托馬斯·貝葉斯對概率原理的證明嘗試

□程獻禮

(河南大學哲學與公共管理學院,河南 開封 475001)

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托馬斯·貝葉斯對概率原理的證明嘗試

□程獻禮

(河南大學哲學與公共管理學院,河南 開封 475001)

【摘要】從原著入手往往可以發(fā)現(xiàn)作者的本意，對托馬斯貝葉斯思想的解讀也不例外。作為向經(jīng)驗學習的一種規(guī)范性理論，貝葉斯關注的是逆推理問題。從貝葉斯的基本概念——概率的兩個定義入手，結合Shafer的對該問題的論述，重新解讀貝葉斯對概率原理的證明嘗試。不管選擇實施的機會變化中什么樣的事件，然而貝葉斯構建的一次偶然事件B的持續(xù)出現(xiàn)將產(chǎn)生無限的增益。

【關鍵詞】概率原理；嵌套約定；貝葉斯命題

Richard Price既是托馬斯·貝葉斯(Thomas Bayes)的遺囑繼承人也是他的好朋友，在貝葉斯去世后整理了其生前的文章。Price向《皇家學會哲學學報》提交的以《論機會學說中的一個問題》(An Easy Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances)貝葉斯關于二項分布中逆概率的手稿，于1763年發(fā)表。文章提出的由限定的二項分布的觀察出發(fā)對其參數(shù)進行概率推斷的方法，被稱為“貝葉斯定理”，并推廣到二項分布以外應用之中的任何樣本分布。后來的拉普拉斯(1774年)，把該方法推廣到一般形式。

由于代表在觀察到任何數(shù)據(jù)之前對參數(shù)信念度的分布，因此，個人對參數(shù)所認定的分布成為他的先驗分布。貝葉斯定理給出了關于更新參數(shù)值的一個先驗分布，從而得到參數(shù)后驗分布(即觀察到于未知參數(shù)值有關的實驗結果之后所確定的分布)的數(shù)學方法。該方法給出了按照新的信息對某個參數(shù)的信念度修正或更新的工具，這是一個將經(jīng)驗知識或隨機過程理論上的理解和觀察數(shù)據(jù)加以綜合的過程，所以它是一個向經(jīng)驗學習的規(guī)范性理論。該原理無疑改變了人們對推理的認識，開創(chuàng)了一個推理研究的新時代。

1問題的產(chǎn)生

Price給貝葉斯論文取的題目并沒有真正的體現(xiàn)貝葉斯文章的真實目的。直到貝葉斯論文受到廣泛關注的新時期，有關機會學說的絕大部分著作還糾結于所謂的“直接推理”中：即，已知某個機會的基礎概率，計算特定實驗次數(shù)后某特定結果出現(xiàn)的概率，或計算出為達到某期望水平結果的可能所需重復的次數(shù)。貝葉斯的論文關注的是逆推理問題：已知控制實驗的可觀察結果，推出，某一給定的實驗中某個機會設置(chance setup)產(chǎn)生此特定類型項目的可能性。更準確地說，貝葉斯為他自己設置的問題是——“給定一個事件發(fā)生和失敗的次數(shù)，求其在一次實驗中發(fā)生的概率位于兩個任意指定的概率度之間的概會”[1]188。不難發(fā)現(xiàn)，貝葉斯認為，與計算出一個可定義數(shù)值的直接概率問題的答案一樣，他問題的解決方案也不得不用相同的“項”來表達。

Price告訴我們，“貝葉斯先生想以對這些就會的普遍規(guī)則的證明來開始他的工作，他認為這是合適的。這樣做的理由，正像他在導言部分說的，不僅僅是使讀者在其他地方查找他給出的那些原則不至于有麻煩，而且考慮到他們不知道什么地方能對這些規(guī)則的清楚說明提供參考”[1]187。G.A.Barnard說“后面幾頁中給出的貝葉斯論文，應該作為科學史上最著名的回憶錄之一，它所討論的問題今天人有著激烈的爭議”*S詹姆斯·普雷斯.貝葉斯統(tǒng)計學——原理、模型及應用，廖文、陳安貴等譯，北京：中國統(tǒng)計出版社，1992年，第181頁。?！叭欢哂兄S刺意味的是，文章中貝葉斯自己關于很多有爭議的假設辯護的基本觀點，已經(jīng)被包括卡爾·皮爾森(Karl Pearson)，費舍(R.A.Fisher)，哈羅德·杰弗里斯(Harold Jeffreys)和哈金(Ian Hacking)等人的評論在某些問題上所曲解”*程獻禮：《從“附注”管窺貝葉斯推理》，載《重慶理工大學學報(社會科學)》，2012年第8期(待刊)。。

