我關(guān)于探究“分式方程的解法”的新思考

徐文波

摘 要：蘇科版數(shù)學(xué)“8.5分式方程”是一堂經(jīng)典的課，這一節(jié)難點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生探究分式方程的解法和理解分式方程產(chǎn)生增根的原因。以往的教學(xué)方法都是，在解整式方程的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生采用類比的方法，得出分式方程的解法。就分式方程解法的探究方式談?wù)効捶?，這節(jié)課如果能從分式等于零的角度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出分式方程的解法。

關(guān)鍵詞：分式方程；分式；增根

蘇科版數(shù)學(xué)“8.5分式方程”是一堂經(jīng)典的課，這一節(jié)的難點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生探究分式方程的解法，并讓學(xué)生理解分式方程產(chǎn)生增根的原因。有不少老師在講公開課的時(shí)候，都會(huì)選擇這一節(jié)課。我也聽了不少這一節(jié)的公開課，有經(jīng)驗(yàn)豐富的老教師，也有年輕有為的名教師。但所聽到的課都大相徑庭，都是在讓學(xué)生模仿解整式方程的基礎(chǔ)上解分式方程，即先讓學(xué)生去分母，最后讓學(xué)生檢驗(yàn)。通過老師的耐心講解和大量練習(xí)，最后學(xué)生都知道了如何解分式方程，也知道要把根代入最簡(jiǎn)公分母去檢驗(yàn)?？珊芏鄬W(xué)生卻不能理解為什么要檢驗(yàn)，為什么要代入最簡(jiǎn)公分母里檢驗(yàn)。這里，關(guān)于這一節(jié)的教學(xué)，關(guān)于分式方程解法的探究方法，我想從“一個(gè)分式等于零”的角度談?wù)劻硗庖环N探究方式，讓學(xué)生從根本上理解分式方程的解法。

我簡(jiǎn)單地設(shè)計(jì)了如下探究過程：

探究一：如果分式=0，那么A和B應(yīng)該滿足什么條件？為什么？

這時(shí)學(xué)生在以往的知識(shí)基礎(chǔ)上很容易得出：A=0且B≠0。因?yàn)榉帜覆荒艿扔诹恪?/p>

探究二：那么如果=0，你能猜出x的值嗎？x能等于-1嗎？

在探究一的基礎(chǔ)上，學(xué)生能夠得出：x=0且x≠-1當(dāng)x=0時(shí)，x+1≠0，于是x=0就是方程的解。

探究三：你能把=0變形為=0的形式嗎？你能算出x的值嗎？x能等于-1嗎？

這時(shí)學(xué)生在老師的引導(dǎo)下能把方程左邊變形成：=0，進(jìn)而得出：x=2且x≠-1。當(dāng)x=2時(shí)，x+1≠0。于是x=2就是方程的解。

探究四：在前面的基礎(chǔ)上，你能把分式方程變形為=0嗎？你能解出分式方程嗎？分式方程呢？

對(duì)于引導(dǎo)學(xué)生把它變形為=0的形式，例如：

通分得：

移項(xiàng)得：=0，即=0。這時(shí)學(xué)生能夠得到24x-20（x+1）=0且x（x+1）≠0，得到x=5，而且當(dāng)x=5時(shí)，x（x+1）≠0。于是得到x=5就是分式方程的解。

通過這樣的引導(dǎo)，學(xué)生知道采用把一個(gè)分式方程變形為=0的形式來解分式方程，當(dāng)然這種方法很笨，很繁，可是卻能讓學(xué)生從根本上去理解“分式方程的解法”。當(dāng)然更符合學(xué)生的知識(shí)發(fā)展順序，也符合數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性、邏輯性。

接下來我們就可以在這種笨方法的基礎(chǔ)上，開始簡(jiǎn)化這種

方法。

可以讓學(xué)生觀察剛才解分式方程的過程，把和=0和24x-20（x+1）=0放在一起比較，讓學(xué)生思考我們最終解出x=5是利用哪個(gè)方程解出來的？我們又是如何得到整式方程24x-20（x+1）=0的呢？對(duì)于整式x（x+1）又有什么用呢？是最后考慮它，還是先考慮它呢？對(duì)于分式方程你認(rèn)為我們還可以怎樣去解呢？

通過這樣的引導(dǎo)，學(xué)生自然會(huì)想到，我們?cè)诮夥质椒匠痰臅r(shí)候，不如先假設(shè)最簡(jiǎn)公分母不等于零，利用等式性質(zhì)2把分母去掉，從而得到一個(gè)關(guān)于分子的整式方程，在解完關(guān)于分子的整式方程以后，然后再去考慮公分母。于是我們就得到分式方程的基本解法。

三大步驟：去分母（把分式方程變成整式方程），解整式方程，檢驗(yàn)（把整式方程解出的值代入公分母）。

于是我們就可以這樣去解分式方程：

去分母得：24x=20（x+1）

解這個(gè)整式方程得：x=5

檢驗(yàn)得：當(dāng)x=5時(shí)，最簡(jiǎn)公分母x（x+1）≠0

所以x=5就是方程的解。

接下來就是例題講解和學(xué)生練習(xí)。

以上就是我對(duì)分式方程解法的簡(jiǎn)單課堂設(shè)計(jì)，我認(rèn)為采用這種方法，能讓學(xué)生深刻感受到知識(shí)的演化過程，體會(huì)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；這種設(shè)計(jì)更符合學(xué)生的認(rèn)知情感，學(xué)生更容易接受，對(duì)知識(shí)的理解、記憶更深刻；這種設(shè)計(jì)也符合數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性、邏輯性；也符合數(shù)與式的銜接。所以我認(rèn)為對(duì)于分式方程解法的教學(xué)，這種探究方式或許更好。

編輯 孫玲娟