巧妙換元 奇妙簡證一類無理型不等式

浙江省湖州市雙林中學(xué)

李建潮 (郵編：6313012)

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巧妙換元 奇妙簡證一類無理型不等式

浙江省湖州市雙林中學(xué)

李建潮 (郵編：6313012)

文[1]提出了如下兩個(gè)有趣的無理型不等式猜想:

設(shè)a、b、c是滿足abc=1的正數(shù)，則

①

②

文[2]證明了這一猜想,并于文末提出如下一般性問題:

若a、b、c是滿足abc=1的正數(shù)，則使不等式:

③

成立的最佳常數(shù)λ是多少?

文[3]發(fā)現(xiàn)對λ≥0,③式恒成立,即文[3]建立并證明了如下不等式:

設(shè)a、b、c∈R+,且abc=1,λ≥0,則

④

但唯一的缺憾是文[3]的證明過程過于冗長,影響了可讀性.出于“數(shù)學(xué)的本質(zhì)往往是最簡單的”的考慮,筆者改進(jìn)文[3]的換元角度,讓④式的證明趨于更合理、更明快.

事實(shí)上，如若對④式作如下?lián)Q元：令

則xyz=abc=1，并從中反解出：

(*)

代入④，可化為

所以,④式等價(jià)于如下不等式：

設(shè)x、y、z∈R+,且xyz=1,λ≥0,則

⑤

以下證明⑤式：

其次,利用三維柯西(Cauchy)不等式：

所以，⑤式獲證，即④式得證.

設(shè)a、b、c∈R+,且abc=1,λ≥0,則

⑥

設(shè)a,b,c∈R+,則

⑦

評注 文[3]在證明④式時(shí)選擇了前一種代換,轉(zhuǎn)而把證明④式歸結(jié)為證明⑥式,而這種代換對證明⑥式絕非是一樁易事.證明不等式往往就“差”在那么一點(diǎn)技巧性上,而這又恰恰是不等式證明的一個(gè)顯著特點(diǎn)，特別是數(shù)學(xué)競賽與初數(shù)研究.

1 宋慶.關(guān)于一些不等式的研究與討論[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西),2012(12)

2 吳裕東.一對無理不等式猜想的證明[J].不等式研究通訊,2013(1)

3 汪長銀.兩道猜想不等式命題的統(tǒng)一推廣[J].數(shù)學(xué)通訊(下半月),2014(7)

2016-09-28)