多元函數(shù)條件極值的必要條件
2016-01-28 03:06:47張冬燕王耀革張武軍
大學(xué)數(shù)學(xué) 2015年5期
張冬燕, 王耀革, 張武軍
(解放軍信息工程大學(xué)理學(xué)院，鄭州450000)
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多元函數(shù)條件極值的必要條件
張冬燕,王耀革,張武軍
(解放軍信息工程大學(xué)理學(xué)院，鄭州450000)
[摘要]推導(dǎo)證明了一般n元函數(shù)及常用的二元、三元函數(shù)在等式約束條件下用行列式表示的極值的必要條件，并從幾何上對(duì)二元、三元函數(shù)在等式約束條件下取極值的必要條件予以了直觀解釋.利用這些必要條件求解條件極值，因除去了Lagrange乘數(shù)法帶來(lái)的Lagrange乘子對(duì)解方程組的困擾，而使得最終方程組的求解變得明快簡(jiǎn)潔.
[關(guān)鍵詞]多元函數(shù)； 條件極值； 必要條件
1引言
構(gòu)造Lagrange函數(shù)，在Lagrange函數(shù)駐點(diǎn)中尋找目標(biāo)函數(shù)在等式約束條件下可能的極值點(diǎn)，Lagrange乘數(shù)法因著清晰流暢的求解思路成為求解條件極值問(wèn)題的一把利器. 但是，因?yàn)樵谇蠼釲agrange函數(shù)駐點(diǎn)過(guò)程中產(chǎn)生了由各樣方程構(gòu)成的方程組，方程組的求解成了一個(gè)難點(diǎn). 文獻(xiàn)[1-2]借助線性方程組理論給出了利用行列式簡(jiǎn)化求解二元、三元函數(shù)條件極值的方法，這種方法因減少了Lagrange乘子的干擾而使求解最終方程組變得簡(jiǎn)單,能否將此方法推廣到求解一般n元函數(shù)在多個(gè)約束條件下的條件極值呢？在此思想的啟發(fā)下，我們嘗試探討了一般n元函數(shù)在等式約束條件下用行列式表示的極值的必要條件.
2主要結(jié)論
1.1 函數(shù)u=f(x1,x2,…,xn)在k定理1.1設(shè)
f(x1,x2,…,xn),φi(x1,x2,…,xn),i=1,2,…,k
均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，φi(x1,x2,…,xn), i=1,2,…,k對(duì)各個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)不全為零，且
線性無(wú)關(guān),則u=f(x1,x2,…,xn)在條件
φi(x1,x2,…,xn)=0,i=1,2,…,k
下以點(diǎn)P0為極值點(diǎn)的必要條件是
φi(P0)=0,i=1,2,…,k
且在該點(diǎn)處矩陣
的任意n-k個(gè)k+1級(jí)子式等于零.
由文[3]知，在定理?xiàng)l件下u=f(x1,x2,…,xn)在P0處取極值的必要條件是在該點(diǎn)處滿足
分別是f(x1,x2,…,xn)=c和φi(x1,x2,…,xn)=0的法向量.下面依然尋找可簡(jiǎn)化方程組(1)的行列式.注意到方程組(1)用向量ni,i=0，1,2,…,k可表示為
n0=-(λ1n1+λ2n2+…λknk),
其中n1,n2,…,nk線性無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)n0,n1,n2,…,nk線性相關(guān)，且它們的秩等于k，于是以n0,n1,n2,…,nk為行向量的矩陣
的秩為k.而由代數(shù)學(xué)知識(shí)，矩陣秩為k的充要條件是矩陣所有k+1級(jí)子式等于零[4].這里我們要找的是方程組(1)中變量x1,x2,…,xn需滿足的等式，因此只需任取其中n-k個(gè)k+1級(jí)子式，即和方程組(2)共同構(gòu)成了極值點(diǎn)P0的坐標(biāo)需滿足的等式.
