混沌實(shí)驗(yàn)分層教學(xué)探究

羅湘南， 唐建鋒

(衡陽(yáng)師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，湖南 衡陽(yáng) 421002)

混沌實(shí)驗(yàn)分層教學(xué)探究

羅湘南， 唐建鋒

(衡陽(yáng)師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，湖南 衡陽(yáng) 421002)

混沌實(shí)驗(yàn)是學(xué)生了解非線性科學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容。在教學(xué)實(shí)踐中，我們分三個(gè)層次循序漸進(jìn)開展實(shí)驗(yàn)教學(xué)，即觀察生活中的混沌現(xiàn)象、觀察蔡氏電路混沌現(xiàn)象、初步探究蔡氏電路混沌現(xiàn)象產(chǎn)生的原因。實(shí)驗(yàn)教學(xué)收到了良好的效果，學(xué)生對(duì)混沌現(xiàn)象的特點(diǎn)、產(chǎn)生原因有了較深入的認(rèn)識(shí)。

混沌現(xiàn)象；蔡氏電路；混沌吸引子；非線性負(fù)阻

1 引 言

混沌是在確定的非線性動(dòng)力系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種對(duì)初值敏感的貌似無(wú)規(guī)則、類似隨機(jī)的現(xiàn)象，它是非線性動(dòng)力系統(tǒng)所特有的復(fù)雜現(xiàn)象，在自然界和社會(huì)生活中普遍存在。現(xiàn)在，“混沌”是近代理論研究熱點(diǎn)，已經(jīng)形成了一門新的科學(xué)，它涉及的領(lǐng)域包括數(shù)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)、天文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)及工程技術(shù)的眾多學(xué)科，研究成果產(chǎn)生一些實(shí)用價(jià)值，并對(duì)這些學(xué)科的發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。有預(yù)言，混沌理論將掀起繼相對(duì)論和量子力學(xué)以來(lái)基礎(chǔ)科學(xué)的第三次革命[1]。

在理工科教學(xué)中，緊跟現(xiàn)代科技前沿，適當(dāng)增加非線性內(nèi)容教學(xué)非常必要。為此，我校在近代物理實(shí)驗(yàn)中開設(shè)了《混沌實(shí)驗(yàn)》，開拓學(xué)生視野。學(xué)生長(zhǎng)期學(xué)習(xí)牛頓經(jīng)典理論，知道物體的初始狀態(tài)和受力情況就可以預(yù)測(cè)物體未來(lái)的狀態(tài)，這與混沌理論的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不確定不可預(yù)測(cè)完全沖突，為了解決這種沖突，取得好的教學(xué)效果，我們通過(guò)三個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生對(duì)混沌現(xiàn)象、成因及特點(diǎn)逐步形成深刻的印象。

2 混沌現(xiàn)象的感性認(rèn)識(shí)

事實(shí)上，混沌現(xiàn)象普遍存在我們的自然和社會(huì)生活。所以，在課堂教學(xué)前，我們先讓學(xué)生觀察生活中的混沌現(xiàn)象。例如，觀察點(diǎn)燃的香煙，一縷縷青煙離開煙頭幾乎直線往空中升起，突然卷成擾動(dòng)的一團(tuán)煙霧，上下翻滾，然后四處飄散；觀察平穩(wěn)的水流突然四處飛濺等，通過(guò)仿真試驗(yàn)教學(xué)平臺(tái)讓學(xué)生觀察三叉混沌擺的完全不同步隨機(jī)的擺動(dòng)視頻等[2]，總結(jié)所觀察的現(xiàn)象的特點(diǎn)。再讓學(xué)生閱讀有名的“蝴蝶效應(yīng)”等資料，通過(guò)這些學(xué)習(xí)，大部分同學(xué)都能發(fā)現(xiàn)這些現(xiàn)象共同點(diǎn)是突然從有序變?yōu)闊o(wú)序，認(rèn)識(shí)到牛頓力學(xué)的局限，形成混沌現(xiàn)象感性認(rèn)識(shí)，初步了解混沌的基本特點(diǎn)。

