分類討論思想應用的四大特征

姬梁飛

（廣東省深圳市龍崗區(qū)布吉中學，廣東深圳518112）

分類討論思想應用的四大特征

姬梁飛

（廣東省深圳市龍崗區(qū)布吉中學，廣東深圳518112）

分類討論思想方法在高考綜合題中應用情況表現(xiàn)出一定的特色以及規(guī)律，其主要體現(xiàn)了四個基本的特征，即整體簡約性、標準統(tǒng)一性、不重不漏的完備性以及逐級遞次性。

分類討論；思想方法；高考數(shù)學

一、整體簡約性

在應用分類討論思想方法時，需要保證解題的完整性與簡約性。分類討論思想是人的思維活動的一種表達形式，它要求整個過程具有完整而又縝密，周詳而又簡約的特性。這既可以體現(xiàn)數(shù)學思想邏輯推理的完整性，又呈現(xiàn)了數(shù)學對完美境界不懈追求的理念。

例1-1（2012·廣東·理）若a＜1，其中集合A=｛x∈R|x＞0|｝，集合B=｛x∈R|2x2-3x（a+1）+6a＞0｝，D=A∩B.

（1）求關于集合D（采用區(qū)間表示形式）；

（2）求f（x）=2x3-3x2（a+1）+6ax在區(qū)間D內的極值點情況.

剖析：（1）欲求集合B，先求判別式△=9a2-30a+9=(3a-9) (3a-1)，然后以判別式為標準進行分類討論：

（ii）當判別式△＞0，記φ(x)=2x2-3(1+a)x+6a，其中a＜1。令φ(x)=0，則其對稱軸方程為又φ(0)=6a，若φ(0)=0，則a=0。因此結合判別式、對稱軸方程及a=0，又可以分為以下3種情況討論。

（2）求導得f′(x)=6(x-1)(x-a)，令f′(x)=0，則有x=1，與x=a。

（i）當a∈(-∞，0]時，則φ(a)=a(3-a)≤0，且φ(1)=3a-1＜0.故此時函數(shù)f（x)在區(qū)間D內不存在極值點。

間D內的極值點有兩個極值點，即極小值點為x=1，極大值點為x=a。

評注：這道題從其命制直至完整的解答過程，都展現(xiàn)了整體性與簡約性的特征，不論是對參數(shù)a所劃分的區(qū)間，還是對其中需要討論各種情形的判斷、分析都是一絲不茍，保證了整個試題既完整又簡潔。

二、標準統(tǒng)一性

這一特征要求在運用分類討論思想方法時需要注意劃分依據(jù)，所分種類要保持統(tǒng)一性。在把一個大問題進行劃分為若干個小問題的時候，需要遵循劃分的標準與口徑相互統(tǒng)一，不但要保證劃分依據(jù)的科學性，還要確保這個依據(jù)標準的一致性。

例2-2（2014·湖北·理）若函數(shù)f(x)是定義域在實數(shù)上的奇函數(shù)，若x≥0時，f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2)，若?x∈R，f(x-1)≤f(x)，那么關于實數(shù)a的取值范圍是？

剖析：當x≥0時，先把此時的函數(shù)改寫成分段函數(shù)的形式，即

再根據(jù)函數(shù)的奇偶性做出函數(shù)的圖象，由函數(shù)的圖象可以分兩種情況：

（i）函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-2a2)，(-2a2,+∞)上是單調遞增的，又由x-1≤x，所以不等式f(x-1)≤f(x)在區(qū)間(-∞,-2a2)，(-2a2, +∞)上是恒成立的。

（ii）設點A(-2a2,a2)，E(2a2,+∞)，因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2a2, 2a2)上是單調不增的，如果f(x-1)≤f(x)成立的話，只須A與E這兩點的距離（即橫坐標之差的絕對值）小于或等于1即可。因此，4a2-(-2a2)≤1，從而，故所求的實數(shù)a的取值范圍是

點評：此題就是依照函數(shù)不同的單調區(qū)間為標準，從而將解答過程劃分為兩種不同的情況進行分類討論的。

三、不漏不重的完備性

這一特征主要側重于分類討論思想過程的完備性，即一方面需要把復雜的問題分割為若干個簡單易行的小問題，另一方面又要求分類的各種情形保證恰當與縝密。這需要在運用分類討論思想方法的時候所劃分各種情形既不重復，也不出現(xiàn)丟失遺漏的現(xiàn)象，并且確保各種分類情況都是相互獨立的。這就需要高中數(shù)學教師在日常教學活動中不斷夯實學生的數(shù)學基本功，培養(yǎng)嚴謹?shù)臄?shù)學思維習慣以及良好的數(shù)學修養(yǎng)。

（一）保證分類情況不重復

（1）當x≥0時，f(x)≤0，求參數(shù)λ的最小值；

（2）若數(shù)列｛an｝的通項公式為證明：

（i）當λ=0時，則有g(x)=x，f(x)=ln(1+x)-.求導得，f′(x)

