耦合Burgers方程的CTE可積性及精確解

李玉娟, 胡恒春,2

(1.上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093; 2.德克薩斯大學(xué)大河谷分校 數(shù)學(xué)系,愛丁堡 TX 78539)

耦合Burgers方程的CTE可積性及精確解

李玉娟1, 胡恒春1,2

(1.上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093; 2.德克薩斯大學(xué)大河谷分校 數(shù)學(xué)系,愛丁堡 TX 78539)

借助符號計(jì)算軟件Maple,利用CTE方法驗(yàn)證了耦合Burgers方程的CTE可積性,得到了耦合Burgers方程的孤子和其他波的相互作用解,包括孤子和橢圓余弦波作用解、共振多孤子解、孤子和誤差函數(shù)波作用解、孤子和有理波作用解、孤子和周期波作用解.最后給出了孤子和橢圓余弦波作用解及共振多孤子解所對應(yīng)的圖形.

耦合Burgers方程; CTE方法; 相互作用解

孤立子理論是非線性科學(xué)的重要組成部分,孤立子理論的研究對象大多是非線性偏微分方程.隨著非線性科學(xué)的飛速發(fā)展,對孤立子理論的研究也越來越多,它已成為當(dāng)今科學(xué)領(lǐng)域的重大研究課題之一.非線性偏微分方程被用來描述流體力學(xué)、等離子物理學(xué)、非線性光學(xué)、固體物理學(xué)及環(huán)境科學(xué)等領(lǐng)域出現(xiàn)的很多非線性現(xiàn)象,因此,對非線性偏微分方程精確解的研究在理論和實(shí)際應(yīng)用中都具有重要的意義[1].近年來,數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家在研究過程中提出了一系列構(gòu)造精確解的方法,如反散射變換法[2-4]、貝克隆變換法[5-6]、雙線性變換法[7]、分離變量法[8]、達(dá)布變換法[9]、相似約化法[10-12]、Painlevé分析法[13-14]、函數(shù)展開法等.然而,除了孤子間的相互作用解,很難找到不同類型波之間的相互作用解.最近,根據(jù)非局部對稱的相似約化結(jié)果,樓森岳[15]提出了consistent Riccati expansion (CRE)方法以及它的一種特殊情形consistent tanh expansion (CTE)方法.此方法不僅可以用來驗(yàn)證非線性發(fā)展方程的可積性,還可以更加簡單地求得可積方程的各種形式的波之間的相互作用解.例如,Broer-Kaup方程[16]、Boussinesq-Burgers方程[17]、(2+1)維Boiti-Leon-Pempinelli方程[18]以及修正的Kadomstev-Petviashvili方程[19].

1 耦合Burgers方程簡介

耦合Burgers方程的形式為

(1)

式中:γ為實(shí)常數(shù);α,β是任意常數(shù)[20-21].

該模型是Esipov[22]研究多分散性沉積模型時(shí)推導(dǎo)出的在重力作用下懸浮液或膠質(zhì)物中兩種粒子按比例縮小的體積濃度的演變模型,在凝聚態(tài)物理和流體動力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.近年來,許多學(xué)者利用多種方法得到了耦合Burgers方程的多種形式的精確解,例如,用tanh函數(shù)展開法得到耦合Burgers方程的孤子解[23],用Hirota雙線性法得到耦合Burgers方程的多孤子解[24]等.本文將利用CTE方法來求解耦合Burgers方程.

作適當(dāng)?shù)臉?biāo)度變換,可以將方程(1)變?yōu)?/p>

(2)

即相當(dāng)于在方程(1)中取γ=1,α=β=-1.本文對方程(2)進(jìn)行研究.

2 耦合Burgers方程CTE可積性

對于給定的非線性偏微分方程

(3)

要尋找具有如下形式的截?cái)嗾归_解:

(4)

式中,n由方程(3)的領(lǐng)頭項(xiàng)分析(平衡最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和最高階非線性項(xiàng))決定.

將式(4)代入方程(3),令tanhi(ω)的系數(shù)為0,得到包含ui和ω以及它們的各階導(dǎo)數(shù)的系統(tǒng).

