三維帶分?jǐn)?shù)階耗散不可壓Maxwell-Naiver-Stokes方程組解的全局存在性

李衛(wèi)文，趙文波，孫小科（.浙江師范大學(xué) 數(shù)理與工程信息學(xué)院，浙江 金華 3004；.天水師范學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院，數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 7400）

自然科學(xué)研究

三維帶分?jǐn)?shù)階耗散不可壓Maxwell-Naiver-Stokes方程組解的全局存在性

李衛(wèi)文1，趙文波2，孫小科2
（1.浙江師范大學(xué) 數(shù)理與工程信息學(xué)院，浙江 金華 321004；2.天水師范學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院，數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001）

研究三維帶分?jǐn)?shù)階耗散不可壓Maxwell-Naiver-Stokes方程組，當(dāng)α＞3時(shí)，利用能量方法得到2了該方程組解的全局存在性結(jié)果.

Maxwell-Naiver-Stokes方程組；全局存在性

引言

考慮如下三維不可壓Maxwell-Navier-Stokes方程組：

Naiver-Stokes方程刻畫了粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本力學(xué)規(guī)律，在流體力學(xué)中有著十分重要的意義.而Maxwell方程和Lorentz方程是經(jīng)典電磁學(xué)基礎(chǔ)方程，從這些方程的相關(guān)理論中發(fā)展出了現(xiàn)代電子、電力科技，因此研究這些方程具有重要的理論意義和應(yīng)用前景.

目前，經(jīng)典的Maxwell-Navier-Stokes（α=1）方程組已經(jīng)得到了廣泛的研究.在二維的情形下，Mas?moudi等人在文獻(xiàn)［2］，［3］中分別證明了當(dāng)初值

以及

當(dāng)忽略位移電流Et的影響時(shí)，Maxwell-Navier-Stokes方程組可化MHD［6］方程組，而對于MHD方程組已經(jīng)有了大量的研究成果，例如解的唯一性、［7］爆破性準(zhǔn)則、［8］大時(shí)間行為以及粘性消失極限［9］等.但是對于Maxwell-Navier-Stokes方程組與MHD方程組的結(jié)構(gòu)而言，兩者之間有著很大的不同，因此研究這些問題需要更多的技巧與方法.

1　基本引理

為了證明定理1，通過Picard定理及先驗(yàn)估計(jì)可以得到如下引理：

引理 3［10］（Moser型不等式）f∈Ws，q2，Λf∈Lp1，，則有其中1＜p＜∞，p1，p2∈（1，∞］，s＞0且

2　定理1證明

首先，在（1）-（3）分別乘以u，B，E，并關(guān)于x積分然后將結(jié)果相加，得到基本能量估計(jì)

這表明 u∈L∞（0，T；L2）?L2（0，T；Hα），（B，E）∈L∞（0，T；L2）和 j∈L2（0，T；L2）.

在（1）～（3）兩邊作用算子Λ，對其分別乘以Λu，ΛB，ΛE，并關(guān)于x積分然后將其相加，得到

現(xiàn)在給出 Ii，i=1，2，3的估計(jì).對于 I1利用H?lder不等式、Young不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式，有

對于I2，運(yùn)用Moser型不等式、H?lder不等式、Young不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式，得到

同樣，對于I3

將（13）～（15）代入（12）并與（11）相加，然后應(yīng)用Gron?wall不等式，得到

接下來進(jìn)行二階估計(jì)，先在（1）～（3）式兩邊作用算子Λ2，然后對其分別乘以Λ2u，Λ2B，Λ2E，并關(guān)于x積分然后相加，得到

將（18）～（20）代入（17）并結(jié)合（11），應(yīng)用Gronwall不等式，得到

至此，結(jié)合引理2我們完成了定理1的證明.

［1］CHEMIN J.Y..Perfect incompressible fluids［M］.England：Clarendon press.Oxford，1998.

［2］MASMOUDI N..Global well posedness for the Maxwell-Na vier-Stokes system in 2D［J］.Pures Et.Appl.2010，93：559-571.

［3］GERMAIN P.，IBRAHIM S.，MASMOUDI N.On the wellposedness of the Navier-Stokes-Maxwell system［J］.Proc.Roy.Soc.Edinburgh Sect.A，2012，144（1）：71-86.

［4］FAN J.，Li F..Uniform Local well-posedness to the Density-Dependent Navier-Stoke-Maxwell system［J］.Acta Appl.Math，2014，133：19-32.

［5］IBRAHIM S.，KERAANI S..Global small solutions for the Navier-Stokes-Maxwell system［J］.SIAM J.Math.Anal，2011，43：2275-2295.

［6］BISKAMP D..Nonlinear Magnetohydrodynamics［M］.England：Cambridge University Press.Cambridge，1993.

［7］SERMANGE M.，TEMAM R..Some mathematical questions related to the MHD equations［J］.Comm.Pure Appl.Math，1983，36（5）：635-664.

［8］LEI Z.，ZHOU Y..BKM's Criterion and global weak Solu tions for magnetohydro-dynamics with zero viscosity［J］.Dis?crete Contin.Dyn.Syst，2009，25（2）：575-583.

［9］DíAZ J.I.，LERENA M.B..On the inviscid and non-resistive limit for the equations of incompressible magnetohydrody namics.Math［J］.Models Methods Appl.Sci，2002，12（10）：1401 -1419.

［10］KLAINERMAN S.，MAJDA A.J.Singular limits of quasilin ear hyperbolic systems with large parameters and the incom?pressible limit of compressible fluids［J］.Comm.Pure Appl.Math，1981，34：481-524.

〔責(zé)任編輯 高忠社〕

Global Existence of the Solution to the Three Dimensional Incompressible Maxwell-Navier-StokesEquations with Fractional Dissipation

Li Weiwen1，Zhao Wenbo2，Sun Xiaoke2
（1.College of Mathematics，Physics and Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua Zhejiang321004，China；2.School of Electronic Information and Electrical Engineering，Tianshui Normal University，Tianshui Gansu741001，China）

Maxwell-Navier-Stokes equations；global existenc

O175.27

A

1671-1351（2016）02-0001-03

2016-01-21

李衛(wèi)文（1992-），女，浙江嘉興人，浙江師范大學(xué)數(shù)理與工程信息學(xué)院在讀碩士研究生。

甘肅省高等學(xué)?？蒲许?xiàng)目（2015A-131）及天水師范學(xué)院校列項(xiàng)目（TSA1406）階段性成果