例談一元二次方程的審題教學(xué)

☉河南省漯河市郾城實(shí)驗(yàn)中學(xué) 周煥云

審題能力反映了一個(gè)人的思維能力，是數(shù)學(xué)素質(zhì)的具體體現(xiàn).審題能力的培養(yǎng)不是一朝一夕就能取得收效的，必須貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的始終，要有計(jì)劃、有意識(shí)地運(yùn)用科學(xué)的方法進(jìn)行長(zhǎng)期的滲透，使學(xué)生不斷地、經(jīng)常性地受到啟迪，在潛移默化中，逐步領(lǐng)悟，以提高思維能力.在平時(shí)的練習(xí)、考試中，學(xué)生在數(shù)學(xué)上失分的主要原因是審題不清，審題能力實(shí)質(zhì)上是理解能力，審題過(guò)程就是要審清題目的情節(jié)內(nèi)容和數(shù)量關(guān)系.那么怎么才能避免審題失誤呢？結(jié)合工作實(shí)踐，我認(rèn)為應(yīng)從二方面去考慮，一方面在日常教學(xué)中培養(yǎng)；另一方面在考試前強(qiáng)調(diào).審題能力的培養(yǎng)，必須有目的地滲透在日常教學(xué)中.以下談?wù)剬W(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)的審題教學(xué).

一、審題要注意條件特點(diǎn)

在解一元二次方程時(shí)，要根據(jù)方程特點(diǎn)，先擇合適、合理、簡(jiǎn)捷的方法，不要死套公式.

例1解方程x2-3x+2=0.

分析：注意到2=2·2，不難發(fā)現(xiàn)方程左邊可以分解因式，分解成（x-1）（x-2）=0，

解得x=1或x=2.

二、審題要注意題設(shè)成立的條件

審題時(shí)，要抓住題中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，尋找隱含條件.

例2一元二次方程x2-3x-1=0與x2-x+3=0的所有實(shí)數(shù)根之和為（ ）.

A.2 B.-4 C.4 D.3

錯(cuò)解：由根與系數(shù)的關(guān)系可知，在方程x2-3x-1=0中x1+x2=3，在方程x2-x+3=0中x1+x2=1，故選擇答案C.

分析：本題忽略了方程有兩實(shí)根的條件b2-4ac≥0，實(shí)際上審查題目時(shí)要突出兩實(shí)根的條件，便可意識(shí)到必須b2-4ac≥0.

故正確答案應(yīng)是D.

三、審題時(shí)要注意概念的嚴(yán)密性

概念模糊是審題不周的主要因素之一，擴(kuò)大或者縮小了概念的外延或內(nèi)涵，均易產(chǎn)生增（漏）解的情況，甚至導(dǎo)致推理錯(cuò)誤.

例3關(guān)于x的一元二次方程（1-2k）x2-2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

錯(cuò)解：因方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

所以b2-4ac＞0，

即（-2）2-4（1-2k）·（-1）＞0.

解之得k＜2.

所以當(dāng)k＜2時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根.

分析：本題忽略了二次系數(shù)不為零與負(fù)數(shù)不能開(kāi)偶次方的條件.

正確解答：b2-4ac＞0，

依題意得1-2k≠0，k+1≥0.

解之得-1≤k＜2且k≠1/2.

四、審題時(shí)要注意防止思維的片面性

解題時(shí)要善于觀察、分析問(wèn)題，要有較強(qiáng)的應(yīng)變能力，培養(yǎng)思維的機(jī)敏性和廣闊性.

例4 當(dāng)k為何值時(shí)，方程（k2-1）x2+2（k+1）x+1=0有實(shí)數(shù)根？

錯(cuò)解：因方程有實(shí)數(shù)根.

所以△=4（k+1）2-4（k2-1）＞0，解得k≥-1.

分析：本題沒(méi)有給出方程的次數(shù)，也沒(méi)有指明方程根的個(gè)數(shù)，因此應(yīng)考慮方程為一次方程和二次方程兩種情況.

正確解答：（1）當(dāng)k2-1≠0時(shí)，k≠±1.

依題意8k+8≥0.

解得k≥-1.

（2）當(dāng)k=1時(shí)，原方程化為4x+1=0，有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

（3）當(dāng)k=-1時(shí)，原方程為0x+1=0，無(wú)解.

綜上所述可知，當(dāng)k＞-1時(shí)，原方程有實(shí)根.

在考試前對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)，更加強(qiáng)學(xué)生對(duì)審題的重視.

1.審題時(shí)注意力要高度集中，思維直接指向試題，一定要眼到、手到、心到.在規(guī)定時(shí)間內(nèi)高度集中注意力，這是考試基本功之一.這種基本功的訓(xùn)練在于平時(shí).同學(xué)們自己在做練習(xí)時(shí)，包括回家做作業(yè)，不妨試試限時(shí)完成法，即規(guī)定自己在一定的時(shí)間內(nèi)，集中注意力完成練習(xí).不要有停頓，不要喝水，不要說(shuō)話.

2.審題時(shí)可以采用以下幾個(gè)步驟：（1）第一遍粗讀題，使自己大致了解題目的意思.（2）第二遍精讀題，要逐字逐句地讀，仔細(xì)理解題目中各個(gè)條件的含義.讀的過(guò)程中不妨用筆把題目中的重要條件，重要語(yǔ)句劃下來(lái)，圈出來(lái)，以提醒自己，引起重視.（3）第三遍重讀題.做完一道習(xí)題后應(yīng)回過(guò)頭來(lái)重新審題，看看哪些數(shù)據(jù)、關(guān)系還沒(méi)有用上，已用上的用得是否準(zhǔn)確；關(guān)鍵詞句的理解是否準(zhǔn)確、到位；結(jié)果是否符合題意，符合生活經(jīng)驗(yàn).

3.要學(xué)會(huì)翻譯數(shù)學(xué)題，別以為只有語(yǔ)言需要翻譯，數(shù)學(xué)同樣也需要翻譯，就是把大家覺(jué)得特別長(zhǎng)的題翻譯成自己能夠理解的簡(jiǎn)單的語(yǔ)言，把文字性的東西翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，進(jìn)一步用代數(shù)式或者是符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，有助于審題.

4.審題時(shí)要克服思維定勢(shì)的影響.考試之前，考生做了大量的題目，考試不可避免地會(huì)在某些地方令考生有似曾相識(shí)的感覺(jué)，這原本是件好事，但學(xué)生的思維定式把這變成了一件壞事.有的學(xué)生看題還沒(méi)過(guò)半，發(fā)現(xiàn)類(lèi)似的題目老師講解過(guò)，立即興奮地動(dòng)筆，有的同學(xué)甚至靠記憶老師講過(guò)的解法來(lái)依葫蘆畫(huà)瓢，誰(shuí)知道試題的其他條件、需要求證的結(jié)果已經(jīng)做過(guò)變化，錯(cuò)解是必然結(jié)果.

總之，教會(huì)學(xué)生審清題意是致勝的前提.告訴學(xué)生“粗心就等于把成功推向你的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手”.因此考試時(shí)要細(xì)之又細(xì)，慎之又慎，滴“分”不漏.審題是合理、正確解題的基礎(chǔ)，每一個(gè)問(wèn)題的解決都離不開(kāi)審題.所謂審題，即了解、熟悉和把握問(wèn)題，弄清已知和未知的關(guān)系，從而獲取解題信息，最終達(dá)到圓滿解題的目的.