圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

雷鵬

摘要：圓錐曲線方程是高中數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，其在高考數(shù)學(xué)中占有重要比重。本文通過(guò)對(duì)高中數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)類型題目，分析圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，為學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)的提升打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線參數(shù)方程 ? 高中數(shù)

學(xué)解題

DOI：

10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.09.146

圓錐曲線定義中，通過(guò)橢圓定義、雙曲線定義、圓錐曲線上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行解題。在解題的過(guò)程中，需要對(duì)上述三者有個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，樹立等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的建設(shè)，由點(diǎn)到面，促進(jìn)教學(xué)層次的深化，從而提升學(xué)生在圓錐曲線參數(shù)方程上的理解，進(jìn)而為有效解決數(shù)學(xué)難題提供重要支撐。

一、創(chuàng)新性思維：利用圓錐曲線方程解決高中數(shù)學(xué)題中常見的最值問(wèn)題

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式是通過(guò)廣泛地做題，不斷進(jìn)行數(shù)學(xué)題型的訓(xùn)練，從而獲得學(xué)習(xí)成績(jī)的提升。目前，針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)與學(xué)習(xí)進(jìn)度，通過(guò)設(shè)計(jì)典型習(xí)題，注重培養(yǎng)創(chuàng)新思維，從而舉一反三，快速提升學(xué)生對(duì)于數(shù)理認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的感知能力，使數(shù)學(xué)成績(jī)得到提升。后者更加注重人性化，以學(xué)生為中心，避免數(shù)學(xué)題練習(xí)的低質(zhì)量與低學(xué)習(xí)效率。

例1： ?橢圓

橢圓一個(gè)內(nèi)接四邊形ABCD，其各邊與坐標(biāo)軸平行，求此四邊形的最大面積與最大周長(zhǎng)。

由題目可以進(jìn)行推斷，將思路不要僅僅限于局部，啟用創(chuàng)新性思維，不斷與其他知識(shí)展開聯(lián)想，打開解題的突破點(diǎn)。

解析：根據(jù)題目可以假設(shè)A（acosθ，bsinθ），通過(guò)對(duì)四邊形的觀察，可以得到其四邊與坐標(biāo)軸分布保持平行，推斷四邊形ABCD為矩形，其面積可以表示為S=4（acosθ×bsinθ）=2absin2θ。當(dāng)S表示為最大值，sin2θ為最大值，其值為1;當(dāng)sin2θ=1時(shí)，S=2ab，四邊形ABCD的周長(zhǎng)可以表示為 L = 4（ bsinθ+ acosθ） = 4（ a2+b2）1 /2sin（θ+β）·sinβ= a÷（ a2+ b2）1 /2，cosβ= b ÷（ a2+b2）1 /2，當(dāng)sin（θ+β） 為最大值時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)為最大，sin（θ+β）值為1，LMAX=4（a2+b2）1/2

二、探索性思維：采用定義與正余弦定理求焦點(diǎn)三角形

高中數(shù)學(xué)中，存在一定數(shù)量難點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)能力提出了新的要求，要求學(xué)生在實(shí)際的解題過(guò)程中，能夠充分發(fā)揮探索性思維，通過(guò)總結(jié)與小組合作，提升數(shù)學(xué)解題能力。在圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用解題中，單一性題目較少，復(fù)合型、復(fù)雜性題目較多，難度系數(shù)也隨之增加。如何充分發(fā)揮探索性思維，需要學(xué)習(xí)不拘于形式，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的深度理解，正確把握解題的精髓。

例2：已知雙曲線

P為雙曲線上任意一點(diǎn)，∠F1PF2=θ，求△F1PF2的面積。

在本題中，在結(jié)合基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)定義的深度理解，巧用正余弦定理，進(jìn)而利用面積公式與正余弦定理得到相應(yīng)的答案。

解析：

通過(guò)與圓錐曲線中的雙曲線定義能夠得到，

即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

通過(guò)對(duì)（3）與（2）進(jìn)行分析與研究，可以

推出

在上式（1）中代入三角形面積

進(jìn)而完成此題的解答。

三、自主學(xué)習(xí)能力提升：采用圓錐曲線參數(shù)方程解決范圍問(wèn)題

高中學(xué)習(xí)階段，強(qiáng)調(diào)自主學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)相結(jié)合，通過(guò)自主學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)自身存在的問(wèn)題，并采取有效措施加以解決，從而促進(jìn)自身學(xué)習(xí)水平的提升[4]。在高中數(shù)學(xué)解題中，通過(guò)對(duì)科學(xué)思維的合理運(yùn)用，能夠?qū)?shù)學(xué)習(xí)題輕松解答。

例3 ： 橢圓方程

與x軸的正半軸相交，交點(diǎn)表示為M，如果 ? 該方程上有一點(diǎn)N，ON垂直于MP，求橢圓離心率的范圍。

學(xué)生在自主學(xué)習(xí)過(guò)程中，面對(duì)疑難問(wèn)題時(shí)不應(yīng)立即求助，依據(jù)自身對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，發(fā)揮自出探究精神，對(duì)疑難問(wèn)題提出挑戰(zhàn)，從而提升自身數(shù)學(xué)解題的能力與水平。

解析：根據(jù)題目可知。M的坐標(biāo)可以用（a，0）表示。假設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（acosθ，bsinθ），同時(shí)，結(jié)合ON⊥MP可以得到

對(duì)上式進(jìn)行化簡(jiǎn)，可以推出：

由于ON⊥MP，結(jié)合方程b2=c2-a2，所有離心率e的范圍是

四、圓錐曲線參數(shù)方程應(yīng)用過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題

圓錐曲線參數(shù)方程在應(yīng)用中強(qiáng)調(diào)對(duì)各種知識(shí)的綜合運(yùn)用，通過(guò)合理運(yùn)算思維與結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解。在此過(guò)程中，要求學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，更加注重對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)圓錐曲線參數(shù)方程相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)，應(yīng)注重多寫、多問(wèn)、多記，打下扎實(shí)的基本功，從而能夠在解題中，摸透數(shù)學(xué)題目的內(nèi)涵，快速解題。

五、結(jié)語(yǔ)：

高中數(shù)學(xué)在高中教育體系中占據(jù)著極為重要的位置，需要教師在教學(xué)活動(dòng)中，在加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)時(shí)，注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用。通過(guò)典型題目的專題講解，促進(jìn)學(xué)生成績(jī)的提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]毛芹.圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].理科考試研究：高中版，2014（21）.

[2]陳堯明.直線參數(shù)方程教學(xué)設(shè)計(jì)[J].教學(xué)月刊：中學(xué)版，2011（23）.

[3]李淑燕.用圓錐曲線的參數(shù)方程解題例談[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)：高三，2011（7）.

[4]陳傳熙.“圓錐曲線的參數(shù)方程”的教學(xué)困惑與對(duì)策分析[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2010（49）.

[5]梁偉彬.淺析直線與圓錐曲線問(wèn)題的幾種解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（5）.

（責(zé)編 ? 金 ? 東）