一道高中數(shù)學期中試題的命制心路及感想①

梁淮森

?

一道高中數(shù)學期中試題的命制心路及感想①

梁淮森

(福建省南安第一中學，南安 362300)

本文通過對一道高考真題多角度、多層次的改編，深入剖析試題的命制意圖，完整呈現(xiàn)了一道高三期中立體幾何解答題的命題過程，并給出了實測追蹤及考后反思，體現(xiàn)出教師在立體幾何教學中，深入研究高考真題，把握問題本質(zhì)，滲透優(yōu)化決策思想，引導(dǎo)學生化繁為簡的必要性．

試題 設(shè)計意圖 幾何法 坐標法 優(yōu)化決策

立體幾何在高考中占據(jù)重要的地位，每年高考均有一道解答題，多以棱柱、棱錐和棱臺為載體，主要考查線面、面面位置關(guān)系的證明及線線、線面和面面夾角的求解．從2001年新課程改革開始，由于理科數(shù)學增加了空間向量這個“殺手锏”，立體幾何問題似乎一下子由較難問題變?yōu)橹袡n偏易問題．然而近幾年立體幾何問題命題趨向于綜合考查學生的空間想象能力、代數(shù)方程思想、平面解析幾何或向量的方法等．考題雖然仍以空間直角坐標系為主要的解題工具，但建系不再那么一目了然，對空間想象能力的要求大大提高，經(jīng)常出現(xiàn)對過去傳統(tǒng)的題進行視角變換或?qū)⒒緢D形的元素進行增、減等變化．很多學生遇到這類題型往往會感到不習慣，從而導(dǎo)致整體得分率較低．

由于空間直角坐標系的應(yīng)用，理科學生解立體幾何問題一般都用坐標法解決，教學中也較少介紹幾何法解題方法(一般只涉及證明平行或垂直)，因此用幾何法思考對學生來說是一大困難．在學校高三上學期期中學情調(diào)查考試中，筆者命制了高三理科數(shù)學試卷，命題按照全國高考考試說明對相關(guān)內(nèi)容的要求，試卷樣式同高考全國卷一致．根據(jù)命題的構(gòu)想要求，想要編一道不易建立空間直角坐標系的立體幾何解答題．為了設(shè)置建系難點，以幾何法解題背景下的考題進行改編命制．在試題命制過程中，感觸頗深，下面談一談此題的命制意圖、命制過程與感想，希望與同行交流探討．

一、試題內(nèi)容

1.試題展示

如圖1，三棱柱ABC-A1B1C1中，D,M分別為CC1和A1B的中點，A1D⊥CC1，側(cè)面ABB1A1為菱形，且∠BAA1=60°，AA1=A1D=2，BC=1．

圖1

(Ⅰ)證明：直線MD∥平面ABC；

(Ⅱ)求二面角B-AC-A1的余弦值．

2.試題解答

第(Ⅰ)小題的幾何法解題過程略，下面展示坐標法簡要解析．

(方法1)由勾股定理，易得CB⊥BA,CB⊥BA1，

所以CB⊥平面ABB1A1．

如圖2，取AA1中點F，以點B為原點，以BB1，BF,BC為x,y,z軸建立直角坐標系．

圖2

(方法2)如圖3，以B為原點，以BB1,BF分別為x,y軸建立空間直角坐標系，設(shè)點C(a,b,c)．

圖3

A,B,B1,A1,M各點的坐標同方法1，

C1(a+2,b,c)，所以D(a+1,b,c)．

由A1D⊥CC1，A1D=2，BC=1，

所以C(0,0,1)，C1(2,0,1)，D(1,0,1)，下同方法1．

二、命制過程

為了設(shè)置建系難點，需考慮尋找?guī)缀畏ń忸}背景下的考題． 通過對近幾年高考試卷中立體幾何解答題的研究與分析，最終決定以2011年全國卷大綱版第19題為原型進行改編．

圖4

原題：如圖4，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．

(Ⅰ)證明：SD⊥平面SAB；

(Ⅱ)求AB與平面SBC所成角的大小．

1.設(shè)置建系難點，規(guī)避直角坐標系

圖5

題目1 如圖5，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD,BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．

