關于不等式(組)在中考中的考點透視

李慶社

考點一：不等關系及不等式的性質

考點二：一元一次不等式(組)的解集

考點三：一元一次不等式(組)的解法

考點四：一元一次不等式(組)的應用

?

關于不等式(組)在中考中的考點透視

李慶社

(安徽省安慶市岳西縣思源實驗學校，岳西 246600)

本文就初中不等式(組)的知識在中考中常見的熱點、考點以及考查力度、考查方式等進行了剖析，并以近年來各地中考題為例，分考點進行了詳細說明，深度挖掘了解題中的數(shù)學思想方法，同時對今后不等式在中考中所考查的知識點和題型做出了預測，希望能對教師和學生關于這部分內容的復習有所幫助．

不等式 中考考點 知識鏈接 考點預測

一元一次不等式與一元一次不等式組是初中數(shù)學的重要基礎知識，在近幾年的中考中，填空題、選擇題、解答題均有涉及，分值占試卷總分值的8%左右．(1)不等式的基本性質、不等式解集的概念一般以選擇題、填空題的形式進行考查，命題也比較基礎；(2)解不等式(組)或不等式(組)的整數(shù)解的知識以選擇題、填空題和解答題的方式考查，常常結合數(shù)軸，利用數(shù)形結合的思想來命題；(3)不等式(組)的應用題是近幾年中考的熱點，多以解答題出現(xiàn)，這類問題往往與一次函數(shù)、方程組等知識綜合考查，命題難度也相對大一些．下面筆者就這部分的內容在近幾年中考的考查情況進行逐一剖析．

考點一：不等關系及不等式的性質

基礎知識鏈接：(1)列不等式，先設未知數(shù)再用代數(shù)式表示相關的量，通過尋找不等關系列不等式．審題時要注意抓住關鍵詞，如“大于”“不超過”“不小于”等．(2)不等式的性質是解一元一次不等式(組)的主要依據(jù)．不等式的兩邊都乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向要改變．當不能明確不等式兩邊同乘(或除以)的是什么數(shù)時，就要進行分類討論．

例1 (2015·湖南懷化)下列不等式變形正確的是

( )

A.由a>b得ac>bc

B.由a>b得-2a>-2b

C.由a>b得-a<-b

D.由a>b得a-2

解析：A.因為c的正負不確定，所以由a>b得ac>bc不正確，因為a>b，所以①c>0時，ac>bc；②c=0時，ac=bc；③c<0時，ac

B.不等式的兩邊同時乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變．因為a>b，所以-2a<-2b，則選項B不正確.

C.因為a>b，所以-a<-b，則選項C正確.

D.不等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變．因為a>b，所以a-2>b-2，則選項D不正確．故選C．

評析：此題主要考查了不等式的基本性質.(1)不等式的兩邊同時乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變；(2)不等式的兩邊同時乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變；(3)不等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變．

( )

(1) (2)圖1

解析：注意到a+c>b+c,所以a>b．又根據(jù)圖1(1)知b>c，故a>b>c．選A正確．

評析：靈活運用不等式的基本性質，先將三種物體轉化為數(shù)量關系，再進行大小比較，是本題解題的關鍵．

考點預測：中考題主要考查用不等式表示常見的不等關系，題型主要以填空題、選擇題為主，更多的是將不等式滲透到其他數(shù)學知識中進行考查．另外，從實際生活中歸納不等式模型[1]是今后中考的熱點．

考點二：一元一次不等式(組)的解集

基礎知識鏈接：(1)使不等式(組)成立的未知數(shù)的取值范圍是不等式的解集．(2)明確不等式的解與解集的區(qū)別．用數(shù)軸表示不等式解集時，要抓住兩點：一是定邊界點，注意點是實心還是空心；二是定方向．

例3 (2016 ·甘肅平?jīng)?在數(shù)軸上表示不等式x-1<0的解集，正確的是

( )

