基于Bernstein多項式的二階線性奇異邊值問題的數值解

張衛(wèi)敏

(合肥工業(yè)大學數學學院，合肥230009)

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基于Bernstein多項式的二階線性奇異邊值問題的數值解

張衛(wèi)敏

(合肥工業(yè)大學數學學院，合肥230009)

[摘要]提出了一種用Bernstein多項式來構造一類線性奇異兩點邊值問題的數值解方法.該方法不需要事先對方程進行非奇異化，且若方程的精確解為多項式時，利用這種方法可得方程的精確解.本文包含一些數值實例，并且與三次樣條法的數值計算結果進行了比較，從而說明我們提出方法的可靠性和有效性.

[關鍵詞]線性兩點奇異邊值問題； 數值解； Bernstein多項式

1引言

微分方程奇異邊值問題(BVP)在應用數學和物理學領域的應用非常廣泛，比如：氣體動力學、核物理、化學反應、原子結構、原子計算、非線性橢圓方程正徑向解研究等方面.很多問題都會涉及到下面形式的奇異邊值問題

(1)

邊界條件

y?！?0)=0和y(1)=β.

很多學者[3，5，6，7]對奇異邊值問題都進行了研究.在大多數情況下，使用解析方法很少能得到奇異兩點邊值問題的解.事實上，我們遇到的很多數學和物理學領域的問題幾乎不可能通過解析方法，而是通過各種數值逼近方法來解決.

Albasiny和Hoskins[1]通過求解一組三對角矩陣系數方程得到樣條解.Bickely[2]曾考慮使用三次樣條方法求解線性兩點邊值問題.后來，Fyfe[4]通過對Bickley提出的方法進行改善，從而提出線性邊值問題新的解決方法.與有限差分方法相比，樣條解有它的優(yōu)勢.比如，一旦計算出它的解，那么網格點之間的樣條插值的信息是可用的.Ravi Kanth和Reddy[8]討論了一種基于三次樣條函數類的奇異兩點邊值問題的數值解法.

本文主要利用Bernstein多項式逼近二階線性微分方程的精確解y(x).如果k/x，b(x)，c(x)都是解析函數，那么方程的解y(x)也是解析函數.根據多項式逼近連續(xù)函數的性質，可以用Bernstein多項式逼近二階線性微分方程的解.

2Bernstein多項式和Weierstrass第一逼近定理

作為經典分析學中經典的理論，用多項式逼近連續(xù)函數非常重要.前蘇聯數學家Korovkin提出了Weierstrass第一逼近定理，該定理給出了多項式逼近連續(xù)函數理論的證明.

假設函數f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有定義，如果存在多項式序列{Pn(x)}在[a，b]上一致收斂于f(x)，則稱f(x)在閉區(qū)間[a，b]上可以用多項式一致逼近.

應用數學分析語言，多項式一致逼近可等價表述為下面的定理：

定理(Weierstrass 第一逼近定理)設f(x)是閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數，那么，對任意給定的ε>0，總是存在多項式P(x)，使得|P(x)-f(x)|<ε對一切x∈[a，b]成立.

在這里，設區(qū)間[a，b]為[0，1]，并且，如果[0，1]上全體連續(xù)函數構成的集合為X，全體多項式構成的集合為Y，那么，現在定義映射：

Bn∶X→Y，

其中Bn(f，x)表示函數f(x)∈X在映射Bn作用下的像，它是以x為變量的n次多項式，稱為Bernstein多項式.

3基于Bernstein多項式的數值解法描述

事實上，Bernstein多項式解不一定是問題(1)的精確解y(x)，但是它可以逼近精確解，因此，不妨記(1)的Bernstein多項式近似解為如下形式

(2)

其中Bernstein基函數為

要得到Bernstein多項式，關鍵就是求出Bernstein系數yi(i=0，1，2，…，n)即可.

因為

和

根據問題(1)的邊值條件：y′(0)=0和y(1)=β，很明顯可以得到

y0=y1和yn=β.

(3)

因此，下面只要求出Bernstein系數yi(i=1，2，…，n-1)即可.

對于問題(1)為了使

更好的逼近c(x)，利用平方逼近原理，得到

(4)

顯然

為關于yi(i=1，2，…，n-1)的多元函數，那么上述問題就化為求I=I(y1，y2，…yn-1)的極值問題.

根據多元函數求極限的必要條件，得

(5)

其中

顯然，方程(5)是一個由n-1個線性方程構成的含有n-1個未知數yi(i=1，2，…，n-1)的方程組.根據方程組(5)就可以求出yi(i=1，2，…，n-1).

