朱載堉的生平及其數(shù)學(xué)成就
——紀(jì)念朱載堉誕生480周年

戴念祖

(中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所,北京 100190)

朱載堉的生平及其數(shù)學(xué)成就
——紀(jì)念朱載堉誕生480周年

戴念祖

(中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所,北京 100190)

王子朱載堉是明代數(shù)學(xué)家、音樂(lè)家。他的一生跌宕起伏：18年受難,14年著書(shū)立說(shuō),11年雕版印書(shū),15年讓爵。他的數(shù)學(xué)成就有：求解幾何數(shù)列,不同進(jìn)位的數(shù)字換算,珠算開(kāi)方等。這些數(shù)學(xué)工作是他創(chuàng)建等程律的基礎(chǔ)。長(zhǎng)期以來(lái),某些西方音樂(lè)史家懷疑朱載堉的數(shù)學(xué)能力。文章重新評(píng)說(shuō)朱載堉的數(shù)學(xué)成就及其與樂(lè)律的關(guān)系,以此紀(jì)念朱載堉誕生480周年。

朱載堉 幾何數(shù)列 珠算開(kāi)方 等程律

隨著西方17、18世紀(jì)科學(xué)革命和工業(yè)革命的偉大成功,中國(guó)古代科學(xué)家及其科學(xué)成就鮮有能在這兩大革命之后而獨(dú)占鰲頭者。唯有明代王子朱載堉(1536～1611)所創(chuàng)建的十二等程律,迄今仍在音樂(lè)舞臺(tái)上熠熠生輝。正如文學(xué)家、語(yǔ)音學(xué)家劉半農(nóng)(1891～1934)所言,朱載堉的等程律“直到現(xiàn)在誰(shuí)也不能推翻它、搖動(dòng)它；他所用的算法,直到現(xiàn)在還是照樣去做；他算出來(lái)的數(shù)字,直到現(xiàn)在還是直抄了用”[1]。然而,近幾十年來(lái),一些西方學(xué)者懷疑朱載堉的數(shù)學(xué)能力[2],中國(guó)數(shù)學(xué)史著作對(duì)其解幾何數(shù)列的數(shù)學(xué)成就似乎迄今未有稱(chēng)贊者。本文就此作一通俗解說(shuō),明其道理,識(shí)其金玉,并以此紀(jì)念朱載堉誕生480周年。

1 朱載堉的生平

朱載堉是明朝開(kāi)國(guó)皇帝朱元璋的九世孫。更直接一點(diǎn),是明仁宗朱高熾的七世孫。仁宗長(zhǎng)子朱瞻基襲帝位,是為宣宗；仁宗次子朱瞻峻賜“鄭王”。“王”是爵位,“鄭”是封地、又稱(chēng)“藩國(guó)”。鄭王藩國(guó)在懷慶府(今河南沁陽(yáng))?！班嵧酢眰髦寥首诹缹O朱厚烷(1518～1591),即朱載堉之父。朱載堉10歲(1545)冊(cè)封“世子”爵,人稱(chēng)“王子”。論輩份,明神宗朱翊鈞(即萬(wàn)歷帝,1573～1620年在位)稱(chēng)朱載堉為“宗伯”。[3]

嘉靖帝醉迷道教,大興土木建齋醮,以致不理朝政。嘉靖二十七年(1548),朱厚烷上疏,勸帝修德講學(xué),“以神仙土木為規(guī)諫,語(yǔ)切直”[4]。也有文獻(xiàn)說(shuō),朱厚烷在《上進(jìn)表》中自稱(chēng)“弟,不稱(chēng)臣”[5]。嘉靖帝覽奏大怒。又厚烷之族叔伯間爭(zhēng)嫡奪爵而誣告厚烷有叛逆罪。因之,朱厚烷被革除國(guó)爵,并被囚禁于老家安徽鳳陽(yáng)。朱載堉受此牽連,被革除世子爵。他“痛父非罪見(jiàn)系,筑土室宮門(mén)外,席藁獨(dú)處”([4],3628頁(yè))。后又曾上少林寺,拜僧人松谷為師。直到嘉靖帝薨,穆宗繼位,厚烷父子才得以平反,復(fù)國(guó)爵。這次苦難經(jīng)歷18個(gè)年頭。*史書(shū)[4]載19年,不確。