解析：解不等式x-1<0得x<1，故選C．

(1) 用不等式表示：一般地，一個含未知數(shù)的不等式有無數(shù)個解，其解集是一個范圍，這個范圍可用最簡單的不等式表達出來，例如x-1≤2的解集是x≤3．

(2) 用數(shù)軸表示：不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，形象地說明不等式有無限多個解，用數(shù)軸表示不等式的解集要注意一是定邊界點，二是定方向[2]．

(3)能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫作不等式的解．

( )

解析：分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)“大于向右，小于向左，包括端點用實心，不包括端點用空心”的原則即可得答案．解不等式2x-1≥5，得x≥3,解不等式8-4x<0，得x>2，故不等式組的解集為x≥3．故選C．

評析：不等式組解集在數(shù)軸上的表示方法：把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(>，≥向右畫；<，≤向左畫)，數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”“≤”要用實心圓點表示；“<”“>”要用空心圓點表示．

( )

A.m≥1 B.m≤1 C.m≥0 D.m≤0

評析：此題考查了不等式的解集，熟練掌握不等式組取解集的方法是解本題的關鍵．

考點預測：不等式或不等式組的解集常常與數(shù)軸緊密聯(lián)系在一起，考查的要點主要是給出不等式(組)的解集，用數(shù)軸表示出來，運用數(shù)形結合思想進行分析．

考點三：一元一次不等式(組)的解法

基礎知識鏈接：在學習一元一次不等式的解法時，對比一元一次方程的解法，會降低難度，只是在系數(shù)化為1時，如果系數(shù)是負數(shù)，應注意不等號的方向要改變．解一元一次不等式組，首先求出每個不等式的解集，標在同一個數(shù)軸上，其公共部分即為不等式的解集，沒有公共部分的可視為無解．

解析：先去分母、再去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1即可求出此不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出其解集即可．

解：去分母，得 1+x<3x-3，

移項，得x-3x<-3-1，

合并同類項，得 -2x<-4，

系數(shù)化為1，得x>2，

將解集表示在數(shù)軸上如圖3所示．

圖3

評析：本題考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集的應用，解答本題的關鍵是熟練掌握解不等式的方法步驟．

解一元一次不等式與解一元一次方程的方法步驟類似，只是在利用不等式基本性質3對不等式進行變形時，要改變不等式的符號．

有兩種解題思路：

(1)可以利用不等式的基本性質，設法將未知數(shù)保留在不等式的一邊，其他項在另一邊；

(2)采用解一元一次方程的解題步驟，即去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1等．

解析：分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)“大于向右，小于向左，包括端點用實心，不包括端點用空心”的原則在數(shù)軸上將解集表示出來．

解不等式3(x+2)≥x+4，得x≥-1，

將不等式解集表示在數(shù)軸上如圖4所示．

圖4

評析：本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出不等式解集是解題的基礎，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”的原則是解答此類問題的關鍵．

解不等式①，得x≥-2，

解不等式②，得x<1，

則不等式組的解集為-2≤x<1．

所以不等式組的最大整數(shù)解為x=0．

評析：此題考查了解一元一次不等式組，以及一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．

考點預測：把握解不等式的主線，有意識地領會、感悟隱含在知識中的數(shù)學思想方法，并靈活運用數(shù)學思想方法巧妙解題．

考點四：一元一次不等式(組)的應用

基礎知識鏈接：運用一元一次不等式(組)解決實際問題，要認真閱讀題目，正確理解題意，高度抽象概括，尋找等量關系，建立數(shù)學模型，解決實際問題．注意統(tǒng)籌安排、合理決策．解決實際問題時還要考慮到解的取值應符合實際情況．

例9 (2015·廣西桂林)“全民閱讀”深入人心，好讀書，讀好書，讓人終身受益．為滿足同學們的讀書需求，學校圖書館準備到新華書店采購文學名著和動漫書兩類圖書．經(jīng)了解，20本文學名著和40本動漫書共需1520元，20本文學名著比20本動漫書多440元(注：所采購的文學名著價格都一樣，所采購的動漫書價格都一樣)．

