“無窮與悖論問題”的探究

孟偉

偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特說過：“無窮是一個永遠(yuǎn)的謎?！钡拇_，沒有誰能算出1+2+3+…+ （+∞）的答案，就算它的總和并非無窮大，它的無窮多個步驟也是難以完成的。

無窮有許多與日常直觀經(jīng)驗相悖的地方。在數(shù)學(xué)上一直有一個問題：眾所周知，烏龜跑得非常慢，而阿喀琉斯是希臘神話中的善跑者。用無窮的知識解釋，只要烏龜先跑出一段距離，無論多么的短，阿喀琉斯是永遠(yuǎn)追不上的。因為如果阿喀琉斯想追上烏龜?shù)脑?，就必須到達(dá)烏龜剛開始跑的位置，但當(dāng)他跑到烏龜開始跑的位置時，烏龜又跑出了一段距離。烏龜雖然跑得慢，但它一直在跑。所以，阿喀琉斯一遍遍的面臨著這樣的問題。雖然阿喀琉斯跑得快，但他和烏龜之間總有一段距離要跑，他只能一步步地逼近烏龜，卻不能趕超它。

顯然，這與我們的實際情況相悖，但是沒有人能指出他的問題所在。

用我們一般的認(rèn)知來想一下，烏龜首先跑出三步，大約20 m。而阿喀琉斯跑出一步，大約70 cm。這時，阿喀琉斯已經(jīng)超過了烏龜，并且會一直跑在烏龜前面。

這是我們一般的認(rèn)知，雖然可以幫助理解，但是缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茢?。這時我們可以轉(zhuǎn)變一下思維，不以烏龜所在的那一點為研究點，而研究烏龜前方的一點C，只要阿喀琉斯可以和烏龜同時到達(dá)C點，那么C點之后，阿喀琉斯會一直跑在烏龜前面。

如圖所示，我們不妨設(shè)阿喀琉斯和烏龜之間的距離為S1（S1>0），烏龜和C點的距離為S2（S2>0），阿喀琉斯的速度為v1，烏龜?shù)乃俣葹関2，且v1>v2。要想阿喀琉斯和烏龜同時到達(dá)C點，需滿足=，也就是說，因為v1>v2，所以>1。要想>1的話，需滿足S1+S2>S2，即S1>0。所以說，只要阿喀琉斯在烏龜后一段距離，總會有一個時間能和烏龜同時到達(dá)C點，而C點之后，阿喀琉斯會一直跑在烏龜前面。

編輯 謝尾合