為方便分析，本文把貝葉斯的論文劃分為四部分。第一部分，即貝葉斯的命題1至7，提供一個概率的定義，之后該定義被用于證明如今被作為基本的公理或理論用于計算概率的諸多概率原理；在第二部分，也就是貝葉斯命題8至9及其推論則運用這些觀念去獲取關于一個應用于完美水平的臺球桌的概率組合一些準則；第三部分由“附注”(Scholiun)組成，作為一種解決其問題的一種形式，貝葉斯努力嘗試證明從第二部分獲得的原則，他這樣做是有道理的；第四部分(貝葉斯命題10，規(guī)則及一個附錄)通過提供第2部分和第三部分出現(xiàn)的具體應用和積分的數(shù)值估計，完成解答。第一部分內(nèi)容也是本文試分析的主要內(nèi)容，第三部分(即對“附注”部分的研究)，該文作者已經(jīng)做過相關探討，有興趣的讀者可以參考相關文章。

與《從“附注”管窺貝葉斯推理》文對第三部分內(nèi)容的討論不同，本文就貝葉斯文章中第二部分的推理問題，即貝葉斯論文對該問題的主要論證，進行從定義到命題，重點分析貝葉斯對概率原理的證明嘗試，從而做出一個嶄新角度的解讀。

2貝葉斯的兩個概率定義

在貝葉斯問題上重新出現(xiàn)非難的中心困境，可以追溯到試圖產(chǎn)生于聯(lián)合概率的兩個——本文傾向于“信念度”和“客觀概率”的，一種狀態(tài)(tension)。第一個概念由論文的定義5給出，“任一事件的概率，等于予以計算的依賴于該事件發(fā)生的期望值與該事件發(fā)生時所預期的值之比”*同上，第188頁?！，F(xiàn)代貝葉斯主義者可能希望把該定義視為他們概率定義的試金石，寥寥幾個字的省略，該定義就能被冠以個人的詮釋：已給主體事件的概率是最大的，意味著在該事件發(fā)生時該主體將愿意為一個協(xié)議支付1人民幣(1RMB$)，否則則不是。但貝葉斯的限制詞“應該是”顯示，他心里所指的不是主觀或個人信念度而是趨于理性的或合理的信念度。該解讀是由貝葉斯所給出的其問題的解決方案提供了明確的不收不同主體的偏好等影響的數(shù)值這樣一個事實所支持的。

貝葉斯的立場不同于那些除了承認有限的具體信念概念定義之外，不承認任何客觀機會概念徹底的貝葉斯主義私人主義者。Price在序言中盛贊了De Moivre的工作，他幫助指出了“為說明事物的組成結構中存在固定的規(guī)則，因而世界之框架是智慧和某個智慧之神的結果，并因此證實神存在的終極原因”*同上，第186頁。。而貝葉斯應接受更高的贊譽，“由于這個問題的反問題(也稱逆問題)的解決更直接地適用于這個目的，因為它周密而精確地像我們顯示，對任何一個秩序或任何重復發(fā)生的事件，我們有理由認為這種重復或秩序是由大自然中某些固定的原因或規(guī)則導致的，而不是任何偶然的不規(guī)則的原因造成的”*同上，第186頁。。有現(xiàn)代讀者把Price的“秩序或任何重復發(fā)生的事件”解釋為產(chǎn)生穩(wěn)健頻率的機會建立的趨勢，把他的“固定的原因或規(guī)則”解釋為一種在機會建立中的固有屬性和重復實驗中可觀察頻率的重要的物理屬性。貝葉斯是否贊成此觀點，已無法確切地從他的文章中解讀出來，然而規(guī)則1中的應用給出了獨立事件屬性解釋。除非把它解讀為一種非認知、客觀機會的固定未知值的合理估計，否則，無論按照性向的，還是有限頻率，抑或其他完全不同方式的解釋，他對問題的闡述無論怎樣都讓人難以理解。

