淺析高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)變換

張夢(mèng)瑤

【摘 要】高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)因其變換的種類(lèi)較多、方法靈活多樣，要想完全掌握具有一定的難度。但是其基本規(guī)律卻相對(duì)固定，因而，掌握三角函數(shù)變換的基本規(guī)律并與實(shí)際運(yùn)用相結(jié)合，對(duì)三角函數(shù)的教與學(xué)具有重要意義。本文主要對(duì)高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)的變換常見(jiàn)類(lèi)型以及其相應(yīng)的幾種解題方法進(jìn)行了初步分析，以期為高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的教與學(xué)提供參考。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);三角函數(shù)變換;解題方法

三角函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，也是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，約占高考數(shù)學(xué)總分的15%左右。而三角函數(shù)因其靈活多變使得學(xué)生掌握起來(lái)難度較大，因此，掌握三角函數(shù)變換的一些基本規(guī)律，在遇到較為復(fù)雜的題型時(shí)，則可選用適當(dāng)?shù)幕竟郊敖忸}方式，將難度較高題型較為復(fù)雜的題目轉(zhuǎn)換成較為簡(jiǎn)易的基礎(chǔ)題型，促使其合理轉(zhuǎn)化，提高解題的正確率。

一、三角函數(shù)變換常見(jiàn)類(lèi)型分析

（一）“角”度的變換

在進(jìn)行三角函數(shù)變換相關(guān)的解題過(guò)程中，其角度的變換通常表現(xiàn)為對(duì)差角、和角、倍角、半角、余角、補(bǔ)角以及湊角等多種角的相互轉(zhuǎn)換，在解題過(guò)程中，角度的變換主要起紐帶作用。隨著函數(shù)角度的不斷變換，其相應(yīng)的運(yùn)算符號(hào)、次數(shù)、名稱(chēng)等都會(huì)隨之而發(fā)生變化。在三角函數(shù)題型的求解過(guò)程中，因?yàn)槠浔磉_(dá)式經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)很多相異的角，這就要求我們應(yīng)根據(jù)角度之間的和、差、半、倍、補(bǔ)、湊、余等關(guān)系，使用“已知角”來(lái)表示一些“未知角”，而后再進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，通過(guò)角的變換，使問(wèn)題能夠得以簡(jiǎn)化，進(jìn)而順利求解。

（二）函數(shù)名稱(chēng)的變換

在三角函數(shù)名稱(chēng)的變換中，切割化弦最為常見(jiàn)，通常情況下我們會(huì)選擇從化形式或者化函數(shù)入手。正弦、余弦是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，因而其應(yīng)用也最為廣泛，正切次之。一般來(lái)說(shuō)，在對(duì)三角函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行求解時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)很多不同名稱(chēng)的三角函數(shù)，這就要求我們將這些不同名的三角函數(shù)變換成同名三角函數(shù)，將其轉(zhuǎn)換到同一類(lèi)型函數(shù)有利于函數(shù)的求解，較為常用的兩種方法為“切割化弦”和“齊次弦代切”。

（三）“形”的變換

在三角函數(shù)的證明、化簡(jiǎn)或求值等運(yùn)算過(guò)程中，為簡(jiǎn)化其運(yùn)算，有時(shí)會(huì)將一些常數(shù)比如1， 等轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的三角函數(shù)形式，而后運(yùn)用相關(guān)的三角函數(shù)公式求解。這些常數(shù)中，對(duì)“1”的轉(zhuǎn)換與利用最為普遍。在對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行變換時(shí)，應(yīng)遵循從繁到簡(jiǎn)、從簡(jiǎn)入易這一規(guī)律，只有遵循這一規(guī)律，我們?cè)诜倍嗟娜呛瘮?shù)公式中才能迅速、準(zhǔn)確地找出合適的解題思路，進(jìn)而明確解題目標(biāo)，達(dá)到順利解題的最終目的。

例如2009年遼寧的高考數(shù)學(xué)題：已知tanθ=2，則sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（ ）

分析：利用題中已知條件，我們可以發(fā)現(xiàn)這道題考察的是“弦化切”的相關(guān)知識(shí)，因此，可利用題目中給出的整式中其分母為“1”這一條件，將常數(shù)“1”轉(zhuǎn)化成sin2α+cos2α，將求解問(wèn)題由復(fù)雜轉(zhuǎn)換成簡(jiǎn)易，進(jìn)而順利解題。

二、高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)變換幾種較為常見(jiàn)的解題方法分析

（一）“切函數(shù)”和“弦函數(shù)”之間的相互轉(zhuǎn)換

“切函數(shù)”和“弦函數(shù)”這兩者之間的轉(zhuǎn)換是我們?cè)趯?duì)三角函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行求解時(shí)經(jīng)常使用的兩種進(jìn)行函數(shù)變換的基本方法。如果在三角函數(shù)式中存在正切函數(shù)，那么學(xué)生在解題時(shí)，則可對(duì)三角函數(shù)的基本關(guān)系加以利用，將“弦函數(shù)”轉(zhuǎn)換成“切函數(shù)”或?qū)ⅰ扒泻瘮?shù)”轉(zhuǎn)換成“弦函數(shù)”的方式來(lái)完成對(duì)題目的簡(jiǎn)化、證明、求值等運(yùn)算。

（二）角的等量轉(zhuǎn)換

在三角函數(shù)的求解過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)注意題目中已知角與所求解的角之間的關(guān)系，可適當(dāng)使用拼角、拆角等技巧，比如α=（α+β）-β= =β-（β-α）;2β（α+β）-（α-β）等都是對(duì)拼角、湊角等三角函數(shù)解題技巧的靈活運(yùn)用。

（三）公式的逆用及變用

在三角函數(shù)的求解過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)有些題目要求我們對(duì)公式進(jìn)行逆用或者相應(yīng)地轉(zhuǎn)變，對(duì)題目的求解往往由復(fù)雜變?yōu)楹?jiǎn)易。但是，很多學(xué)生對(duì)公式的變通未能熟練掌握，極易出現(xiàn)失誤。因此，學(xué)生對(duì)2sin2x=1-cos2x以及2cos2x=1+cos2x等此類(lèi)三角函數(shù)公式應(yīng)當(dāng)熟練掌握，以提高解題效率。

（四）輔助角公式的引入

引入輔助角公式指的是在三角函數(shù)的變換過(guò)程中，對(duì)兩角及其相同兩角之間正弦或余弦公式進(jìn)行形式的變換，此方法是求解三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間等值的極為有效的一種解題手段。

正如三角函數(shù)式中我們將αsinα+bcosα變換成 sin（α+φ）這種形式，在這一三角函數(shù)式中φ就是所謂的輔助角，其角的大小是由tanφ來(lái)確定。

三、總結(jié)

在高中數(shù)學(xué)的三角函數(shù)中，無(wú)論是對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)、證明抑或是求值，其求解的過(guò)程均是由繁入簡(jiǎn)、由難到易、由已知向未知轉(zhuǎn)化的一個(gè)過(guò)程。因此，掌握其基本規(guī)律，適當(dāng)運(yùn)用相關(guān)解題技巧，如弦、切函數(shù)的相互轉(zhuǎn)換;不同名函數(shù)化同名;切割化弦;公式逆用以及輔助角公式的運(yùn)用等，通過(guò)進(jìn)行轉(zhuǎn)換找出其差異與共同點(diǎn)，減少函數(shù)類(lèi)型，減低題目難度，從而達(dá)到對(duì)三角函數(shù)問(wèn)題順利求解的目的。

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