這樣，就可以得到線性兩點奇異邊值問題(1)的Bernstein多項式近似解

其中Bernstein基函數為

4實例與比較

在本節(jié)，通過考慮一些線性兩點奇異邊值問題的例子，對Bernstein多項式方法加以說明.

例1考慮下面的線性兩點奇異邊值問題

它的精確解是

.

當N=5，10時，Bernstein多項式數值解已經列示在表1中.通過觀察表格中的數據得知，當N=5時，Bernstein多項式近似解就已經可以很好的逼近精確解，當然隨著N的越大精確度也會進一步提高；同時，還把Bernstein多項式解與三次樣條解進行了比較，比較的結果進一步說明Bernstein多項式數值解法的優(yōu)越性.

例2考慮下面的線性兩點奇異邊值問題

它的精確解是

它的數值解在表2中給出.通過觀察得知，提出的方法得到的數值解有很好的精確性.事實上，如果線性兩點邊值問題的精確解是一個多項式，那么通過Bernstein多項式逼近得到的近似解其實就是它的精確解.

表2　例2數值解與精確解的比較

例3考慮下面的線性兩點奇異邊值問題

它的精確解是一個多項式

y(x)=1-x2.

計算結果已經在下面的表3中給出.因為該線性兩點邊值問題的解是多項式，那么就可以用Bernstein多項式直接得到精確解.

表3　例3數值解與精確解的比較

5總結與展望

微分方程線性兩點奇異邊值問題在應用數學和物理學領域的應用非常廣泛.本文的重點是以Bernstein多項式為工具，利用多項式逼近連續(xù)函數的性質，來求二階線性奇異邊值問題的數值解.所采用的方法具有如下優(yōu)點：首先，不需要對微分方程事先做非奇異化處理，其次，若方程的解析解是多項式，用該方法可得到方程的解析解而不僅僅是近似解.本文中，還給出了一些數值實例把所提出的方法得到的數值結果與其他已有方法得到的數值結果進行比較，從而得到解決此類問題的各種方法的優(yōu)缺點.

本文所提出的微分方程數值解法雖然在實際應用中具有良好的效果，但也存在著一些待解決的問題和未完成的工作.隨著微分方程數值解的不斷發(fā)展，在應用數學和物理學領域遇到的問題越來越多，這就要求我們不僅僅要解決線性問題，還有研究非線性問題.Bernstein多項式在求解線性兩點奇異邊值問題方面體現了它的優(yōu)越性，那它在解決非線性兩點奇異邊值問題方面是否仍舊保持這種特性，這將是我們以后將要繼續(xù)探究的問題.

[參考文獻]

[1]Albasiny E L， Hoskins W D. Cubic splines solutions to two-point boundary value problems [J]. Comput. J， 1969， 12 (2):151-153.

[2]Bickley W G. Piecewise cubic interpolation and two point boundary value problems [J]. Comput .J， 1968， 11(2) : 206-212.

[3]Chawla M M， Katti C P. A finite difference method for a class of singular two point boundary value problems [J]. IMA. J. Numer. Anal， 2008，36(4): 457-466.

[4]Fyfe D J. The use of cubic splines in the solution of two-point boundary value problems [J]. Comput. J， 1969， 12(2): 188-192.

[5]Gustafsson B. A numerical method for solving singular boundary value problems [J].Numer. Math， 1973， 21(4): 328-344.

[6]Jamet P. On the convergence of finite difference approximations to one dimensional singular boundary value problems [J]. Numer. Math， 1970， 14 (4):355-378.

[7]Ravi Kanth A S V， Reddy Y N. A numerical method for singular boundary value problems via Chebyshev economization [J].Appl. Math. Comput， 2003 ，146 (3) : 691-700.

[8]Ravi Kanth A S V， Reddy Y N. Cubic spline for a class of singular two-point boundary value problems [J].Applied Mathematics and Computation，2006， 170(2):733-740.

Numerical Solution for Linear Singular Two-point Boundary

Value Problems Based on Bernstein Polynomials

ZHANGWei-min

(School of Mathematics， Hefei University of Technology， Hefei 230009， China)

Abstract:We present a figure based on Bernstein polynomials in compression for a class of singular two-point boundary value problems. This method does not require non-singularity of the equation， and if the exact solution is a polynomial solution， we can get the exact solution by using this method. Some examples have been included and comparison of the numerical results made with cubic spline method. Then the reliability and efficiency of the proposed method are demonstrated by several examples.

Key words:the linear singular two point boundary value problem; the numerical solution; Bernstein polynomials

[中圖分類號]O141.81

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)05-0093-05

[收稿日期]2015-03-26