定義 對于非線性偏微分方程(3),將解式(4)代入其中,令tanhi(ω)的系數(shù)為0,得到包含ui(i=0,1,2,…,n)和ω以及它們的各階導(dǎo)數(shù)的系統(tǒng),如果這個(gè)系統(tǒng)是相容的或非超定的,則稱方程(3)是consistent tanh expansion (CTE)可積的.

對耦合Burgers方程(2)進(jìn)行領(lǐng)頭項(xiàng)分析,得到如下截?cái)鄑anh展開式:

(5)

將式(5)代入耦合Burgers方程(2),得

令tanhi(ω)的系數(shù)為零,可以得到含有5個(gè)未知量u0,u1,v0,v1,ω的8個(gè)超定方程:

可得

及ω滿足的相容性條件方程

(6)

其中

且S和C是M?bius變換

下的不變量.根據(jù)定義,可以判定耦合Burgers方程(2)是CTE可積的.綜上所述,可以概括出定理1.

定理1 如果ω是相容性條件方程(6)的一個(gè)解,那么,

(7)

是耦合Burgers方程(2)的CTE解.

3 耦合Burgers方程的精確解

根據(jù)定理1,通過求解相容性條件方程(6),可以找到不同形式的相互作用解.為了求解方程(6),將方程(6)寫成下面的形式:

(8a)

(8b)

從上面的方程中可知,通過Burgers方程(8b)的一個(gè)固定解就可以求解變系數(shù)勢Burgers方程(8a),從而得到函數(shù)ω的解.因此,耦合Burgers方程(2)的相應(yīng)解可以從CTE解式(7)中得到.

3.1 簡單孤子解

方程(8)有如下的平凡解:

(9)

式中,k0,w0,d0是任意常數(shù).

將式(9)代入式(7),可以得到耦合Burgers方程(2)的簡單孤子解

(10)

3.2 孤子與橢圓余弦波作用解

為了得到耦合Burgers方程(2)的孤子和橢圓余弦波的相互作用解,考慮如下形式的ω函數(shù):

(11)

其中

a4=4

并且k1w0=k0w1,a2,a3為任意常數(shù).

很顯然,方程(12)的通解是由橢圓函數(shù)定義的,即可以用一些橢圓函數(shù)(例如,Jacobi橢圓函數(shù)sn(ζ),cn(ζ),dn(ζ))來構(gòu)造ω的表達(dá)式,從而得到耦合Burgers方程(2)的新解.假定關(guān)于ω的函數(shù)具有如下形式:

式中,Ef是第一類不完全可積橢圓函數(shù).

將式(13)帶入方程(6)中,令Jacobi橢圓函數(shù)不同次冪的系數(shù)為零,通過計(jì)算,可得m=n且A,n,k0,k1,w0,w1為任意非零常數(shù).

將m=n及式(13)代入式(7)中,得到耦合Burgers方程(2)的孤子和橢圓余弦波作用解,省略u和v復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式,對任意常數(shù)進(jìn)行如下的取值:

k1=2,w0=4,w1=3

(14)

可以得到u和v的結(jié)構(gòu)圖,如圖1所示(見下頁).

3.3 孤子與勢Burgers波作用解

為了找出耦合Burgers方程(2)的孤子和其他波的相互作用解,考慮如下形式的ω函數(shù):

(15)

式中,g是關(guān)于x,t的函數(shù).

圖1 孤子和橢圓余弦波作用解u和v的結(jié)構(gòu)圖

將式(15)代入方程(8a),得到

為了進(jìn)一步的簡化,將f取為最簡單的常數(shù)解.

(17)

這樣,方程(16)就化為一個(gè)常數(shù)系數(shù)勢Burgers方程

(18)

將式(15)和式(18)代入式(7),得到耦合Burgers方程(2)的孤子和勢Burgers波的相互作用解

(19)

勢Burgers方程有多類已知的精確解,例如，共振孤子解、誤差函數(shù)解.現(xiàn)用方程(18)的已知解來構(gòu)造孤子和勢Burgers波的相互作用解.