因此函數(shù)f(x)是增函數(shù)，故f(x)≥f(0)=0。

（ii）當λ＜0時，則有g′(x)=-2λx-2λ+1＞0.因此函數(shù)f(x)是增函數(shù)，故f(x)≥f(0)。

時，f′(x)＜0所以函數(shù)f(x)在x≥0時是減函數(shù)，故f(x)≥f(0)=0。綜上討論可知，當滿足題設條件時，則有λmax=。

點評：由于題設并沒有限制參變量λ的取值范圍，所以結合具體解題情況將參變量λ分成了四種情況，即λ＜0，λ=0， 0＜λ＜，以及λ≥.從而保證分類的完全性。

（二）保證分類情況不遺漏

例3-4（2010·北京·理）若f(x)=ln(1+x)-x+

（1）若k=2時，問y=f(x)在點（1，f(1)）處的切線方程：

（2）求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.

剖析：考慮到本研究的范圍，故直接探析第二個問題，函數(shù)f(x)的定義域為x∈(-1,+∞).求導得.因為參數(shù)k的大小未知，所以需要展開討論。

根據(jù)文獻資料，在試卷抽查調研此題解答情況時，發(fā)現(xiàn)許多考生要么忘記考慮函數(shù)自變量系數(shù)為零的情形，要么忘記分析k=1的情形，這就致使了許多考生在解答本題時都明顯出現(xiàn)了上面提到的遺漏現(xiàn)象。

四、逐級遞次性

某些分類討論經(jīng)過一次討論便可以完成，但有些問題在進行第一層分類討論之后，仍然不能徹底解決問題。這時就需要把上一層分類中的子項作為下一層分類中的母項，進行二次分類討論。因此，這類分類討論往往涉及雙層或多層分類的現(xiàn)象，即在第一層分類討論中又嵌套了第二層分類討論，以此類推，直到問題徹底解決為止。同時在分類討論過程中需要保證分層不能越級，按照每一層的級別依次進行分析，其中每個層次的討論都要分明、清晰。

（2）當g(x)=x2-2bx+4.其中若時，如果對任意x1∈ (0,2)，存在x2∈[1,2]，從而使得f(x1)≥g(x2)，則問實數(shù)b的取值范圍.

剖析：（1）函數(shù)f(x)的定義域x＞0，求導得，f′(x)=-記輔助函數(shù)φ(x)=ax2-x-a+1，其中x＞0。由于涉及參數(shù)a，需要分類討論：

（i）當a=0時，此時φ(x)=-x+1.其中x＞0。

①若x＞1時，則有φ(x)＜0.因此f′(x)＞0，所以函數(shù)f(x)是單調遞增的；

②若0＜x＜1時，則有φ(x)＞0.因此f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)是單調遞減的。

（ii）當a≠0時，令φ(x)=ax2-x-a+1=0，解得，x′=1，或者由a≠0,以及題設條件可以將參數(shù)變量a劃分幾個分界區(qū)間（分界點）

1）若x＞1時，則有φ(x)＜0.因此f′(x)＞0，所以函數(shù)f(x)是單調遞增的。

2）若0＜x＜1時，則有φ(x)＞0.因此f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)是單調遞減的。

在此區(qū)間上需要以參數(shù)變量b的值大小展開討論：

（i）當b＞2時，此時結合二次函數(shù)g(x)的圖象特征，則有Y=g(2)=-4b+8。令-4b+8≤f(1)，即，解得

（ii）當1≤b≤2時，此時結合二次函數(shù)g(x)的圖象特征，則有Y=g(2)=-b2+4。又因為-b2+4≥0,因此在滿足題目的條件下，函數(shù)g(x)的最小值不可能存在不大于函數(shù)f(x)的最小值-，故舍去此種情況。

（iii）當b＜1時，此時結合二次函數(shù)g(x)的圖象特征，則有Y=g(1)=-2b+5。.又因為-2b+5＞0，因此在滿足題目的條件下，函數(shù)g(x)的最小值不可能存在不大于函數(shù)f(x)的最小值故舍去此種情況。

評論：正如此題所呈現(xiàn)的分析過程，在解答此題時需要展開多層分類討論環(huán)節(jié)才能徹底的完成題目要求，單一的分類討論已經(jīng)不足以解答此題了。在高考數(shù)學最后一道綜合題中往往具有類似的情形，譬如2014年高考數(shù)學新課標II卷中的第21題，其中題目中涉及關于函數(shù)g(x)=f(2x)-4bf (x)的分類討論，當其中g(x)＞0，以及當x＞0時，然后需要求出參數(shù)b的最大值，所以解答這個問題就需要展開雙層的分類討論了。

［1］張曉靜.分類討論思想在解題中的應用[J].數(shù)理化學習：高中版，2010（8）.

［2］張方東.高中數(shù)學分類討論思想的應用[J].亞太教育，2015（8）.

［責任編輯張翼翔］

G63

A

1673-9132（2016）34-0156-03

10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.34.089

姬梁飛，男，碩士，主要研究方向：基礎數(shù)學教育。