顯然，若定理中n=3，三元函數(shù)u=f(x,y,z)在條件φ(x,y,z)=0下取得極值的必要條件就是：
推論1.1設(shè)f(x,y,z),φ(x,y,z)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且φz(x,y,z)≠0(或φx,φy不全為零)，則u=f(x,y,z)在條件φ(x,y,z)=0下以點(diǎn)P0(x0,y0,z0)為極值點(diǎn)的必要條件是在該點(diǎn)滿足
證u=f(x,y,z)在約束條件下以點(diǎn)P0(x0,y0,z0)為條件極值點(diǎn)的必要條件是在該點(diǎn)滿足
(3)
n=(fx(x0,y0,z0),fy(x0,y0,z0),fz(x0,y0,z0)),
則方程組(3)的前兩個(gè)條件表明n⊥r1，n⊥r2,也就是說(shuō)在極值點(diǎn)P0(x0,y0,z0)處目標(biāo)函數(shù)的等值曲面f(x,y,z)=c與曲面Σ:φ(x,y,z)=0有公共切平面，等值曲面與曲面Σ在P0(x0,y0,z0)處的法向量共線，即在極值點(diǎn)處必有n∥r1×r2，又
從而在P0(x0,y0,z0)處有
用行列式表示即得所證結(jié)論.
1.2 函數(shù)u=f(x1,x2,…,xn)在n-1個(gè)條件φi(x1,x2,…,xn)=0,i=1,2,…,n-1下的極值
定理1.2設(shè)
f(x1,x2,…,xn),φi(x1,x2,…,xn),i=1,2,…,n-1
均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，φi(x1,x2,…,xn),i=1,2,…,n-1對(duì)各個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)不全為零，且
線性無(wú)關(guān),則u=f(x1,x2,…,xn)在φi(x1,x2,…,xn),i=1,2,…,n-1以點(diǎn)P0為極值點(diǎn)的必要條件是在該點(diǎn)處滿足
證令
由文[5]，已知條件下u=f(x1,x2,…,xn)在φi(x1,x2,…,xn),i=1,2,…,n-1下在點(diǎn)P0處取得極值的必要條件是在該點(diǎn)滿足
記f(x1,x2,…,xn)=c的法向量
則方程組(4)可表示為
n0=-(λ1n1+λ2n2+…λn-1nn-1),
其中n1,n2,…,nn-1線性無(wú)關(guān)，就是說(shuō)n0,n1,n2,…,nn-1線性相關(guān)，且它們的秩等于n-1，于是由代數(shù)學(xué)知識(shí)，由n0,n1,n2,…,nn-1構(gòu)成的n×n矩陣的行列式
從而,u=f(x1,x2,…,xn)在φi(x1,x2,…,xn),i=1,2,…,n-1以點(diǎn)P0為極值點(diǎn)的必要條件就簡(jiǎn)化為在該點(diǎn)處滿足
推論1.2設(shè)f(x,y),φ(x,y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且φy(x,y)≠0(或φx(x,y)≠0)，則函數(shù)z=f(x,y)在條件φ(x,y)=0下以點(diǎn)P0(x0,y0)為極值點(diǎn)的必要條件是在該點(diǎn)滿足等式
推論1.3設(shè)f(x,y,z),φ(x,y,z),ψ(x,y,z)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且
則u=f(x,y,z)在條件
φ(x,y,z)=0,ψ(x,y,z)=0
下以點(diǎn)P0(x0,y0,z0)為極值點(diǎn)的必要條件是在該點(diǎn)滿足
注函數(shù)的極值點(diǎn)是特性非常鮮明的幾何點(diǎn)，也可以利用多元函數(shù)條件極值點(diǎn)的幾何性質(zhì)對(duì)這兩個(gè)推論予以直觀的解釋.
(i)z=f(x,y)在條件φ(x,y)=0下以點(diǎn)P0(x0,y0)為條件極值點(diǎn)的必要條件是
用行列式表示即為所證結(jié)論.