復(fù)爵返國(guó)后厚烷指導(dǎo)載堉習(xí)樂(lè)律,并令其研究返宮問(wèn)題。他說(shuō)：

仲呂順生黃鐘,返本還元；黃鐘逆生仲呂,循環(huán)無(wú)端。實(shí)無(wú)往而不返之理,笙琴互證,則知三分損益之法非精義也。[7]

眾所周知,若以三分損益算律,雖仲呂順生黃鐘,但不能返元,尚有一音差；而黃鐘也不能逆生仲呂,只能逆生林鐘。要解決厚烷提出的這個(gè)問(wèn)題,只有創(chuàng)立新的律制。這就讓朱載堉整整忙活了14年,即從隆慶元年(1567)到萬(wàn)歷九年(1581)創(chuàng)建“新法密率”為止。朱載堉稱(chēng)謂的“新法密率”即今天大家熟知的十二等程律。萬(wàn)歷九年,朱載堉為其著《律歷融通》作序,該書(shū)附錄《音義》篇中道出了“新法密率”的五度相生和四度相生的數(shù)學(xué)方法。這就是其父令其完成的返宮的數(shù)學(xué)和音樂(lè)學(xué)難題。值得注意的是,在這14年間,朱載堉完成了《樂(lè)律全書(shū)》中樂(lè)、舞、算方面的大部分著作。

從萬(wàn)歷二十三年(1595)始,朱載堉在王府內(nèi)雕刻《樂(lè)律全書(shū)》。到萬(wàn)歷三十四年(1606),《樂(lè)律全書(shū)》雕版、印刷、裝幀完畢。前后又11年。隨即,朱載堉上進(jìn)四部《樂(lè)律全書(shū)》刻本,并得到了萬(wàn)歷帝稱(chēng)贊：“具見(jiàn)留心樂(lè)律,深可嘉尚。”[8]

萬(wàn)歷十九年(1591)正月鄭王朱厚烷薨。六月,王子載堉即“以微恙辭管府事”[9],實(shí)則為辭爵假之以病。萬(wàn)歷二十一年(1593),載堉上疏,要“讓國(guó)爵載璽”。載璽是載堉叔伯兄弟。當(dāng)年正是載璽的祖父誣告載堉的父親有叛逆罪,以致厚烷被囚禁。可見(jiàn)王子載堉的氣度非同尋常。經(jīng)過(guò)反復(fù)上疏,最終于萬(wàn)歷三十四年(1606)獲萬(wàn)歷帝準(zhǔn)允,將爵位讓于載璽。載堉因此獲萬(wàn)歷帝賜赦表彰,給祿建坊,以示優(yōu)賢之義([6],65～72頁(yè))。從萬(wàn)歷九年到三十四年的整15年7疏,載堉才將爵位讓出。其志之堅(jiān),其情之固,可贊也。清代詩(shī)人沈德符(1578～1642)稱(chēng)頌朱載堉“真天潢中異人也。”[5]

讓出國(guó)爵后,朱載堉遷居懷慶城郊,自稱(chēng)道人,超然于人世間名祿紅粉之外,過(guò)著簞食瓢飲的生活。早晚邀上三五個(gè)山野好友,“一人吹律,一人彈琴,一人擊缶而歌。余亦自歌,互相倡和,而樂(lè)在其中矣?！?[6],74頁(yè))此情此景,與今日公園一角老人吹拉彈唱度晚年相似。

萬(wàn)歷三十九年(1611)四月初七日(5月18日),朱載堉卒于懷慶城外九峰山下,年76歲。

2 數(shù)學(xué)成就

2.1 構(gòu)架并求解幾何數(shù)列

眾所周知,在五度律(或三分損益律)中,將起始音(設(shè)為C)的頻率累乘以3/2(或其弦長(zhǎng)累乘以2/3)12次之后,得到第十三個(gè)音(C1)不剛好是起始音(C)的倍數(shù)。這在音樂(lè)學(xué)上稱(chēng)為“不能返宮”。在西方音樂(lè)學(xué)術(shù)語(yǔ)中,這意思是五度圈不能成為“一個(gè)閉合的圓”。五度、八度是完全悅耳、協(xié)和的音程,為何12個(gè)五度之后產(chǎn)生的八度卻不純正了呢？數(shù)學(xué)計(jì)算在哪個(gè)節(jié)點(diǎn)上出了問(wèn)題？音樂(lè)學(xué)上千年的返宮難題,直到明代朱載堉決心拋棄五度律,另辟新徑,才得到完滿(mǎn)解決。