3.3.1 共振多孤子解

不難驗(yàn)證,方程(18)有如下形式的解:

(20)

式中:ki是任意常數(shù);wi滿足色散關(guān)系

將式(20)代入式(19),可以得到耦合Burgers方程(2)的(n+1)共振孤子解.如果在取n=1的情況下,再取

(21)

可以得到扭結(jié)型孤波解u和v的結(jié)構(gòu)圖,如圖2所示.

在取n=2的情況下,再取

(22)

扭結(jié)型孤波解u和v的結(jié)構(gòu)圖如圖3所示.

3.3.2 孤子與誤差函數(shù)波作用解

勢Burgers方程(18)有誤差函數(shù)解

圖2 扭結(jié)型孤波解u和v的結(jié)構(gòu)圖(n=1)

(23)

顯然,式(23)和解式(19)呈現(xiàn)了耦合Burgers方程(2)的孤子與誤差函數(shù)相互作用解.

3.3.3 孤子與自由形狀波相互作用解

勢Burgers方程(18)可以線性化為熱傳導(dǎo)方程[25]

從而,可以得到一個(gè)勢Burgers方程(18)的通解

其中,任意函數(shù)F(z)為

解式(19)和式(24)是孤子與任意F波的相互作用解.

3.3.4 孤子與有理波相互作用解

如果將F看作z的多項(xiàng)式解,即

(26)

式中,cn是任意常數(shù),則

(27)

式中,Γ(x)是伽馬函數(shù).

解式(19)和式(27)變成了孤子和有理波的相互作用解.

3.3.5 孤子與周期波相互作用解

將任意函數(shù)F取成如下的特殊形式:

(28)

式中,aj,bj,cj,dj是任意常數(shù),則

顯然,解式(19)和式(29)是孤子和周期波的相互作用解.

4 結(jié) 論

利用CTE方法對耦合Burgers方程進(jìn)行了研究,驗(yàn)證了耦合Burgers方程的CTE可積性.然后通過選取相容性條件方程的ω的不同解,得到了耦合Burgers方程的孤子和其他波的相互作用解,包括孤子和橢圓余弦波作用解、共振多孤子解、孤子和誤差函數(shù)波作用解、孤子和有理波作用解、孤子和周期波作用解.通過選取適當(dāng)?shù)某?shù),得到了一些解的結(jié)構(gòu)圖.

[1] 谷超豪.孤立子理論與應(yīng)用[M].杭州:浙江科學(xué)技術(shù)出版社,1990.

[2] GARDNER C S,GREENE J M,KRUSKAL M D,et al.Method for solving the Korteweg-de Vries equation[J].Physical Review Letters,1967,19(7):1095-1097.

[3] FOKAS A S,ABLOWITZ M J.On the inverse scattering transform of multidimensional nonlinear equations related to first-order systems in the plane[J].Journal of Mathematical Physics,1984,25(8):2094-2505.

[4] ABLOWITZ M J,CLARKSON P A.Solitons,nonlinear evolution equations and inverse scattering[M].Cambridge:Cambridge University Press,1991:721-725.

[5] WAHLQUIST H D,ESTABROOK F B.B?cklund transformation for solutions of the Korteweg-de Vries equation[J].Physical Review Letters,1973,31(23):1386-1390.

[6] KONNO K,WADATI M.Simple derivation of B?cklund transformation from Riccati form of inverse method[J].Progress of Theoretical Physics,1975,53(6):1652-1656.

[7] HIROTA R.Exact solution of the Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solitons[J].Physical Review Letters,1971,27(18):1192-1194.[8] YANG L J,DU X Y,YANG Q F.New variable separation solutions to the (2+1)-dimensional Burgers equation[J].Applied Mathematics and Computation,2016,273(15):1271-1275.

[9] MATVEEV V B,SALLE M A.Darboux transformations and solitons[M].Berlin:Springer-Verlag,1991.

[10] CLARKSON P A,KRUSKAL M D.New similarity reductions of the Boussinesq equation[J].Journal of Mathematical Physics,1989,30(10):2201-2213.