這里，難點并非貝葉斯沒有給出“客觀概率”的定義，用現(xiàn)代的說法，“客觀概率”是“自旋”和“魅力”等一樣的理論術語。該術語并不迫切需要超越從它在理論中，如，基本粒子理論中“自旋”和“粲數(shù)”，及機會方案理論中的“客觀概率”起作用所獲得的隱定義之外的任何定義。更確切地說，對貝葉斯來說困難在客觀概率的值中討論信念度?；仡櫼幌拢鹤鳛橹概傻绞录男拍疃鹊呢惾~斯概率，不管事件的形而上學狀態(tài)是什么，它們總是那些確定要發(fā)生或不發(fā)生的事件，否則，用以定義信念度的經(jīng)濟價值的期望或約定就不能兌現(xiàn)。對該難題最直接的回復就是，尋找一個用作客觀概率位于具體范圍之間事件狀態(tài)的替代事件(另文分析)。

3貝葉斯證明概率原理的嘗試

根據(jù)貝葉斯命題1的證明，給出貝葉斯推理方式的一個例子，“不一致事件”的有限可添加性原理。令A、B、C為不相容事件對，設這些事件的概率分別為a、b、c。如果我們用[RMB$P；Z]表示回報抵償P的期望或約定，事件Z出現(xiàn)的可能情況，則，該概率的指派就是指“你”將為[RMB$1；A]支付RMB$α，“你”將為[RMB$1；B]表示其支付RMB$b，為[RMB$1；C]支付RMB$c。在此條件下，貝葉斯稱，“你”將為[RMB$1；A或B或C]支付RMB$(a+b+c)。因此，由概率的定義析取事件A或B或C事件的概率就是你獨立事件概率之和。此處，因為已約定[RMB$1；A或B或C]等于三個約定[RMB$1；A]，[RMB$1；B]和[RMB$1；C]，而且三個的約定的值是三個值之和，貝葉斯論證得出的似乎是[RMB$1；A]、[RMB$1；B]及[RMB$1；C]=val[RMB$1；A]+val[RMB$1；B]+val[RMB$1；C]。作為概率公理的荷蘭賭合理性上的一部分，Schick(1986)批評了這個“值的可添加性原理”。本文現(xiàn)在不想介入這個紛爭，首先引用Schick的觀點來看，除非值的可添加性是荷蘭賭構成的一個隱含假定，其次，注意，已給在荷蘭賭的值的可添加性，貝葉斯的論證無須加入任何其他的就已經(jīng)證實了概率有限可添加性公理。但也要指出的是，貝葉斯對該問題的解決所涉及的原理比有限可添加性更有力。

命題1的推論是一個否定規(guī)則，Pr(A)+Pr(r+A)=1,該推論是由命題1依照假定val[RMB$N；A或-A]=N直接得出。該規(guī)則反過來有被用來建立命題2，該命題斷言，一個事件的概率就是，如果失敗，它沒發(fā)生時失敗的概率；當發(fā)生時，增加的概率。(P2，如果某人對事件的期望依賴于該事件的發(fā)生與否，那么該事件的概率與它失敗時的概率之比，等于該事件失敗時他所遭受的損失與該事件發(fā)生時他所獲得的收益之比)。Pr(A)=P/N指，對于“我”來說，val[RMB$N；A]=P。這就意味著：當事件沒有發(fā)生時，“我”的損失是RMB$P；而發(fā)生并獲得A時，“我”的收益是RMB$(N-P)。因此，由命題1的推論，得,

關于后續(xù)事件A和B的命題3和5，現(xiàn)代評論者分別表示為：

(1a)

(1b)

這是一個雙重難題。首先，以現(xiàn)代的眼光看，(1a)和(1b)似乎是定義而不是需要證明的實質性命題。其次，通過命題3中已經(jīng)建立的(1a)，(1b)也能通過平行證明而成立，而貝葉斯為命題5提供的證明完全不同于命題3的證明。Shafer(1982)提示，時序是理解看到的(1a)和(1b)之間差異的關鍵，但在本文看來，A和B的時序看起來沒有在貝葉斯命題3的證明中起到任何作用。解決這些困惑的另一個建議如下：對于第一個困惑，(1a)可以看作是條件概率的一個定義，但該定義急需理由或操作的依托，而這正是命題3要提供的。至于第二個困惑，命題5的證明是很不同于命題3，暗示了，在命題5中，貝葉斯在尋找多于命題3變形的(形式)。令PrB(·)表示知道B發(fā)生時由概率產(chǎn)生的結果的概率Pr(·)。從而，貝葉斯在命題5中說“我正確的概率”的大部分情況，我想，A已經(jīng)發(fā)生了，“首先發(fā)現(xiàn)，第二個事件[B]已經(jīng)發(fā)生”*S·詹姆斯·普雷斯.貝葉斯統(tǒng)計學——原理、模型及應用，廖文、陳安貴等譯，北京：中國統(tǒng)計出版社，1992年，第191頁。，或許他的本意已經(jīng)是PrB(A)了。在該符號中，命題5所涉及的是：

