基于恒定空間的地物演化規(guī)律

鐘業(yè)勛,王家耀，胡寶清

(1.廣西師范學(xué)院北部灣環(huán)境演變與資源利用省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；廣西地表過(guò)程與智能模擬重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣西 南寧 530001；2．信息工程大學(xué) 地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450052； 3.廣西測(cè)繪地理信息局，廣西 南寧 530023)

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基于恒定空間的地物演化規(guī)律

鐘業(yè)勛1，3,王家耀2，胡寶清1

(1.廣西師范學(xué)院北部灣環(huán)境演變與資源利用省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；廣西地表過(guò)程與智能模擬重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣西 南寧 530001；2．信息工程大學(xué) 地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450052； 3.廣西測(cè)繪地理信息局，廣西 南寧 530023)

摘要：在地圖制圖中必須把三維空間中的地物投影到二維平面上。不同性質(zhì)的地物之間存在著邊界。地物的邊界在二維平面上的投影為約當(dāng)閉曲線(xiàn)。在時(shí)空中存在的地物具有演化的特性。地物的演化表現(xiàn)為地物的縮小、擴(kuò)大、消失和新生。地物的演化可以通過(guò)邊界的變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。演化空間的恒定性是地物演化的普遍規(guī)律。

關(guān)鍵詞：地物演化；恒定空間；約當(dāng)曲線(xiàn);擴(kuò)大與縮小

地理空間信息是基于統(tǒng)一時(shí)空基準(zhǔn)，具有時(shí)間維、空間維和屬性維及地名特征[1]。地理空間中的各種地學(xué)實(shí)體，包括各種自然現(xiàn)象和社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，構(gòu)成了作為地圖表示對(duì)象的實(shí)體系統(tǒng)。系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、狀態(tài)、特征、行為、功能等隨時(shí)間的推移而發(fā)生的變化，稱(chēng)為系統(tǒng)的演化(evolution)。演化是系統(tǒng)的普遍特性。凡是演化都是過(guò)程，包括系統(tǒng)的發(fā)生過(guò)程、發(fā)育過(guò)程、相變過(guò)程、老化過(guò)程和消亡過(guò)程等。過(guò)程都是在時(shí)間維中展開(kāi)的。時(shí)間是一種算子，一切事物都是它的運(yùn)算對(duì)象，在時(shí)間算子作用下發(fā)生變化[2-3]。信息化時(shí)代的地圖學(xué)是一門(mén)研究利用空間圖形科學(xué)的抽象概括地反映自然和社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的空間分布、相互關(guān)系、空間關(guān)系及其動(dòng)態(tài)變化，并對(duì)空間地理環(huán)境信息進(jìn)行獲取、智能抽象、存儲(chǔ)、管理、分析、利用和可視化，以圖形和數(shù)字形式傳輸空間地理信息的科學(xué)與技術(shù)[4]。存在于空間中的地物在時(shí)間中的演化，不管是簡(jiǎn)單還是復(fù)雜的演化，總是在恒定空間條件下發(fā)生。本文是筆者基于恒定空間條件下地物演化規(guī)律的研究。

1三維空間中地物存在的形式及其在二維平面上的投影

1.1　三維空間中地物存在的形式

設(shè)Ai為具有屬性i的三維空間R3中的地物，Ai?R3∧i∈I?？臻g和時(shí)間是物質(zhì)存在的固有形式，空間、時(shí)間和物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的不可分離性已被狹義相對(duì)論證實(shí)[5]?？臻g、時(shí)間和物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的不可分離性體現(xiàn)為物質(zhì)存在必須滿(mǎn)足空間非空性和時(shí)間非負(fù)性條件[6]。Ai的空間非空性要求Ai的性質(zhì)必然不同于其鄰接地物的性質(zhì)，即?i∈Ai??j?Ai，這就表明，在Ai和Ai之間必定存在邊界BdAi，Ai的邊界BdAi的存在，使Ai獲得可以感知和測(cè)量空間位置、大小、形狀等空間廣延性特征。