(Ⅰ)證明：SD⊥平面SAB；

【設(shè)計意圖】針對原題建系難的特點，意圖考查純幾何法解題．考慮到教學較少涉及空間角的幾何法求解，因此設(shè)計第(Ⅱ)小題考查直線與平面平行的判定及性質(zhì)、平面幾何知識的應(yīng)用等知識，考查轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等思想方法；考查學生的空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力等．

2.變換圖形結(jié)構(gòu)，力求一題多解

考慮到幾何體中存在線面垂直關(guān)系，把幾何體旋轉(zhuǎn)一個角度，有利于建立坐標系解題，使得題目解法多樣化．

圖6

題目2 如圖6，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD,BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．

(Ⅰ)證明：SD⊥平面SAB；

【設(shè)計意圖】變換圖形方位，引導(dǎo)學生利用第(Ⅰ)小題的結(jié)論建立空間直角坐標系，利用坐標法解決探索性問題(Ⅱ)．同時，純幾何法解本題仍然適用，使得解題多樣化．

3.變換題目設(shè)問，改變考查重點

圖7

由于空間角問題是立體幾何中的一大重點，題目2經(jīng)改變圖形結(jié)構(gòu)，建立坐標系不再是難點，可考查空間角問題．此外，綜合全國卷命題特點，其命題語言均簡潔明了，甚少考查這類探索性問題，因此考慮把第(Ⅱ)小題改換為原題的線面角問題．

題目3 如圖7，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD,BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．

(Ⅰ)證明：SD⊥平面SAB；

(Ⅱ)求AB與平面SBC所成角的大?。?/p>

【設(shè)計意圖】題目語言、圖形簡潔明了，考查直線與平面垂直、直線與平面所成的角及平面幾何知識的應(yīng)用；考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用．

4.再設(shè)建系難點，直面直角坐標系

題目3的設(shè)計已經(jīng)完全偏離了最初想要編一道不易建立空間直角坐標系的立體幾何解答題的構(gòu)想．由于第(Ⅰ)小題的引導(dǎo)作用，在題目3中建立直角坐標系變得簡單易行，因此決定去掉第(Ⅰ)小題的引導(dǎo)作用，改成平行問題．

圖8

題目4 如圖8，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD,BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1，M為SB的中點．

(Ⅰ)證明：MC∥平面SAD；

(Ⅱ) 求AB與平面SBC所成角的大?。?/p>

【設(shè)計意圖】加大難度，考查直線與平面平行、直線與平面垂直及直線與平面所成的角等知識；考查轉(zhuǎn)化與化歸思想；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力等；此外，還考查了學生合理猜想、嚴格證明的數(shù)學思想方法．

5.再變圖形設(shè)問，完善考查方位

近幾年來的全國卷立體幾何命題常以菱形為底面，考慮到這一命題特點，把題目4的四棱錐擴充成三棱柱．并且希望第(Ⅰ)小題與第(Ⅱ)小題有關(guān)聯(lián)，因此對(Ⅱ)小題再作修改．

題目5(定稿) 如圖9，三棱柱ABC-A1B1C1中，D,M分別為CC1和A1B的中點，A1D⊥CC1，側(cè)面ABB1A1為菱形，且∠BAA1=60°，AA1=A1D=2，BC=1．

圖9

(Ⅰ)證明：直線MD∥平面ABC；

(Ⅱ)求二面角B-AC-A1的余弦值．

【設(shè)計意圖】以橫放的斜三棱柱為載體，考查三棱柱的特征，空間點、線、面的位置關(guān)系，平面幾何知識的應(yīng)用，空間向量的運算及應(yīng)用等知識，實現(xiàn)對轉(zhuǎn)化與化歸思想、空間想象能力、邏輯推理能力及運算能力的考查．并要求學生能夠合理猜想、嚴格證明，綜合性較強，難度較大．

三、命題感想

1.試題特點

試題第(Ⅰ)小題可以用幾何法證明，且難度不大，對于不能建立坐標系的學生不致全軍覆沒，且第(Ⅰ)小題既可以直接證明線面平行，也可以通過構(gòu)造平面，證明面面平行以得到線面平行，具有一定的靈活機動性．

試題第(Ⅱ)小題用幾何法解題較難，適宜于建立坐標系解題．根據(jù)棱長數(shù)據(jù)易得BC⊥BA，可合理猜想BC⊥平面ABB1A1并證明，從而建立直角坐標系；也可以在平面ABB1A1選擇好x,y軸，建立未知z軸的坐標系，并設(shè)點C的坐標為(a,b,c)，利用坐標詮釋題干條件，先列方程解出a,b,c的值再求解．兩種解法分別考查了空間想象能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想，具有一定的難度．