3 蔡氏電路混沌現(xiàn)象觀察

在實(shí)驗(yàn)課堂學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生觀察蔡氏電路的混沌現(xiàn)象，蔡氏電路結(jié)構(gòu)如圖1。該電路能展示混沌產(chǎn)生的過(guò)程，混沌吸引子的動(dòng)態(tài)也很明晰。有源非線性負(fù)阻元件Nr是采用兩個(gè)運(yùn)算放大器(一個(gè)雙運(yùn)放LF353)和六個(gè)配制電阻來(lái)實(shí)現(xiàn)，其電路如圖2所示，雙運(yùn)算放大器中兩個(gè)對(duì)稱放大器各自的配置電阻相差100倍，這就使得兩個(gè)放大器輸出電流的總和，在不同的工作電壓段，輸出總電流隨電壓變化關(guān)系不相同(其中一個(gè)放大器達(dá)到電流飽和，另一個(gè)尚未飽和)，因而出現(xiàn)了非線性的伏安特性[3]。實(shí)驗(yàn)中我們主要觀察信號(hào)振動(dòng)周期產(chǎn)生分岔和混沌等一系列非線性現(xiàn)象，深入了解混沌現(xiàn)象的主要特點(diǎn)與混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生途徑。

圖1 蔡氏電路

圖2 非線性負(fù)電阻的內(nèi)部結(jié)構(gòu)

3.1 混沌產(chǎn)生途徑觀察。

混沌現(xiàn)象產(chǎn)生途徑一般有倍周期分叉和陣發(fā)混沌。觀察前，按圖1和圖2接好電路，示波器選擇X -Y工作方式。調(diào)節(jié)G(R1+R2和組成，R1為粗調(diào)，R2為細(xì)調(diào))，阻值從最大逐漸減小，觀察李薩如圖的變化，如將一個(gè)環(huán)相圖周期定為一，隨著G阻值的減少，相圖變化過(guò)程為：不動(dòng)點(diǎn)→一倍周期→二倍周期→四倍周期→陣發(fā)混沌→三倍周期→單吸引子→雙吸引子→極限環(huán)→直線。相圖變化過(guò)程見圖3。在三倍周期處，仔細(xì)調(diào)節(jié)R2，原先的混沌吸引子突然出現(xiàn)了一個(gè)三周期圖像，繼續(xù)微調(diào)R2，又出現(xiàn)了混沌吸引子，這一現(xiàn)象稱為出現(xiàn)了周期性窗口。實(shí)驗(yàn)過(guò)程我們看到，電路先產(chǎn)生豐富的倍周期分岔，在三倍周期處，出現(xiàn)周期性窗口進(jìn)入混沌狀態(tài)，倍周期分岔是非線性確定性系統(tǒng)通向混沌最典型的形式。

3.2 混沌現(xiàn)象的特性觀察。

1.對(duì)初值的敏感依賴?；煦绲牡湫吞卣髦皇菍?duì)初值非常敏感。若兩次運(yùn)動(dòng)的初值有微小差別，長(zhǎng)時(shí)間后兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)出現(xiàn)較大的、無(wú)法預(yù)知的偏差。

圖3 通往混沌的相圖順序

圖4 通往混沌的時(shí)域圖順序

在上面的實(shí)驗(yàn)步驟中，當(dāng)電阻調(diào)到某些臨界狀態(tài)時(shí)，如G=1 850時(shí)，微調(diào)R2，電路系統(tǒng)可出現(xiàn)陣發(fā)混沌，也可能出現(xiàn)三倍周期，還可能是單奇異子。另外如果在電路中加入萬(wàn)用表測(cè)G兩端電壓的有效期，屏幕的相圖馬上突變，有一倍周期突變?yōu)閱挝?，或雙吸引子。這是由于萬(wàn)用表引入的電阻及電容效應(yīng)，對(duì)電路產(chǎn)生細(xì)微的擾動(dòng)，結(jié)果，因這些微小的差別造成實(shí)驗(yàn)結(jié)果的突變。

2.混沌信號(hào)的非周期性與分形。實(shí)驗(yàn)時(shí)，仔細(xì)觀察圖3的單吸引子、雙吸引子，只見環(huán)狀曲線在兩個(gè)向外渦旋的吸引子之間似乎按照某種規(guī)律不斷地填充與跳躍，可是在有限的空間里，跳動(dòng)的曲線卻不重復(fù)，也不會(huì)在吸引點(diǎn)附近交叉，總看不到曲線跳動(dòng)填充運(yùn)動(dòng)的停止，一圈一圈填充的曲線形狀很相似，相似的曲線填充運(yùn)動(dòng)永無(wú)休止，體現(xiàn)了混沌運(yùn)動(dòng)的非周期性以及分形特點(diǎn)。從填充運(yùn)動(dòng)的方向看，一切位于吸引子之外的曲線填充運(yùn)動(dòng)都在向吸引子靠攏，因而，曲線不停填充的空間不向外擴(kuò)張，填充區(qū)域整體不變，呈現(xiàn)穩(wěn)定的狀態(tài)，而一切到達(dá)吸引子內(nèi)部的曲線填充運(yùn)動(dòng)都相互排斥，不停地跳動(dòng)，處于不穩(wěn)定狀態(tài)。吸引子這種非周期性與分形結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了混沌不是絕對(duì)無(wú)序，而是呈現(xiàn)非周期有序性。