1.2　三維空間中地物邊界的定義

三維空間R3中具有屬性i的地物Ai，本質(zhì)上是具有屬性i的點(diǎn)的集合，其邊界BdAi定義如下。

定義1邊界。設(shè)Ai是拓?fù)淇臻gX的子集，a∈X，如果在a的任意鄰域中，既有Ai的點(diǎn)又有X-Ai的點(diǎn)，則稱(chēng)a為Ai的邊界點(diǎn)。邊界點(diǎn)所成的集合，稱(chēng)為Ai的邊界，記為

(1)

邊界是不同性質(zhì)地物之間的分界線(xiàn)，所以Ai的補(bǔ)集(X-Ai)的屬性必定為j∈J∧j≠i。然而，由于Ai可能與多種不同性質(zhì)的地物鄰接，如居民地可以在不同部位與水域、道路、林地等鄰接，因此，邊界BdAi表現(xiàn)為

(2)

(3)

1.3　三維空間中的地物在二維平面上的投影

二維地圖是人類(lèi)認(rèn)識(shí)歷史上的飛躍，是人類(lèi)原始思維向抽象化發(fā)展的結(jié)果。有了地圖，人類(lèi)才可能把復(fù)雜的空間存在壓縮為二維的簡(jiǎn)單關(guān)系[9-10]。所有地圖都與客觀實(shí)際的兩個(gè)基本要素有關(guān)，即位置及其上面的特征[11]。在二維平面上,地物的空間位置用坐標(biāo)(x,y)表示，而地物的屬性、數(shù)量特征等，則以地圖符號(hào)的形狀、結(jié)構(gòu)、大小、色彩等視覺(jué)變量和地名注記等表示，這是地圖制圖的規(guī)則。因此，建立地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，把三維空間中的地物投影到二維平面上是制圖的必要程序。

1)覆蓋空間。

2)覆蓋空間中的地物Ai的表達(dá)式。

三維空間X中具有坐標(biāo)(x,y)的點(diǎn)，經(jīng)過(guò)投影后仍為(x,y)，即滿(mǎn)足

(4)

滿(mǎn)足式(4)的關(guān)系表明，平面上的每一個(gè)點(diǎn)，都是其上覆三維空間X中具有相同坐標(biāo)(x,y)的點(diǎn)的不動(dòng)點(diǎn)[13]。顯然，三維空間X中具有平面坐標(biāo)的點(diǎn)p(x,y)是以平面點(diǎn)p(x,y)為垂足的垂線(xiàn)li。由于地物Ai的每一點(diǎn)都存在平面坐標(biāo)(x,y)，因此，Ai可表示為過(guò)每一點(diǎn)(x,y)的垂線(xiàn)li的集合，即

(5)

而Ai的內(nèi)部和邊界則表示為

(6)

(7)

3)覆蓋空間中的地物Ai在地球橢球面上的投影。

當(dāng)p(x,y)∈Y?R2時(shí)，存在鄰域U，使得p(x,y)∈U∈f(Ai)∈Y?R2，從而得f-1(U)∈Ai∈X?R3，因?yàn)锳i是p(x,y)的最大鄰域，故得

(8)

就是Ai在平面Y?R2上的投影。

Ui的任意性使得Ai具有任意性。但每確定一個(gè)Ai，意味著確定其邊界BdAi與性質(zhì)iA，一組BdAi與iA，即每個(gè)Ai與Ui=f(Ai)具有一一對(duì)應(yīng)性。這種一一對(duì)應(yīng)性導(dǎo)致了制圖時(shí)必須對(duì)性質(zhì)iA選定，這便是專(zhuān)題的選定。例如，設(shè)H為一圓柱面，在圓柱面閉合的任意曲線(xiàn)在平面上的投影都是一個(gè)圓，必須根據(jù)制圖目的，選取某一曲線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的地物Ai，這個(gè)被選取的地物的屬性就是制圖物體，其余被舍棄的地物對(duì)此專(zhuān)題便是非制圖物體。當(dāng)Ui是一個(gè)點(diǎn)時(shí)，這點(diǎn)上的垂線(xiàn)便是Ai，它有多種性質(zhì)，可以是高程、氣溫、人口數(shù)等，選取某一性質(zhì)，便是某一性質(zhì)的專(zhuān)題地圖[14]。

