味.現(xiàn)將本人對此題的一點粗淺認識，與廣大同仁探討.

圖1

原題.如圖1所示，一直導體棒質量為m、長為l、電阻為r，其兩端放在位于水平面內間距也為l的光滑平行導軌上，并與之密接；棒左側兩導軌之間連接一可控制的負載電阻（圖中未畫出）；導軌置于勻強磁場中，磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于導軌所在平面.開始時，給導體棒一個平行于導軌的初速度v0，在棒的運動速度由v0減小至v1的過程中，通過控制負載電阻的阻值使棒中的電流強度I保持恒定.導體棒一直在磁場中運動.若不計導軌電阻，求此過程中導體棒上感應電動勢的平均值和負載電阻上消耗的平均功率.

當棒的速度為v時，感應電動勢的大小為E＝B l v．棒中的平均感應電動勢為．可得

導體棒中消耗的熱功率為P1＝I2r．負載電阻上消耗的平均功率為，可得

高考答案一公布，許多教師都對“負載電阻上消耗的平均功率”求解方法持有異議.因為大部分教學資料上都一再強調“電磁感應問題中，求電荷量用平均值，求熱用有效值”.有的教師還給出了新解.

新解：平均感應電動勢的求解同上.

設導體棒的速度從v0減小到v1所用時間為t，則由動量定理得

設負載電阻消耗的能量為

則負載電阻消耗的平均功率為

本人認為此題正是切中了教師平時教學中的弊病——只重視教授解題方法，不注重加深學生對基本概念的理解.新解固然正確，但其應用的內容在新版教材中已屬于選修內容，教師之間探討交流尚可，平時教學中不可能將選修內容全部教授給學生.我猜想此題出題人的意圖也不是想考查動量定理，其本意應該就是想考查學生對電流平均值與有效值兩個概念的理解深度，這也是高考大綱的基本綜旨.

本人對原解的認識：首先從電路內部的能量轉化入手，用電源的總功率減去內阻消耗功率即為外電路消耗功率.許多教師所質疑的問題主要集中在能否用平均電動勢求解電功率上.眾所周之，對變化的電流或電壓，計算電功、電功率、熱量時要用有效值，而不能用平均值.計算電量時則應該用平均值.但是具體問題還要具體分析，當題設條件發(fā)生變化了，就不能再套用現(xiàn)成的一些結論了.本題即是一個很好的例子，這也充分體現(xiàn)了高考的靈活性.為了弄清這個問題，下面先簡要討論一下變化電流或電壓有效值的來源.

在高中階段，大部分求解電功的情況均是針對定值電阻，求解定值電阻消耗的電功時，如果定值電阻兩端加的是恒定電壓，則用W＝UIt或W＝I2Rt＝求解即可.而如果定值電阻兩端加的是變化電壓，則引入了有效值的概念.那么有效值是如何得出的呢？現(xiàn)舉一簡例說明.

如圖2（a）所示，一定值電阻R兩端加上電壓U，設電壓U 隨時間t的變化規(guī)律：U＝kt（k為常數(shù)），如圖2（b）所示，繪制出圖像如圖2（c）所示（圖線是一條拋物線），則圖線與t軸所夾面積表示電阻R消耗的電功W.利用數(shù)學積分可列式如下：

圖2

比較以上兩式易知，當定值電阻兩端電壓是變化電壓時，有效值和平均值肯定是不相等的.所以，當把一變化的電壓加在一定值電阻兩端時，欲求電阻上消耗的電功、電功率、電熱等問題時必須用有效值.故有效值是求解變化的電壓（或電流）加在定值電阻上產生電熱的一種等效方法.

而在2008年全國Ⅱ卷理綜試卷第24題中，通過負載電阻的電流強度I保持恒定，而負載電阻的阻值應該是均勻減小的.本人認為在這種情況下就不存在“有效值”之說了.故要想求負載電阻上消耗的電功率就要另覓它法.

圖3

方法之一就是原解給出的那樣，抓住電流I恒定及感應電動勢E隨時間t均勻變化，繪制出IE-t圖像如圖3所示.

圖中陰影部分面積即表示電源的總功，即

電源的平均功率為