表1 樂(lè)律名稱(chēng)與幾何數(shù)列對(duì)應(yīng)表

注意：我們將表1中幾何數(shù)列(3)簡(jiǎn)單列示如下：因?yàn)閝=21/12,所以大呂是由黃鐘2除以q一次得出的,即大呂為2/q=q11；蕤賓是由黃鐘2累除q六次得出的,即蕤賓為2/q6=q6；南呂是黃鐘2累除以q九次得出的,即南呂為2/q9=q3；應(yīng)鐘是黃鐘2累除以q十一次得出的,即應(yīng)鐘為2/q11=q1。

表1中幾何數(shù)列(2)和(3)適用于樂(lè)律的弦長(zhǎng)比值,從1到1/2或從2到1的幾何數(shù)列對(duì)應(yīng)于弦長(zhǎng)愈來(lái)愈短,樂(lè)音愈來(lái)愈高；幾何數(shù)列(1)適用于樂(lè)律的頻率比值,若將(1)用于弦長(zhǎng)比,則要將表1中第1橫欄的音高順序顛倒為之。如此,朱載堉稱(chēng)幾何數(shù)列(3)、(1)和(2)分別為倍律、正律和半律。

聯(lián)系表1,就容易解讀朱載堉在《律呂精義內(nèi)篇》卷1《不用三分損益》中所寫(xiě)下的文字：

新法算律與方圓皆用勾股術(shù)。其法本諸《周禮·栗式為量》“內(nèi)方尺而圓其外”?！皟?nèi)方尺而圓其外”,則圓徑與方斜同。知方之斜則知圓之徑矣。

度本起于黃鐘之長(zhǎng),則黃鐘之長(zhǎng)即度法一尺。

命平方1尺為黃鐘之率,東西10寸為勾,自乘得100寸為勾冪；南北10寸為股,自乘得100寸為股冪。相并共得200寸為弦冪。乃置弦冪為實(shí),開(kāi)平方除之,得弦1.4142 1356 2373 0950 4880 1689尺,為方之斜,即圓之徑,亦即蕤賓倍律之率。以勾10寸乘之,得平方積141.42 1356 2373 0950 4880 1689寸,為實(shí),開(kāi)平方除之,得1.1892 0711 5002 7210 6671 7500尺,即南呂倍律之率。仍以勾10寸乘之,又以股10寸乘之,得立方積1189.2 0711 5002 7210 6671 7500寸,為實(shí),開(kāi)立方除之,得1.0594 6309 4359 2952 6456 1825尺,即應(yīng)鐘倍律之率。蓋十二律黃鐘為始,應(yīng)鐘為終,終而復(fù)始,循環(huán)無(wú)端,此自然真理,猶貞后元生,坤盡復(fù)來(lái)也。是故各律皆以黃鐘正數(shù)10寸乘之為實(shí),皆以應(yīng)鐘倍數(shù)10.5946 3094 3592 9526 4561 825寸為法除之,即得其次律也。安有往而不返之理哉？舊法往而不返者,蓋由三分損益算術(shù)不精之所致也。是故新法不用三分損益,別造密率。*為便于現(xiàn)代人更容易看得清楚,將原文的漢字?jǐn)?shù)字改為了印度—阿拉伯?dāng)?shù)字。

朱載堉算得q是一個(gè)25位數(shù)字,即

從數(shù)學(xué)上看,這長(zhǎng)段文字實(shí)際上就是在1與2之間設(shè)定的一個(gè)由13項(xiàng)構(gòu)成的幾何數(shù)列,求出這個(gè)幾何數(shù)列的公比數(shù)(即應(yīng)鐘倍律弦長(zhǎng)),問(wèn)題就解決了。在音樂(lè)學(xué)看來(lái),任一起始音的弦長(zhǎng),“皆以應(yīng)鐘倍數(shù)……為法除之,即得其次律也”。如此,朱載堉建成了十二等程律,完成了千年的返宮之愿。