2基于恒定空間的地物縮小、擴(kuò)大、消亡和新生的數(shù)學(xué)定義與地物演化規(guī)律

2.1　約當(dāng)曲線(xiàn)定理

設(shè)J是平面Y?R2上的點(diǎn)集，它是圓周的同胚像(稱(chēng)為約當(dāng)閉曲線(xiàn))，則Y-J必由兩個(gè)連通分支組成，以J作為它們的公共邊界[15]。

2.2　被約當(dāng)曲線(xiàn)分割的連通區(qū)域的表示

2.3　內(nèi)部和外部的相對(duì)性及其性質(zhì)差異

(9)

(10)

2.4　基于約當(dāng)曲線(xiàn)變換的地物演化的數(shù)學(xué)定義

設(shè)J0i為平面Y?R2上的原始約當(dāng)閉曲線(xiàn)，存在從約當(dāng)閉曲線(xiàn)J0i到J1i的變換：h:J0i→J1i，根據(jù)被J0i與J1i分開(kāi)的兩部分的大小關(guān)系，可定義地物縮小、擴(kuò)大、消失和新生。

1) 定義3地物的縮小變換。

?ai≠?，若變換h滿(mǎn)足

(11)

2)定義4地物的擴(kuò)大變換。

?ai≠?，若變換h滿(mǎn)足

(12)

3)定義5地物消失變換。

在定義3中，若變換滿(mǎn)足

(13)

4)定義6地物的新生變換。

在定義4中，若變換h滿(mǎn)足

(14)

3地物演化規(guī)律的應(yīng)用和演化空間恒定性證明

3.1　地物演化的普遍性

制圖區(qū)域內(nèi)的地物存在于空間和時(shí)間中，具有演化的必然性。現(xiàn)實(shí)世界中，地物演化的事例比比皆是：由于自然原因造成的火山、地震、泥石流、洪水災(zāi)害、森林火災(zāi)等，都會(huì)造成發(fā)生地地物地貌不同程度的變化；人類(lèi)行為引起的變化則更為普遍：城鎮(zhèn)的擴(kuò)建、道路的修筑、水利的興修、地類(lèi)的變更等，幾乎到處可見(jiàn)。凡是演化，都以某種地物的空間縮小并導(dǎo)致相關(guān)地物的等量擴(kuò)大，或某種地物的空間擴(kuò)大并導(dǎo)致相關(guān)地物的等量縮小的量變形式和地物此消彼長(zhǎng)的質(zhì)變形式出現(xiàn)。所有這些地物的縮小、擴(kuò)大、消失和新生，都可用定義3～定義6進(jìn)行刻畫(huà)和描述。

3.2　實(shí)例

圖1中各地物的性質(zhì)和邊界的設(shè)定是在滿(mǎn)足邊界兩邊的地物性質(zhì)相異條件下的隨意設(shè)定。由于滿(mǎn)足這一基本條件的設(shè)定的性質(zhì)和邊界組合無(wú)限多，因此，它可以對(duì)不同的地類(lèi)分布和關(guān)系特點(diǎn)的空間結(jié)構(gòu)進(jìn)行表達(dá)和描述。從這個(gè)意義上，圖1是演化空間恒定條件下地物演化規(guī)律的普遍性解釋。

圖1　恒定空間中的地物演化

3.3　地物演化空間恒定性證明

1)第一種證明。

(15)

任意非空集與空集的并集仍為原非空集，即

(16)

任意非空集ai與等量的非空集aj的差集恒為空集，即

(17)