為了嘗試證明命題3，貝葉斯令：

并且他假設“事件1[A]發(fā)生條件下事件2[B]”*同上，第190頁。的概率，如，

則分別指的是，

val[RMB$N；AΛB]=P,

val[RMB$N；A]=a。

貝葉斯接著推出，偶然事件AΛB(根據(jù)定義5)“我的期望值為P，而在事件1[A]發(fā)生時它為b”*S·詹姆斯·普雷斯.貝葉斯統(tǒng)計學——原理、模型及應用，廖文、陳安貴等譯，北京：中國統(tǒng)計出版社，1992年，第190頁。。這樣就意味著，他說，如果事件A發(fā)生，一個人的收益為b-p，而它失敗，一個人的損失就是P。于是根據(jù)命題2，他得出,

用來得出想要的結果。該證明并不能使人信服，這是因為這里“得到”一詞與命題2中的含義不一樣。

在貝葉斯的論文中有可信理由的足夠的材料。我們很快就會看到，命題5介紹了嵌套約定[[RMB$N，C]；D](nest contract)的概念，其中當獲得D時，其收益為約定[RMB$N，C]。在計算該約定中，可以采用這兩個原則：

首先，val[[RMB$N，C]；D]=val[RMB$N,CΛD]。

val[[RMB$N，CΛD]=Pr(CΛD),

我們就得到：

由于命題5是貝葉斯論文中第二部分和第三部分的關鍵，本文將詳細檢驗貝葉斯的證明嘗試。這個嘗試是建立在命題4的基礎之上的，貝葉斯奇特的邏輯由Shafer(1982)發(fā)揚光大。設，每天有兩個相繼事件A1,B1在第一天被確定，兩個相繼事件A2,B2在第二天被確定，等以至無窮。概率Pr(Bi),i=1,2,3,…，在第i天第二個事件的出現(xiàn)假定與所有的i相等，同樣，概率Pr(AiΛBi)等于第i天兩個事件出現(xiàn)概率的合取。令Ej，j=1，2，3，…,是一個假使A在第一天發(fā)生，事件B從第j天開始發(fā)生時出現(xiàn)的事件。A1=A,B1=B,命題4表明：

(2)

Shafer的(2)對貝葉斯證明的重構是完美和簡潔的。按照Shafer的解釋，貝葉斯假設，Pr(E1)=Pr(E2)，并且，E2獨立于(A1，B1)。通過構建E1與，(A1ΛB1)∨(-B1ΛE2)因此，

Pr(E1)=Pr(A1ΛB1)+Pr(-B1ΛE2)

=Pr(A1ΛB1)+Pr(-B1)×Pr(E2)

=Pr(A1ΛB1)+(1-Pr(B1))×Pr(E2)

=Pr(A1ΛB1)+(1-Pr(B1))×Pr(E1)

(3)

第一個等式是從添加性定理(命題1)中得來的，第二個是通過獨立事件的乘法原理得來的，第三個是從否定原理(貝葉斯命題1的推論)得出來的，第四個，是由開始假定得的。等式(2)是由項的重新組合而得到的。

不管怎樣，Shafer的重構跟貝葉斯自己的證明不一樣。尤其是，貝葉斯沒有直接要求獨立事件的乘法規(guī)則；實際上，該規(guī)則一直到命題6才出現(xiàn)。為理解貝葉斯的推理，從Pr(E1)所指的就是val[[RMB$1，E1]=x。第一天，如果事件A1和B1都發(fā)生，那我就按預期得到RMB$1。但，如果這個巧合沒有發(fā)生，則“我按預期回到前面的條件，如，獲得事件2失敗預期的x”*同上，第191頁。。假設，val[RMB$1，E1]=valc,第二個預期就能解釋為嵌套約定.[val[RMB$1，E2]；-B1]因為這兩個預期“之和與我的初始概率相等”，建立命題4所需的是，嵌套約定的賦值原則(valuation principle)，即：