應(yīng)當(dāng)怎樣評(píng)價(jià)朱載堉這一數(shù)學(xué)成就？我們知道,在樂(lè)律史上,凡有重大貢獻(xiàn)的樂(lè)律學(xué)家,也必定是個(gè)數(shù)學(xué)家。朱載堉在《算學(xué)新說(shuō)》弁言中說(shuō),“臣所撰新說(shuō)凡四種：一曰律學(xué),二曰樂(lè)學(xué),三曰算學(xué),四曰韻學(xué)。前二者其書(shū)之本原,后二者其書(shū)之支脈,所以羽翼其書(shū)者也”。也就是說(shuō),他將數(shù)學(xué)看作是他創(chuàng)建一種嶄新律制的“翅膀”。在數(shù)學(xué)思維上,朱載堉的工作至少突破了前人常以一個(gè)自然整數(shù)為起點(diǎn)而構(gòu)成幾何數(shù)列的范式,如以3為公比數(shù)的幾何數(shù)列即1、3、9、27、81等等。要在相鄰兩個(gè)自然整數(shù)如1和2之間構(gòu)架一個(gè)由13項(xiàng)組成的幾何數(shù)列,這是朱氏的樂(lè)律研究為中國(guó)數(shù)學(xué)史上提供的有關(guān)等比數(shù)列的新實(shí)例。中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上真正的幾何數(shù)列例題極少。[11]在已知首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù),而要求解這樣幾何數(shù)列的數(shù)學(xué)題目,在朱載堉之前似乎未曾有過(guò)。再者,朱載堉將2的開(kāi)十二次方運(yùn)算到25位數(shù),且準(zhǔn)確無(wú)誤[12],確實(shí)令人驚嘆。此前的中外數(shù)學(xué)史上,還未有過(guò)如此多位數(shù)的計(jì)算數(shù)字。20世紀(jì)90年代之前的普通電子計(jì)算器也只有10位數(shù)而已。

2.2 在由四項(xiàng)構(gòu)成的幾何數(shù)列中,提出第二、三項(xiàng)的求解法

圖1 《算學(xué)新說(shuō)》中的樂(lè)律計(jì)算(其中

圖2 圓內(nèi)接正方形(設(shè)a=b=1,則；設(shè)c=1,則

由以上的計(jì)算,在圖1的幾何數(shù)列中,就已知它的首項(xiàng)(倍蕤賓)、末項(xiàng)(正蕤賓)和他們的中項(xiàng)(正黃鐘)了。對(duì)于這個(gè)幾何數(shù)列問(wèn)題的解,朱載堉在《算學(xué)新說(shuō)》中寫(xiě)道：

第四問(wèn)：以黃鐘正律乘蕤賓正律得平方積……*本文略其具體積值。下文同。開(kāi)平方所得即夾鐘正律……*刪略25位數(shù)字答案及其算草。下文同。

第五問(wèn)：以黃鐘正律乘蕤賓倍律得平方積……開(kāi)平方所得即南呂倍律……

這兩問(wèn)是求幾何數(shù)列的等比中項(xiàng)。第四問(wèn)的“正夾”即是“正黃”和“正蕤”之間7項(xiàng)組成的等比中項(xiàng)；第五問(wèn)的“倍南”是“倍蕤”到“正黃”的中項(xiàng)。從這兩問(wèn)中不難看出,等比中項(xiàng)為首末兩項(xiàng)之積的平方根。這是完全正確的。

《算學(xué)新說(shuō)》中還計(jì)算了圖1中的大呂和倍應(yīng)鐘兩項(xiàng)。它寫(xiě)道：

第六問(wèn)：置夾鐘正律以黃鐘再乘,得立方積……開(kāi)立方所得即大呂正律也……

第七問(wèn)：置南呂倍律以黃鐘再乘,得立方積……開(kāi)立方所得即應(yīng)鐘倍律也……

由圖1可見(jiàn),第六問(wèn)所求的“正大”是“正黃”到“正夾”的四項(xiàng)組成的第二項(xiàng)；第七問(wèn)所求的“倍應(yīng)”是“倍南”到“正黃”的四項(xiàng)組成的第三項(xiàng)。在由四項(xiàng)組成的幾何數(shù)列中,求解其第二、三項(xiàng)的方法,朱載堉一一列舉清楚了。仿此,就可以解出圖1中其余各項(xiàng)。一個(gè)13項(xiàng)的幾何數(shù)列得以求解,也就在八度內(nèi)解出了它的各個(gè)樂(lè)律的音高數(shù)值。