3.混沌信號(hào)具有內(nèi)在的類噪聲性。將示波器置于時(shí)域模式，重復(fù)上述步驟，各周期的CH1和CH2的時(shí)域信號(hào)如圖4的9個(gè)分圖所示。實(shí)驗(yàn)時(shí)，仔細(xì)觀察比較，一倍周期信號(hào)的基本波形形狀與周期加倍之后乃至混沌信號(hào)的基本波形形狀相同，周期加倍主要引起波形包絡(luò)線的變化，引起這些包絡(luò)線變化的正是類似噪聲的無(wú)規(guī)則振蕩，但它不同于真正的噪聲，仔細(xì)觀察時(shí)域信號(hào)圖，我們發(fā)現(xiàn)信號(hào)從點(diǎn)平衡態(tài)演變混沌信號(hào)的過(guò)程中，混沌信號(hào)中的這些類噪聲的頻率對(duì)平衡態(tài)信號(hào)頻率還是有一定繼承性。因而混沌中的這種類似噪聲的信號(hào)不是真正的噪聲，而是一種有內(nèi)在規(guī)律的隨機(jī)信號(hào)。

4 蔡氏電路混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生原因

通過(guò)對(duì)蔡氏電路混沌現(xiàn)象的觀察，學(xué)生對(duì)混沌的特性有了清晰地認(rèn)識(shí)，但對(duì)所觀察到的混沌現(xiàn)象演變?cè)?，非線性動(dòng)力系統(tǒng)的作用機(jī)制，沒(méi)有實(shí)踐體驗(yàn)。在蔡氏電路中唯一非線性元件為負(fù)阻，為了弄清非線性負(fù)阻對(duì)蔡氏電路產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的作用，我們先測(cè)量負(fù)阻的伏安特性，再同步觀察蔡氏電路信號(hào)不同相圖下負(fù)阻的伏安特性，來(lái)探究混沌現(xiàn)象演變與非線性動(dòng)力的關(guān)系。

測(cè)量伏安特性曲線的電路如圖5[4]所示:把非線性負(fù)阻Nr與一個(gè)1千歐姆定值電阻R串聯(lián)后用信號(hào)發(fā)生器輸出的正弦波作電源驅(qū)動(dòng)，用數(shù)字示波器觀察定值電阻R兩端的電壓和Nr兩端電壓構(gòu)成的李薩如圖形，即可得到Nr的I-U特性。我們?cè)?00 Hz頻率的正弦波信號(hào)掃描下，得到的I-U特性曲線如圖6所示，以后頻率增加至2 700 Hz時(shí)(發(fā)生混沌時(shí)的主頻率附近)，I-U特性曲線形狀不變。然后按圖7所示用示波器觀察C1與C2處信號(hào)構(gòu)成的相圖，用交流數(shù)字電壓表和電流表觀察非線性負(fù)阻的電壓和電流。調(diào)節(jié)G逐漸減少，觀察到的各種混沌現(xiàn)象與非線性負(fù)阻的電壓與電流情況見表1。

圖5 測(cè)Nr伏安特性電路

圖6 Nr伏安特性曲線

圖7 相同與Nr的U-I觀察電路

相圖Nr的電壓與電流的變化范圍在圖6伏安特性的位置不動(dòng)點(diǎn)(-11.98V,5.2mA)到(-7.64V,3.63mA)之間。每個(gè)G,對(duì)應(yīng)一組穩(wěn)定的(V,mA)大約位于BC段上面部分一倍周期(-7.72V,3.73mA)到(-6.65V,3.27mA)之間。每個(gè)G,對(duì)應(yīng)一組穩(wěn)定的(V,mA)大約位于BC段中間部分二倍周期(-6.618V,3.27mA)到(-6.59V,3.26mA)之間。每個(gè)G,對(duì)應(yīng)一組穩(wěn)定的(V,mA)大約位于BC段中間部分四倍周期(-6.45V,3.20mA)到(-6.34V,3.17mA)之間。每個(gè)G,對(duì)應(yīng)一組穩(wěn)定的(V,mA),相圖能處于四倍周期,G的變化范圍很窄。大約位于BC段下面部分,陣發(fā)混沌(-6.37V,3.18mA)到(-6.17V,3.09mA)之間。每個(gè)G,對(duì)應(yīng)一組穩(wěn)定的(V,mA)。相圖能處陣發(fā)混沌態(tài)時(shí),G的變化范圍很窄。大約位于BC段接近O點(diǎn)處小部分

