巧添一高 難題不難①
——解一般三角形的應(yīng)用題簡(jiǎn)析

黃雙華

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巧添一高 難題不難①
——解一般三角形的應(yīng)用題簡(jiǎn)析

黃雙華

(廣東省陽(yáng)江市實(shí)驗(yàn)學(xué)校，陽(yáng)江 529500)

求解一般三角形，通常通過(guò)添加高線將原三角形分割為直角三角形再進(jìn)行求解．但是怎么添高大可斟酌．

確定性思想 已知角 高

解三角形的前提是有直角三角形，如果是在銳角三角形和鈍角三角形中，就需要通過(guò)作輔助線的方法構(gòu)造直角三角形來(lái)求解．解三角形時(shí)作輔助線的常用方法是添加三角形的高，但是怎么添高卻大可斟酌．

解三角形首先要確定一個(gè)思想：當(dāng)一個(gè)三角形有三個(gè)獨(dú)立的條件時(shí)，此三角形就唯一確定，即滿(mǎn)足：①已知三條邊(邊邊邊)；②已知兩邊及其夾角(邊角邊)；③已知兩角及一邊(角角邊或角邊角)．需注意的是，如果已知三角形的三個(gè)角，那么該三角形不是唯一確定的，因?yàn)榈谌齻€(gè)角可以由其他兩角推導(dǎo)出來(lái)，也就是說(shuō)它們是不獨(dú)立的．以上所說(shuō)的已知角可以是已知角度，也可以是已知角的三角函數(shù)值．

當(dāng)一個(gè)三角形符合以上三種情況之一時(shí)，該三角形的其他要素也就唯一確定，原則上都可以通過(guò)計(jì)算求得．

例1 在△ABC中:

(1)當(dāng)∠A=30°，∠B=45°，AB=2時(shí)，求AC，BC；

(3)當(dāng)AB=4，BC=5,AC=6時(shí)，求cosA，S△ABC．

圖1

解：(1)如圖1，作CH⊥AB．

圖2

圖3

(3)如圖3，作CH⊥AB．

根據(jù)題意, 設(shè)AH=x,BH=4-x．

根據(jù)勾股定理有CH2=AC2-AH2=BC2-BH2,

本題的三個(gè)小問(wèn)分別對(duì)應(yīng)角邊角、邊角邊、邊邊邊型三角形．應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握這些三角形的解法，也就是通過(guò)添加高線將原三角形分割成直角三角形來(lái)求解．

確定了解三角形的指導(dǎo)思想后，還需掌握添加高線的一個(gè)技巧，即添已知角所對(duì)的高(或垂線)．

例2 已知B港口位于A觀測(cè)點(diǎn)北偏東53.2°方向，且其到A觀測(cè)點(diǎn)正北方向的距離BD的長(zhǎng)為16 km．一艘貨輪從B港口以40 km/h的速度沿如圖4所示的BC方向航行，15 min后到達(dá)C處．現(xiàn)測(cè)得C處位于A觀測(cè)點(diǎn)北偏東79.8°方向．求此時(shí)貨輪與A觀測(cè)點(diǎn)之間的距離AC的長(zhǎng)(精確到0.1 km)．

圖4

分析：在△ABC中，容易得出AB=20，BC=10，∠BAC=26.6°．本題的實(shí)質(zhì)就是在已知三角形的兩邊和一邊所對(duì)角的條件下，求第三邊AC的長(zhǎng)．