對(duì)于朱載堉的這一數(shù)學(xué)成就,在中國(guó)數(shù)學(xué)史上似乎并未引起人們重視,迄今尚未有一本數(shù)學(xué)史著作對(duì)此作出敘述。這原因大概是《算學(xué)新說(shuō)》中的數(shù)學(xué)與樂(lè)律計(jì)算緊密相關(guān),樂(lè)律學(xué)的內(nèi)容讓人們不能一眼識(shí)破其數(shù)學(xué)本質(zhì)。

2.3 珠算開(kāi)方

算盤(pán)的發(fā)明和應(yīng)用在中國(guó)古代有較長(zhǎng)的歷史。起初人們只用它做加減乘除的四則運(yùn)算。珠算開(kāi)方朱載堉不是最早的一個(gè),但他卻是最接近近代數(shù)學(xué)方法的一個(gè)。朱載堉一生中,計(jì)算歷法、樂(lè)律,都是用珠算完成的。在他的樂(lè)律研究中,留下了7位數(shù)、9位數(shù)、18位數(shù),甚而多達(dá)25位數(shù)的計(jì)算數(shù)值而無(wú)一錯(cuò)誤,這不能不歸于他用了當(dāng)時(shí)最先進(jìn)的計(jì)算工具算盤(pán)的緣故。

朱載堉在其著《算學(xué)新說(shuō)》的弁言“初學(xué)凡例”中寫(xiě)道：

凡學(xué)開(kāi)方,須造大算盤(pán),長(zhǎng)九九八十一位,共五百六十七子,方可算也。不然,只用尋常算盤(pán),四五個(gè)接在一處算之,亦無(wú)不可。其算盤(pán)梁上貼紙一長(zhǎng)條,上寫(xiě)第一位、第二位等字樣,使初學(xué)易曉也。

該書(shū)第六問(wèn)之弁言也寫(xiě)有“初學(xué)立方凡例”,指出“凡開(kāi)立方,將算盤(pán)梁上貼一紙條,寫(xiě)千百十寸、百十分、百十厘、百十毫、百十絲、百十忽、百十微、百十纖之名,至于纖以下位數(shù),不立名色,只隔二位畫(huà)一圈,使開(kāi)方除實(shí)不錯(cuò)耳?！?/p>

這些文字說(shuō)明了計(jì)算出25位數(shù)的算盤(pán)所需檔位和注意事項(xiàng)。朱載堉還詳細(xì)注明開(kāi)方口訣,舉出不少例題算草。一些數(shù)學(xué)史著作對(duì)此也有所演釋([11],577頁(yè))。*1991年,筆者曾在一次全國(guó)性律學(xué)討論會(huì)上,目睹天津一會(huì)計(jì)師馮文坤女士在81檔大算盤(pán)上為眾人作開(kāi)方演算,速度甚快。本文在此僅評(píng)述朱載堉開(kāi)方運(yùn)算的歷史地位。

《算學(xué)新說(shuō)》刻版完畢于萬(wàn)歷三十一年(1603),人們以此確定朱載堉完成珠算開(kāi)方的年限并不確切。其理由如下：

(Ⅰ)1603年既是雕刻完畢《算學(xué)新說(shuō)》,也是完成雕版《樂(lè)律全書(shū)》整套書(shū)的時(shí)間?！稑?lè)律全書(shū)》中諸本書(shū),唯此留下時(shí)間記述,其用意即在于此。此后便是《樂(lè)律全書(shū)》的印刷、裝幀了。

(Ⅱ)除了《圣壽萬(wàn)年歷》和《萬(wàn)年歷備考》二書(shū)是在萬(wàn)歷二十二年(1595)之前一、二年完成之外,《樂(lè)律全書(shū)》中其余樂(lè)、舞、歷、算諸書(shū)都在《律歷融通》作序之時(shí)(萬(wàn)歷九年,1581年),甚至更早時(shí)候已經(jīng)完成。其證據(jù)如下：

(1)《律呂融通》書(shū)末附《音義》一篇,該篇文字為注釋該書(shū)中一些名詞術(shù)語(yǔ)和數(shù)學(xué)方法,其中寫(xiě)道：

大抵不用三分損益,而用勾股之術(shù)及開(kāi)立方之法求之所得也。是以隔八隔六、循環(huán)無(wú)端,上下相生,首尾一貫,以證往而不返之說(shuō)為非。是蓋二千余年之所未有,實(shí)自我朝始耳。恐后世儒者疑,故略釋之,其詳則見(jiàn)諸《律呂精義》云。