(ii)u=f(x,y,z)在φ(x,y,z)=0，ψ(x,y,z)=0下以點(diǎn)P0(x0,y0,z0)為極值點(diǎn)的必要條件是
(6)
由φ(x,y,z)=0,ψ(x,y,z)=0知，
(7)
(8)
在極值點(diǎn)P0處的切向量，向量
n=(fx(x0,y0,z0),fy(x0,y0,z0),fz(x0,y0,z0)),n1=(φx,φy,φz),n2=(ψx,ψy,ψz)
分別是曲面
f(x,y,z)=c,φ(x,y,z)=0,ψ(x,y,z)=0
在點(diǎn)P0(x0,y0,z0)處的法向量，由上述(6),(7),(8)式知n⊥T，n1⊥T，n2⊥T，可見(jiàn)n，n1，n2同位于曲線Γ在極值點(diǎn)P0處的法平面上，即n，n1，n2共面，從而有
到此，得到了二元、三元及一般n元函數(shù)在等式約束條件下取得極值的必要條件，相比Lagrange乘數(shù)法，這些用行列式表示的條件沒(méi)有Lagrange乘子的干擾，簡(jiǎn)化了方程組的求解，降低了極值點(diǎn)的尋找難度.
[參考文獻(xiàn)]
[1]齊德鵬.一個(gè)求解條件極值問(wèn)題的極值點(diǎn)的新方法[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2013,29(4)：107-112.
[2]朱玉清,于育民. 多元函數(shù)條件極值的解法研討[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,17(3)：28-29.
[3]吳贛昌.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))[M].北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,2009：100-101.
[4]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2003：131-134.
[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2007：114-115.
[6]喬建斌,魏巍.一種Lagrange乘數(shù)法及其推廣的新證明[J].青島科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,34(3)：318-321.
[7]張秀梅.三元函數(shù)雙條件極值的一個(gè)必要條件[J].遼寧工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,32(2)：138-140.
Necessary Conditions for Constrained Extreme Value of Tri-Function
ZHANGDong-yan，WANGYao-ge，ZHANGWu-jun
(Science Institute Information Engineering University，Zhengzhou 450000, China)
Abstract:The paper provides an entire derivation of necessary conditions represented by determinant for conditional extreme value of multivariate function, binary function and ternary function under the equality constraints. And geometrical interpretations are presented to explain the necessary conditions for conditional extreme value of binary, ternary function. These necessary conditions simplify the solution of the constrained extreme value problem as they avoid the interference of Lagrange multiplicator in solving the final equation.
Key words:multivariate function; constrained extreme value; necessary conditions
[中圖分類號(hào)]O172
[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C
[文章編號(hào)]1672-1454(2015)05-0098-06
[收稿日期]2014-11-13;[修改日期]2015-07-12
定理1.1設(shè)
f(x1,x2,…,xn),φi(x1,x2,…,xn),i=1,2,…,k
均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，φi(x1,x2,…,xn), i=1,2,…,k對(duì)各個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)不全為零，且
線性無(wú)關(guān),則u=f(x1,x2,…,xn)在條件
φi(x1,x2,…,xn)=0,i=1,2,…,k
下以點(diǎn)P0為極值點(diǎn)的必要條件是
φi(P0)=0,i=1,2,…,k
且在該點(diǎn)處矩陣
的任意n-k個(gè)k+1級(jí)子式等于零.
由文[3]知，在定理?xiàng)l件下u=f(x1,x2,…,xn)在P0處取極值的必要條件是在該點(diǎn)處滿足
分別是f(x1,x2,…,xn)=c和φi(x1,x2,…,xn)=0的法向量.下面依然尋找可簡(jiǎn)化方程組(1)的行列式.注意到方程組(1)用向量ni,i=0，1,2,…,k可表示為
n0=-(λ1n1+λ2n2+…λknk),
其中n1,n2,…,nk線性無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)n0,n1,n2,…,nk線性相關(guān)，且它們的秩等于k，于是以n0,n1,n2,…,nk為行向量的矩陣
的秩為k.而由代數(shù)學(xué)知識(shí)，矩陣秩為k的充要條件是矩陣所有k+1級(jí)子式等于零[4].這里我們要找的是方程組(1)中變量x1,x2,…,xn需滿足的等式，因此只需任取其中n-k個(gè)k+1級(jí)子式，即和方程組(2)共同構(gòu)成了極值點(diǎn)P0的坐標(biāo)需滿足的等式.