解：(方法1)如圖5，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E．

由題意得∠DAB=53.2°，∠ABC=45°，∠DAC=79.8°，BD=16 km．

圖5

在Rt△BEC中，BE2+CE2=BC2,即(20-2EC)2+EC2=102，解得EC=6或EC=10．

當(dāng)EC=10時(shí)，EA=20，不符合題意，舍去．

答：此時(shí)貨輪與A觀測(cè)點(diǎn)之間的距離AC約為13.4 km．

圖6

如圖6，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．

答: 此時(shí)貨輪與A觀測(cè)點(diǎn)之間的距離AC約為13.4 km．

【點(diǎn)評(píng)】方法1和方法2都是通過(guò)添∠BAC所對(duì)的高來(lái)解本題的(因?yàn)橐阎猼an 26.6°≈0.50)．那么是否可以過(guò)點(diǎn)A作BC的高AF？實(shí)際上，若通過(guò)點(diǎn)A作BC的高AF，就構(gòu)造了Rt△AFC和Rt△AFB,如果設(shè)FC=x或AF=x，都難以利用∠BAC=26.6°這個(gè)條件．

圖7

例3 如圖7，一條小船從港口A出發(fā)，沿北偏東45°方向航行20海里后到達(dá)B處，然后又沿北偏西30°方向航行10海里后到達(dá)C處，問(wèn)：此時(shí)小船距港口A多少海里？

解：(方法1)如圖8，過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AP，垂足為點(diǎn)E；過(guò)C點(diǎn)作CD⊥AP，垂足為點(diǎn)D，延長(zhǎng)DC交BQ于點(diǎn)F． 易知四邊形EBFD為矩形，DF=BE,DE=BF．

圖8

圖9

(方法2)如圖9，作AH⊥CB,垂足為H，易得∠ABH=75°．

【點(diǎn)評(píng)】方法1和方法2有什么區(qū)別？方法1所用為初中教學(xué)要求的特殊角運(yùn)算，而方法2用到了75°角，但對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，教材不作記憶要求，因此這個(gè)75°角的條件難以利用．

最后，注意一個(gè)細(xì)節(jié)：當(dāng)已知角是鈍角時(shí)，不能作鈍角所對(duì)的高．可把該鈍角切割，或找該角的鄰補(bǔ)角(即外角)所對(duì)的高．

如對(duì)于例3，可換個(gè)思路，把鈍角切割．

(方法3)如圖10，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AP，垂足為點(diǎn)E；過(guò)點(diǎn)C分別作CD⊥AP，CF⊥BE，垂足分別為點(diǎn)D，F(xiàn)． 易知四邊形CDEF為矩形，CD=EF,DE=CF．

圖10

在Rt△ABE中，

圖11

例4 某市在舊城改造中，計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖11所示三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購(gòu)買(mǎi)這種草皮至少需要( )．

A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元

圖12

【點(diǎn)評(píng)】這道題的背景對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)熟悉而又簡(jiǎn)單，但本題有較高的區(qū)分度，主要是因?yàn)橐阎?50°角無(wú)法切割．如圖12，要先求出150°的外角為30°，再作出20米邊上的高，根據(jù)含30°角所在直角三角形的性質(zhì)即可求出高，從而得到面積，再根據(jù)這種草皮每平方米a元即可求得結(jié)果為150a元．答案選C．

解直角三角形是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，利用解直角三角形的方法來(lái)解決一般三角形問(wèn)題，是初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，也是近幾年中考的熱點(diǎn)問(wèn)題．在解答與之相關(guān)的問(wèn)題時(shí)， 除了必須掌握直角三角形的邊角關(guān)系外，還要靈活運(yùn)用一些重要的數(shù)學(xué)思想與方法，善于在復(fù)雜的圖形中找到一個(gè)確定的一般三角形．利用添加已知角所對(duì)高的辦法添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．因此我們教師在平時(shí)的教學(xué)中，不管題目的難度如何變化，背景如何翻新，萬(wàn)變不離其宗，教會(huì)學(xué)生掌握了這個(gè)方法，也就等于掌握了解直角三角形的有力工具！

[1]陳永明．陳永明講評(píng)數(shù)學(xué)題[M]．上海：上海科技教育出版社, 2013．

(責(zé)任編輯：李 佳)

① 本文系廣東省教育科學(xué)規(guī)劃課題《滲透數(shù)學(xué)的真善美，提升初中數(shù)學(xué)教育的價(jià)值》的研究成果(課題批準(zhǔn)號(hào)2016YQJK168).