這里所說(shuō)的“勾股之術(shù)(開(kāi)平方之法)”、“開(kāi)立方之法”,朱載堉是用珠算做的。不僅如此,朱載堉還指出,欲知《律歷融通》內(nèi)容之詳者,請(qǐng)讀者“見(jiàn)諸《律呂精義》”。后者是《樂(lè)律全書(shū)》中最為重要的一本著作,可見(jiàn)它完成于《律歷融通》之前。也即珠算開(kāi)方的運(yùn)算完成于1581年之前。

(2)《律學(xué)新說(shuō)》(作序于1584年)的初稿是《律學(xué)四物譜》。所謂“四物”即黍、度、量、權(quán)。《律學(xué)四物譜序》尚留在《律學(xué)新說(shuō)》的《附錄》中。該序文中寫(xiě)道：

嘗撰《黍譜》、《度譜》、《量譜》、《權(quán)譜》,各卷帙不等,總?cè)舾扇f(wàn)言,今摘其要合為一書(shū),名曰《律學(xué)新說(shuō)》,而以所問(wèn)所答冠其篇名?！端奈镒V》原稿文煩而考據(jù)詳密,后乃刪煩摘要,更名《律學(xué)新說(shuō)》,成書(shū)以進(jìn)。校其原稿,特十分之一耳。茲因暇日重校原稿,見(jiàn)此序文,不忍棄去,是故續(xù)刊附于簡(jiǎn)末,使覽者知作者初意。

這段文字充分說(shuō)明《律學(xué)新說(shuō)》原稿本早在1584年作序之前已完成?？梢?jiàn)朱載堉珠算開(kāi)方的工作也并非完成于《算學(xué)新說(shuō)》雕版完畢的1603年。

令人驚訝的是,《律學(xué)新說(shuō)》的“序”文中還寫(xiě)道：關(guān)于律管的周徑計(jì)算問(wèn)題,“已見(jiàn)《律書(shū)》及《算學(xué)新說(shuō)》,茲不復(fù)載,但載各律長(zhǎng)短并內(nèi)外周徑圖樣”。這里,明白地告訴讀者：《律學(xué)新說(shuō)》中的相關(guān)問(wèn)題詳見(jiàn)《算學(xué)新說(shuō)》一書(shū)。前者又是早年舊稿壓縮而成?？梢?jiàn)《算學(xué)新說(shuō)》一書(shū)在1581年之前已完稿是毫無(wú)疑問(wèn)的。

(3)在《律歷融通·音義》中還有珠算開(kāi)方的直接證據(jù)?！兑袅x》寫(xiě)道：

先置黃鐘十寸在位。下生者五億乘之為實(shí),七億四千九百一十五萬(wàn)三千五百三十八為法,除之得林鐘；就置所得全數(shù)在位,上生者十億乘之為實(shí),仍以前法除之,得太簇。余律仿此,乘除十二遍,則返本還元。此系新法,與古法不同。

所謂“在位”是將要計(jì)算的數(shù)字撥在算盤(pán)的相應(yīng)檔位上。這段文字被稱(chēng)之為十二等程律的五度相生[13]。它是必須在完成如表1中的三種幾何數(shù)列的任一種演算之后,才能進(jìn)一步推出它的快捷計(jì)算法即五度相生法。在這段文字之后還有十二等程律的四度相生的簡(jiǎn)捷算法,本文不再詳引。它們充分證明,珠算開(kāi)方的運(yùn)算,至少在公元1581年之前朱載堉已相當(dāng)嫻熟了。