而試題第(Ⅱ)小題所求二面角的一個半平面ABC和第一步所證平面一樣．對于能夠建立坐標系的學生，可選擇用坐標法利用法向量證明線面平行，其法向量在第二步可重復(fù)使用，降低了運算量，是一種更優(yōu)化的選擇，可以體現(xiàn)學生在審題中的觀察能力及優(yōu)化決策思想．

2.實測追蹤

本校有484名高三理科學生參加考試，第(Ⅰ)小題做對者473人，正確率高達97.7%，其中使用坐標法解題者只有1人．第(Ⅱ)小題能建立正確坐標系的學生不到100人，正確率低至20%，其中以BA,BC為坐標軸建立坐標系者共2人．

本題的幾何體以菱形為底面，學生遇到底面為菱形的幾何體時，經(jīng)常以菱形的中心為原點建立直角坐標系．受這一思維定式影響，本題在實測考查中，很多學生仍然希望以菱形中心M為原點建立坐標系，因此出現(xiàn)很多學生以MC為z軸的錯誤猜想．而方法2由于教學當中基本沒有涉及，學生都不懂得應(yīng)用．因此學生在第(Ⅱ)小題中幾乎“全軍覆沒”．

另外，學生對第(Ⅰ)小題的證明大多會使用幾何法證明，能建立直角坐標系的學生也很少會注意觀察到兩個小題中使用到同一個平面，從而做出選擇利用法向量證明線面平行的優(yōu)化決策．事實上，如果在建立直角坐標系的時候選擇以BA,BC為坐標軸，則平面ABC為坐標平面，其法向量不用求，又降低了不少的運算量．在教學中，應(yīng)注意滲透此類優(yōu)化決策思想的應(yīng)用，幫助學生提高解題效率．

3.考后反思

本題的難點在于建立空間直角坐標系，為埋伏鋪墊、設(shè)置梯度，可加入一個小題：“求證：BC⊥BA1．”這一小題有利于引導(dǎo)學生更加容易猜想到BC⊥平面ABB1A1，使題目難度下降，且變化之后的考點與原題相同．

本題在實測考查當中第(Ⅱ)小題的得分率非常低，這提醒了我們考慮教學是否應(yīng)適當注意這種不易建立直角坐標系的問題的處理方法．而本題方法2為我們提供了一個不錯的選擇，通過建立“半個直角坐標系”，把空間想象和幾何證明的難度轉(zhuǎn)化為空間坐標的運算，充分體現(xiàn)了坐標法的優(yōu)點．并且這種方法也是一個較為普適性的解題通法，值得我們推廣應(yīng)用．

四、結(jié)語

圖10

BC=1,AB=BA1=2，在這個主干圖形中易得BC⊥平面ABA1，而將基本圖形的元素進行增加變換后，以上線段長度信息變得隱蔽，線面垂直關(guān)系的發(fā)現(xiàn)變得困難．因此，在高三立體幾何的教學和復(fù)習中，教師要認真研究歷年高考試題，吃透問題的本質(zhì)，有意識地對學生熟悉的圖形進行圖形元素的增、減變換，并教會學生將圖形化繁為簡的方法，在錯綜復(fù)雜的條件信息中提煉出基本圖形，注重引導(dǎo)學生進行一題多解，以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力．

[1]黃曉琳，姚承佳．一道質(zhì)檢題的命制過程與反思[J]． 中學數(shù)學教學參考，2013(9)：48-51．

[2]佟成軍，黃明明．一次命題及考后的點滴記錄和思考[J]． 中學數(shù)學教學參考，2014(1-2)：135-137．

[3]揚蒼洲，姚承佳．一道試題的命制思路[J]． 數(shù)學教學，2011(11)：35-36，38．

[4]陳云平．高中數(shù)學試題命制的實踐與認識[J]． 數(shù)學通訊，2012(5)：52-56．

(責任編輯：李 佳)

① 本文系2015年福建省基礎(chǔ)教育課程教學研究立項課題《高中數(shù)學作業(yè)(含試卷)有效設(shè)計與講評實證研究》(立項批準號MJYKT2015—069)部分研究成果．