圓中線段計(jì)算的兩個(gè)解題策略

文／朱國(guó)華

計(jì)算圓中線段的長(zhǎng)度是中考常考題型，是對(duì)圓的性質(zhì)、三角函數(shù)、相似三角形、勾股定理等知識(shí)的綜合運(yùn)用。此類題目屢考屢新，但我們只需掌握兩個(gè)解題策略，便能以不變應(yīng)萬(wàn)變。

策略一：借助解直角三角形

1.利用勾股定理求解

例1如圖1，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，點(diǎn)O是AC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O，⊙O與AB相切于點(diǎn)D。求AO的長(zhǎng)。

圖1

【解析】如圖2，連接OD。在Rt△ABC中，AB==10。因?yàn)镺C⊥BC，所以BC是⊙O的切線。又因?yàn)锽D也是⊙O的切線，所以BD=BC=6，所以AD=10-6=4，且∠ADO=90°。設(shè)AO=x，則有OD=OC=8-x。在Rt△ADO中,有AD2+OD2=AO2，所以42+（8-x）2=x2，解得x=5，所以AO=5。

圖2

【點(diǎn)評(píng)】將已知量和未知量集中到直角三角形中求解，是求線段長(zhǎng)度常用的方法。本題由切線產(chǎn)生直角，形成直角三角形，建立線段關(guān)系，為用勾股定理求線段長(zhǎng)度提供了可能性。

2.利用三角函數(shù)求解

例2如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O的直徑，連接AC，sin∠BAC=AD=6，求BC的長(zhǎng)。

圖3

圖4

【點(diǎn)評(píng)】本題通過(guò)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”構(gòu)造直角三角形，建立邊角關(guān)系，再利用三角函數(shù)求解。例1 由切線產(chǎn)生直角，例2 由直徑產(chǎn)生直角。其實(shí)，“垂徑定理”“切線長(zhǎng)定理”中也有直角，希望同學(xué)們注意。

策略二：借助相似三角形

例3如圖5，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接BD、CD，過(guò)點(diǎn)D作DP∥BC，與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P。當(dāng)AB=5，AC=12 時(shí)，求線段PC的長(zhǎng)。

圖5

【點(diǎn)評(píng)】把已知線段和未知線段集中到兩個(gè)相似三角形中，利用對(duì)應(yīng)邊成比例列方程求解，是求線段長(zhǎng)度常用的方法。和圓有關(guān)的圖形中，經(jīng)常隱藏很多等角，存在著相似三角形，這就需要同學(xué)們用敏銳的眼光去發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造相似三角形，建立線段之間的關(guān)系，尋求問(wèn)題的解決方法。

對(duì)于較復(fù)雜的圓中線段求解問(wèn)題，常需對(duì)求解線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，靈活運(yùn)用這兩種策略，分而破之。希望同學(xué)們手持這兩把利劍，讓圓中線段求解問(wèn)題迎刃而解。