[11] LOU S Y,MA H C.Non-Lie symmetry groups of (2+1)-dimensional nonlinear systems obtained from a simple direct method[J].Journal of Physics A:Mathematical and General,2005,38(7):129-137.

[12] 胡瀟,胡恒春.非線性耦合Harry-Dym方程的對稱約化[J].上海理工大學(xué)學(xué)報(bào),2016,38(1):8-12.

[13] WEISS J,TABOR M,CARNEVALE G.The Painlevé property for partial differential equations[J].Journal of Mathematics Physics,1983,24(3):522-526.

[14] WEISS J.On classes of integrable systems and the Painlevé property[J].Journal of Mathematics Physics,1984,25(1):13-24.

[15] LOU S Y.Consistent Riccati expansion for integrable systems[J].Studies in Applied Mathematics,2015,134(3):372-402.

[16] CHEN C L,LOU S Y.CTE solvability and exact solution to the Broer-Kaup system[J].Chinese Physics Letters,2013,30(11):110202,1-5.[17] WANG Y H.CTE method to the interaction solutions of Boussinesq-Burgers equations[J].Applied Mathematics Letters,2014,38:100-105.

[18] WANG Y H,WANG H.Symmetry analysis and CTE solvability for the (2+1)-dimensional Boiti-Leon-Pempinelli equation[J].Physica Scripta,2014,89(12):125203,1-5.

[19] REN B.Interaction solutions for mKP equation with nonlocal symmetry reductions and CTE method[J].Physica Scripta,2015,90(6):065206,1-8.

[20] ZHANG R P,YU X J,ZHAO G Z.Local discontinuous Galerkin method for solving Burgers and coupled Burgers equations[J].Chinese Physics B,2011,20(11):110205,1-6.

[21] MITTAL R C,ARORA G.Numerical solution of the coupled viscous Burgers' equation[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2011,16(3):1304-1313.

[22] ESIPOV S E.Coupled Burgers equations:a model of polydispersive sedimentation[J].Physical Review E,1995,52(4):3711-3718.

[23] JAWAD A J M,PETKOVIC M D,BISWAS A.Soliton solutions of Burgers equations and perturbed Burgers equation[J].Applied Mathematics and Computation,2010,216(11):3370-3377.

[24] ABDOU M A,SOLIMAN A A.On completely integrable coupled Burgers and coupled Korteweg-de Vries systems[J].Applied Mathematics Letters,2012,25(12):2052-2057.

[25] 王躍明,張金良,王明亮.變系數(shù)Burgers方程的BT與非線性邊值-初值問題[J].洛陽工學(xué)院學(xué)報(bào),2000,21(3):83-86.

(編輯:石 瑛)

CTE Solvability and Exact Solutions of a Coupled Burgers Equation

LI Yujuan1, HU Hengchun1,2

(1.CollegeofScience,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai200093,China; 2.DepartmentofMathematics,TheUniversityofTexasRioGrandeValley,Edinburg,TX78539,USA)

With the help of symbolic computation software Maple,by using the CTE method,a coupled Burgers equation was proved to be CTE solvable.Many interaction solutions among solitons and other types of nonlinear excitations of the coupled Burgers equation were obtained,which include soliton-cnoidal waves,multiple resonant solutions,soliton-error function waves,soliton-rational waves,and soliton-periodic waves.The corresponding graphs of the soliton-cnoidal waves and multiple resonant solutions were presented.

coupledBurgersequation;CTEmethod;interactionsolutions

1007-6735(2016)06-0517-06

10.13255/j.cnki.jusst.2016.06.002

2016-05-26

上海市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10ZR1420800);上海市重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)資助項(xiàng)目(XTKX2012);國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11071164,11201302)

李玉娟(1992-),女,碩士研究生.研究方向:孤立子理論與可積系統(tǒng).E-mail:liyujuanmath@163.com

胡恒春(1976-),女,副教授.研究方向:孤立子理論與可積系統(tǒng).E-mail:hhengchun@163.com

O 175

A