續(xù)表

相圖Nr的電壓與電流的變化范圍在圖6伏安特性的位置單吸引子(-6V,2.99mA)到(-1.64V,-0.23mA)之間。G不變,電表的數(shù)值變動(dòng),不穩(wěn)定。大約位于BCOD段雙吸引子(-6V,3.22mA)到(5.8V,-2.5mA)之間,G不變,電表的數(shù)值快速變動(dòng),不穩(wěn)定。大約位于BCODE段

實(shí)驗(yàn)中，沒(méi)有觀察三倍周期相圖。數(shù)據(jù)表明四倍周期和陣發(fā)混沌的伏安區(qū)有重疊，此處在前期試驗(yàn)中觀察到周期窗口，說(shuō)明此處進(jìn)入產(chǎn)生混沌的臨界狀態(tài)。由上表的數(shù)據(jù)可知: 非線性負(fù)阻的I-U工作在不同的區(qū)段，電路的相圖呈現(xiàn)不同的狀態(tài)，當(dāng)蔡氏電路出現(xiàn)單吸引子混沌現(xiàn)象時(shí)，Nr的伏安曲線處于圖6中B、C、O、D段或處于C、O、D、E段，當(dāng)蔡氏電路出現(xiàn)雙吸引子混沌現(xiàn)象時(shí)，Nr的伏安曲線處于圖6中B、C、O、D、E段。實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)Nr工作在整個(gè)伏安區(qū)即呈現(xiàn)非線性特性時(shí)，電路信號(hào)進(jìn)入混沌狀態(tài)。因而非線性負(fù)阻在蔡氏電路產(chǎn)生混沌過(guò)程中起的決定性作用，非線性動(dòng)力是混沌現(xiàn)象產(chǎn)生的根本原因。

5 總 結(jié)

通過(guò)分層教學(xué)法學(xué)習(xí)混沌實(shí)驗(yàn)，學(xué)生突破了以前學(xué)習(xí)經(jīng)典理論時(shí)所形成的傳統(tǒng)認(rèn)知，對(duì)無(wú)序混亂不確定混沌現(xiàn)象及產(chǎn)生的機(jī)制——非線性動(dòng)力，有了較深入的認(rèn)識(shí),整個(gè)實(shí)驗(yàn)教學(xué)效果良好。

[1] 蔣達(dá)婭,肖井華,朱洪波,等.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教程[ M].2版.北京:北京郵電大學(xué)出版社,2007.

[2] 張連芳,傅敏學(xué),劉瀅瀅，等. 混沌實(shí)驗(yàn)教學(xué)之路[J]. 物理與工程，2013，23(1)：21-24.

[3] 王殿學(xué).蔡氏電路中混沌現(xiàn)象與非線性電阻伏安曲線關(guān)系的研究[J]. 遼東學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,17(4)：318-320.

[4] 羅頁(yè),樂(lè)永康.蔡氏非線性電路的深入研究——參數(shù)測(cè)量和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象觀察的新方法[J]. 大學(xué)物理, 2010,29(6)：53-57.

(編校 高 峰 實(shí)習(xí)生 郭齊旗)

Research the Way of Layered Education for Chaos Experiments

LUOXiang-nan,TANGJian-feng

(College of Physics and Electronic Engineering,Hengyang Normal University,Hengyang Hunan 421002,China)

Chaos experiment is an important teaching content for students to understand the Nonlinear science.In teaching practice,we have teached student three levls step by step.they are Observeing Chaos in life,Observeing Chaotic phenomena of Chua's circuit and Researching the root cause of Chaotic phenomena.Experimental teaching has received good effect,student can have a deep understanding of characteristics of phenomena and the nonlinear driving force of Chaotic phenomena in the Chua's circuit.

Chaotic phenomena; Chua's circuit; chaos attractor; nonlinear resistance

2016-10-08

衡陽(yáng)師范學(xué)院教學(xué)改革研究項(xiàng)目(JYKT201431)；光電信息省級(jí)平臺(tái)開放項(xiàng)目(GD14K11)；光學(xué)—湖南省重點(diǎn)建設(shè)學(xué)科，電子信息類專業(yè)校企合作創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育基地

羅湘南(1970-)，女，湖南衡陽(yáng)，高級(jí)實(shí)驗(yàn)師，碩士，從事大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)與研究。

O0413.1

A

1673-0313(2016)06-0080-04