[val[RMB$1，E2]；-B1]=val[RMB$1；E2]×Pr(-B1)]，

這正如他所寫的指出的一樣“所以，由于x是預期，y/x就是得到它的概率，則此時的期望值為y”。由以上所述我們應得出：

[val[RMB$1，E2]；-B1]=val[RMB$1；E2Λ-E2]=Pr(E2Λ-B1)。

因而，為得到：

Pr[E2Λ-B1]=Pr(E2)×Pr(-B1)=val[RMB$1；E2]×Pr(-B1)，

看起來必須求助于獨立事件的乘法公理。

通過添加命題4，命題5的證明就完成了，該推論產(chǎn)生另外兩個等式：

PrB(E1)=PrB(A)

(4)

和

PrB(E1)=Pr(E1)

(5)

按照貝葉斯所說的，“但在這個發(fā)現(xiàn)(獲得B)*本文加。括號里的下同。之后，我獲得N(E1上偶然的報酬)的概率應為兩個相繼事件(A)中事件1在假定事件2已經(jīng)發(fā)生時的條件概率”*同上，第191頁。，第一個等式可以直接得出。而(5)的證明，更是疑點重重。首先假設，因為，那么，在知道第一個事件是否發(fā)生之前，PrB(E1)

4結論

不管選擇實施的機會變化中什么樣的事件，然而在貝葉斯的構建中基于事件B的持續(xù)出現(xiàn)將發(fā)生一次偶然的坍塌。盡管有時讓人想起“荷蘭賭”(也稱大棄賭)觀點，但當前的說法缺少他們的嘗試。遭遇在荷蘭賭中的那個“倒霉蛋”，無疑面臨破財?shù)奶幘?。畢竟偶然事件并非一個十分有力的可信賴的“拐杖”，因為它威脅著所有過于頻繁出現(xiàn)、謹慎服從概率定理的事件。貝葉斯歸謬法的另一部分是，它甚至難以引起興趣。如果，PrB(E1)>Pr(E1)，就有使一個人拒絕取消[RMB$1；RMB$2]而放棄[RMB$1；RMB$x]誘因的溢價，且這跟B事件持續(xù)的出現(xiàn)一樣反復發(fā)生。如果說拒絕采取產(chǎn)生無限收益的行動是一種遺憾，而這種遺憾似乎不是“概率論應當建立”的那種遺憾。

參考文獻：

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[5]Stigler,S.M“ThomasBayes’BayesianInference”JournaloftheRoyalStatisticalSociety,SeriesA,1982(145):250-258.

[6]S·詹姆斯·普雷斯.貝葉斯統(tǒng)計學——原理、模型及應用[M].廖文,陳安貴等譯，北京：中國統(tǒng)計出版社，1992.

[7]程獻禮.從“附注”管窺貝葉斯推理[J].重慶理工大學學報(社會科學)，2012(2).

[責任編輯：楊春艷]

TheAttempttoApprovethePrincipleofProbabilitybyThomasBayes

CHENGXian-li

(Faculty of Philosophy and Public Administration, Henan University, Kaifeng 475001, China)

Abstract:Since people often approach the writer' s own idea by studying his original works, so does the studies on Bayes' inference thought. As a normative theory to the experience, Bayes paid much attention to the Inverse inference problem. We start from the fundamental concepts, degree of beliefs and objective probability, and associate with the argument by Shafer to re-study and restitute the Bayes' approve to the Principle of Probability. Finally we found regardless of selecting what kind of events in opportunity change of implementation, an accidental event B' s continuous emergence Bayesian constructed would lead to an unlimited gain.

Key words:Principle of Probability; nest contract; Bayes' proposition

作者簡介：卞彩巍(1979-)，女，吉林長春人，碩士，現(xiàn)工作于長春師范大學，講師，研究方向：思想政治教育。

基金項目：吉林省教育廳“十二五”社會科學研究項目“共同成長視域下的吉林省高校輔導員隊伍職業(yè)化建設探究”(吉教科文合字[2015]第284號)

收稿日期：2015-07-10

【中圖分類號】B81

【文獻標識碼】A

【文章編號】1008-9101(2015)04-0004-05