或許,上述考證是多余的。萬(wàn)歷九年十月(1581年11月),《明神宗實(shí)錄》記載,“鄭王厚烷有疾,世子載堉亦久病”([9],萬(wàn)歷九年十月已未)。而這一年,載堉?jǐn)M將其完成的樂(lè)、舞著作進(jìn)獻(xiàn)宮廷,朱厚烷“恐有缺誤,未敢遽行,仍付臣(載堉)訂正之”,不料,“值臣(載堉)宿疾舉發(fā),連年未療,由是遷延,未曾進(jìn)獻(xiàn)”([8],2～96上欄)。自然,這些樂(lè)、舞著作包括了《算學(xué)新說(shuō)》在內(nèi)。當(dāng)然,它們都是手稿本,尚未雕版印刷。中國(guó)古代的著作,雖然一般可以用其序文時(shí)間或刻版時(shí)間定其創(chuàng)作年代。然而,類(lèi)似朱載堉的著作,當(dāng)是中國(guó)書(shū)籍史上一特例[14- 15],不能以其書(shū)作序或雕版的時(shí)間論其創(chuàng)作的歲月。

由上考證,充分證明《算學(xué)新說(shuō)》完稿于1581年之前。之前多久？亦難斷論。只能說(shuō),在其父朱厚烷復(fù)爵返國(guó)(隆慶元年,1567)到《律歷融通》作序(萬(wàn)歷九年,1581)的時(shí)間內(nèi),朱載堉徹底地掌握了珠算開(kāi)方,并以此在世界上首創(chuàng)十二等程律。

在中國(guó)數(shù)學(xué)史上,徐心魯《盤(pán)珠算法》于1573年初刊,柯尚遷《數(shù)學(xué)通軌》于1578年刊刻。但此二書(shū)均未涉及珠算開(kāi)方。余楷《一鴻算法》于1584～1585年刊刻,據(jù)說(shuō)其中有開(kāi)方計(jì)算。其后便是程大位的《算法統(tǒng)宗》,于1592年刊刻([11],553,556,557,559頁(yè))。朱載堉是在1581年之前完成的《算學(xué)新說(shuō)》,因此,理應(yīng)重視它在中國(guó)數(shù)學(xué)史上的歷史地位。據(jù)研究,在珠算史上第一個(gè)做開(kāi)方運(yùn)算的是明代王文素,他于1524年撰《算學(xué)寶鑒》,其中述及珠算開(kāi)方。[16]朱載堉和王文素不同的是,前者的方法接近現(xiàn)代,后者的方法是傳統(tǒng)的繼承。

在珠算史上,尚需強(qiáng)調(diào)的是,人們常常將算盤(pán)看作商業(yè)計(jì)算工具。而從朱載堉如此之早運(yùn)用珠算開(kāi)方并計(jì)算樂(lè)律的情形看來(lái),算盤(pán)確曾是人們進(jìn)行學(xué)術(shù)研究的計(jì)算工具。

朱載堉還有一項(xiàng)數(shù)學(xué)工作在數(shù)學(xué)史上也是有影響的,即他所做的關(guān)于九進(jìn)制和十進(jìn)制的小數(shù)換算([14],190頁(yè))。這項(xiàng)工作已被數(shù)學(xué)史著作所重視([11],598頁(yè)),本文不再重復(fù)。

朱載堉在《算學(xué)新說(shuō)》弁言中曾如此評(píng)價(jià)自己的“新說(shuō)”：

謂之新說(shuō),何也？且如周徑冪積相求之類(lèi),舊則疏而新則密；平方不用商除,立方不顯廉法之類(lèi),舊則繁而新則簡(jiǎn)；舊以勾股為末,專(zhuān)明九章,新以勾股為首,專(zhuān)明律歷。此其異也。余則文雖小異,要亦殊途同歸者也。

這三條自我評(píng)價(jià)不完全正確。第一條,言及周徑冪積相求一事,其要在于圓周率取何值？朱載堉的圓周率是這樣得到的：設(shè)一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為9寸,他以片紙或線條移量其外接圓的圓周為40寸([6],265頁(yè))。因此,其圓周率值為

其中的第二條即“平方不用商除,立方不顯廉法”的評(píng)價(jià)是恰當(dāng)?shù)?。這是朱載堉在數(shù)學(xué)上的一項(xiàng)重要成就。其數(shù)學(xué)思維更接近于現(xiàn)代而遠(yuǎn)離古代。故而,他說(shuō)“舊則繁而新則簡(jiǎn)”并不夸張。至于第三條,僅僅是勾股術(shù)或開(kāi)方術(shù)用在不同學(xué)科、不同對(duì)象上之分別。值得稱(chēng)頌的是,朱載堉找到一種數(shù)學(xué)方法解決了樂(lè)律返宮,從而在音樂(lè)上開(kāi)天辟地地創(chuàng)造了一種新律制,并影響至今不息。這是他的最大貢獻(xiàn)!