從式(17)可見(jiàn)，ai的定義域使其具有多值性，而它的映射aj=h(ai)也同樣具有多值性，從而使?jié)M足ai/aj=?∧i≠j的條件無(wú)限多。由于任何地物演化的結(jié)果不增加任何非空點(diǎn)集，從變換前后的空間恒定性得證。

2)第二種證明。

制圖區(qū)域的地理坐標(biāo)在時(shí)間的進(jìn)程中是固定的，地理坐標(biāo)經(jīng)地圖投影變換成的平面直角也是固定的。圖1中各地物的演化是在矩形圖廓內(nèi)發(fā)生的，所以矩形圖廓限定的范圍就是演化空間Y，它是二維平面R2的子集，即Y?R2。?t0,t1∈T,t0≠t1?Y0=Y1=Y?R2。設(shè)t0時(shí)刻的公路A0i、林地B01、水域B02、草地B03、居民地B04的邊界分別為J0i,JB01,JB02,JB03,JB04，所有的邊界均為閉集且為連通集，故閉集為

(18)

(19)

變換前的空間Y?R2表現(xiàn)為K1和K2的并集

(20)

變換后的邊界也是連通集，其閉集的拓?fù)湫再|(zhì)不變，這時(shí)閉集為

(21)

(22)

(23)

式(20)和式(23)相等，使地物的演化空間Y?R2恒定性得證。

4結(jié)束語(yǔ)

存于空間和時(shí)間中的地物，在時(shí)間算子作用下具有演化的普遍性。任何地物的縮小(擴(kuò)大)必然導(dǎo)致相關(guān)地物的擴(kuò)大(縮小)，地物消失的同時(shí)，其空間又必定為等量的新生地物占有。

地物的縮小、擴(kuò)大、消失和新生是地物演化的主要形式。三維空間中不同性質(zhì)的地物之間存在著邊界，邊界在二維平面上的投影為約當(dāng)閉曲線(xiàn)。地物的縮小、擴(kuò)大、消失和新生，可在邊界變換條件下，通過(guò)邊界內(nèi)、外點(diǎn)集的量變和質(zhì)變進(jìn)行定義。由地物的縮小、擴(kuò)大、消失和新生體現(xiàn)的地物演化，

都是在恒定空間框架下發(fā)生的。地物演化的增量的代數(shù)和為0的變換結(jié)果是滿(mǎn)足演化空間恒定性的充要條件。地物演化的空間恒定性是地物演化的普遍規(guī)律。

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[責(zé)任編輯：郝麗英]

Evolutional law of geo-object based on constant space

ZHONG Ye-xun1,3,WANG Jia-yao2,HU Bao-qing1

(1. Key Laboratory of Beibu Gulf Environment Change and Resources Use, Ministry of Education,and Guangxi Key Laboratory of Earth Surface Processes and Intelligent Simulation,Guangxi Teachers Education University,Nanning 530001,China;2.School of Geographical Spatial Information, Information Engineering University, Zhengzhou 450052,China;3.Guangxi Regional Geographical Information Bureau of Surveying and Mapping, Nanning 530023,China)

Abstract：The geo-object needs to be projected from the 3D space to 2D plane in mapping. The boundary exists between geo-objects of different quality in 3D space. Boundary of geo-object is showed by the Jordan curve on 2D plane. The geo-object in space-time possesses the evolutional property. The evolution of geo-objects is showed by reducing or expanding and being died or newborn of geo-object. Evolution of the geo-object can be realized in the transformation of boundary. Evolutional space of constant is evolutional general law of geo-objects.

Key words：evolution of geo-object; Jordan curve; space of constant; expand and reduce

作者簡(jiǎn)介：鐘業(yè)勛(1939-)，男，教授，研究方向:地圖學(xué)理論.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41361022)；廣西科技開(kāi)發(fā)項(xiàng)目(2014DD29090)；廣西北部灣重大基礎(chǔ)專(zhuān)項(xiàng)子課題(2012GXNSFEA053001)

收稿日期：2015-07-20

中圖分類(lèi)號(hào)：P283

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1671-4679(2015)06-0001-04