(1)求每本文學名著和動漫書各多少元．

(2)若學校要求購買動漫書比文學名著多20本，動漫書和文學名著總數(shù)不低于72本，總費用不超過2000元，求出所有符合條件的購書方案．

解析：(1)設每本文學名著x元，動漫書y元，根據(jù)題意列出方程組解答即可；(2)根據(jù)學校要求購買動漫書比文學名著多20本，動漫書和文學名著總數(shù)不低于72本，總費用不超過2000元，列出不等式組，解答即可．

解：(1)設每本文學名著x元，動漫書y元，

答：每本文學名著為40元，每本動漫書為18元．

(2)設學校要求購買文學名著x本，動漫書為(x+20)本，根據(jù)題意可得

根據(jù)題意x的值需要取整數(shù)，

所以x取26，27，28．

方案一：文學名著26本，動漫書46本；

方案二：文學名著27本，動漫書47本；

方案三：文學名著28本，動漫書48本．

評析：本題將二元一次方程組、一元一次不等式組的運用綜合起來考查．讀懂題意，根據(jù)題意列式，再根據(jù)題意的實際情況正確求解，方可解決問題．

例10 (2016·湖南湘西)某商店購進甲、乙兩種商品，甲的進貨單價比乙的進貨單價高20元，已知20個甲商品的進貨總價與25個乙商品的進貨總價相同．

(1)求甲、乙每個商品的進貨單價；

(2)若甲、乙兩種商品共進貨100件，要求兩種商品的進貨總價不高于9000元，同時甲商品按進價提高10%后的價格銷售，乙商品按進價提高25%后的價格銷售，兩種商品全部售完后的銷售總額不低于10480元，問有哪幾種進貨方案．

(3)在條件(2)下，并且不再考慮其他因素，若甲、乙兩種商品全部售完，哪種方案利潤最大？最大利潤是多少？

解析：(1)設甲商品的進貨單價是x元，乙商品的進貨單價是y元，根據(jù)甲的進貨單價比乙的進貨單價高20元，已知20個甲商品的進貨總價與25個乙商品的進貨總價相同即可列方程組求解；(2)設甲進貨x件，乙進貨(100-x)件，根據(jù)兩種商品的進貨總價不高于9000元，兩種商品全部售完后的銷售總額不低于10480元即可列不等式組求解；(3)將銷售利潤用甲進貨的數(shù)量的函數(shù)來表示，利用函數(shù)的性質即可求解．

解：(1)設甲商品的進貨單價是x元，乙商品的進貨單價是y元．

答：甲商品的進貨單價是100元，乙商品的進貨單價是80元．

(2)設甲進貨x件，乙進貨(100-x)件．

根據(jù)題意得

解得 48≤x≤50．

又因為x是正整數(shù)，則x的正整數(shù)值是48，49或50，則有3種進貨方案．

(3)銷售的利潤w=100×10%x+80(100-x)×25%，即w=2000-10x，

則當x取得最小值48時，w取得最大值，最大值為2000-10×48=1520(元)．

此時，乙進的件數(shù)是100-48=52(件)．

答：當甲進貨48件，乙進貨52件時，最大的利潤是1520元．

評析：本題綜合考查了二元一次方程組的應用以及不等式組、一次函數(shù)的性質，正確求出甲進貨的數(shù)量的范圍是解題的關鍵．

考點預測：中考關于不等式或不等式組實際應用的考查，常常將二元一次方程組、不等式組、一次函數(shù)等知識綜合起來考查．這就要求學生要讀懂題意，正確設未知數(shù)，找到方程組或是不等式組的關系，列式求解，并能根據(jù)題目的實際意義，得出符合題意的解．

[1]中華人民共和國教育部．數(shù)學課程標準(2011年版)[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]葉旭山．“一元一次不等式組及其解法”主要教學環(huán)節(jié)的兩種設計思路[J]．福建中學數(shù)學，2015(7).

(責任編輯：李 珺)