1 劉復(fù). 十二等程律的發(fā)明者朱載堉[C]//慶祝蔡元培先生六十五歲論文集//國(guó)立中央研究院歷史語(yǔ)言研究所集刊外編(第1種).北平：國(guó)立中央研究院,1933.274～310.

2 Kuttner F A. Prince Chu Tsai-Yu’s Life and Work—A Re-evaluation of His Contribution to Equal Temperament Theory [J].Ethnomusicology, 1975, 19(2)：163～205.

3 王鐸. 鄭端清世子賜葬神道碑[M]//戴念祖. 天潢真人朱載堉. 鄭州：大象出版社,2008.335～338.

4 張廷玉,等. 明史·諸王列傳四[M]. 北京：中華書(shū)局,1974.3627.

5 沈德符. 萬(wàn)歷野獲編·鄭世子讓國(guó)[M]. 北京：中華書(shū)局,1959.119.

6 戴念祖. 天潢真人朱載堉[M]. 鄭州：大象出版社,2008.55～56.

7 朱載堉. 律呂精義·序[M]//任繼愈主編. 中國(guó)科學(xué)技術(shù)典籍通匯·物理卷. 第2冊(cè). 鄭州：河南教育出版社,1995.2～98頁(yè)下欄.

8 朱載堉. 進(jìn)律書(shū)奏疏[M]//任繼愈主編. 中國(guó)科學(xué)技術(shù)典籍通匯·物理卷. 第2冊(cè). 鄭州：河南教育出版社,1995.2～97頁(yè)下欄.

9 神宗實(shí)錄[M]. 第53冊(cè). 卷117//明實(shí)錄. 臺(tái)北：中央研究院歷史語(yǔ)言研究所, 1967.2209.

10 Dijksterhuis E J.SimonStevin:ScienceintheNetherlandsaround1600[M].The Hague: Martinus Nijhoff, 1970.21～38.

11 郭書(shū)春. 中國(guó)科學(xué)技術(shù)史·數(shù)學(xué)卷[M]. 北京：科學(xué)出版社,2010.258,577～578.

12 沈柏宏教授用高速電腦證明中國(guó)人最早發(fā)明十二平均律[J]. 呂國(guó)璋,譯. 樂(lè)苑,1986,(15)：19.

13 戴念祖. 從傳統(tǒng)音樂(lè)學(xué)和數(shù)學(xué)角度看朱載堉創(chuàng)建等程律的思維[J]. 中國(guó)音樂(lè)學(xué),2014,(4)：20～25.

14 戴念祖. 朱載堉——明代科學(xué)和藝術(shù)巨星[M]. 北京：人民出版社,1986.91～96.

15 李純一. 朱載堉十二平均律發(fā)明年代辯證[J]. 音樂(lè)研究,1980,(3): 33～34.

16 勞漢生. 珠算與實(shí)用算術(shù)[M]. 石家莊：河北科學(xué)技術(shù)出版社,2000.299～307.

Prince Zhu Zaiyu’s Life and His Achievements in Mathematics：The 480th Anniversary of the Birth of Zhu Zaiyu

DAI Nianzu

(InstituefortheHistoryofNaturalSciences,CAS,Beijing100190,China)

Prince Zhu Zaiyu was a mathematician and musician during in Ming Dynasty (1368-1644). His life went through many ups and downs. He suffered for 18 years, wrote for 14 years, did block printing for 11 years, and gave up his royal position to another brother for 15 years. His achievements in mathematics consist of the calculation of geometrical series, the conversion of numbers of different carries, the extraction of roots using Chinese ancient abacus, and so on. These mathematical works are the basis of the equal temperament founded by him. Certain historians of music in the Western doubted Zhu Zaiyu’s mathematical ability for a long time. The paper re-evaluates Zhu Zaiyu’s mathematical achievements and expound the relation between them and musical tone.

Zhu Zaiyu, geometrical series, extraction of a roots by Chinese ancient abacus,Twelve tone equal temperament

2016- 01- 12；

2016- 09- 09 作者簡(jiǎn)介：戴念祖,1942年生,福建長(zhǎng)汀人,中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所研究員,主要研究方向?yàn)橹袊?guó)物理學(xué)史。

N092∶K82

A

1000- 0224(2016)04- 0417- 10