顯然，若定理中n=3，三元函數(shù)u=f(x,y,z)在條件φ(x,y,z)=0下取得極值的必要條件就是：
推論1.1設(shè)f(x,y,z),φ(x,y,z)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且φz(x,y,z)≠0(或φx,φy不全為零)，則u=f(x,y,z)在條件φ(x,y,z)=0下以點(diǎn)P0(x0,y0,z0)為極值點(diǎn)的必要條件是在該點(diǎn)滿足
證u=f(x,y,z)在約束條件下以點(diǎn)P0(x0,y0,z0)為條件極值點(diǎn)的必要條件是在該點(diǎn)滿足
(3)
n=(fx(x0,y0,z0),fy(x0,y0,z0),fz(x0,y0,z0)),
則方程組(3)的前兩個(gè)條件表明n⊥r1，n⊥r2,也就是說(shuō)在極值點(diǎn)P0(x0,y0,z0)處目標(biāo)函數(shù)的等值曲面f(x,y,z)=c與曲面Σ:φ(x,y,z)=0有公共切平面，等值曲面與曲面Σ在P0(x0,y0,z0)處的法向量共線，即在極值點(diǎn)處必有n∥r1×r2，又
從而在P0(x0,y0,z0)處有
用行列式表示即得所證結(jié)論.
1.2 函數(shù)u=f(x1,x2,…,xn)在n-1個(gè)條件φi(x1,x2,…,xn)=0,i=1,2,…,n-1下的極值
定理1.2設(shè)
f(x1,x2,…,xn),φi(x1,x2,…,xn),i=1,2,…,n-1
均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，φi(x1,x2,…,xn),i=1,2,…,n-1對(duì)各個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)不全為零，且
線性無(wú)關(guān),則u=f(x1,x2,…,xn)在φi(x1,x2,…,xn),i=1,2,…,n-1以點(diǎn)P0為極值點(diǎn)的必要條件是在該點(diǎn)處滿足
證令
由文[5]，已知條件下u=f(x1,x2,…,xn)在φi(x1,x2,…,xn),i=1,2,…,n-1下在點(diǎn)P0處取得極值的必要條件是在該點(diǎn)滿足
記f(x1,x2,…,xn)=c的法向量
則方程組(4)可表示為
n0=-(λ1n1+λ2n2+…λn-1nn-1),
其中n1,n2,…,nn-1線性無(wú)關(guān)，就是說(shuō)n0,n1,n2,…,nn-1線性相關(guān)，且它們的秩等于n-1，于是由代數(shù)學(xué)知識(shí)，由n0,n1,n2,…,nn-1構(gòu)成的n×n矩陣的行列式
從而,u=f(x1,x2,…,xn)在φi(x1,x2,…,xn),i=1,2,…,n-1以點(diǎn)P0為極值點(diǎn)的必要條件就簡(jiǎn)化為在該點(diǎn)處滿足
推論1.2設(shè)f(x,y),φ(x,y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且φy(x,y)≠0(或φx(x,y)≠0)，則函數(shù)z=f(x,y)在條件φ(x,y)=0下以點(diǎn)P0(x0,y0)為極值點(diǎn)的必要條件是在該點(diǎn)滿足等式
推論1.3設(shè)f(x,y,z),φ(x,y,z),ψ(x,y,z)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且
則u=f(x,y,z)在條件
φ(x,y,z)=0,ψ(x,y,z)=0
下以點(diǎn)P0(x0,y0,z0)為極值點(diǎn)的必要條件是在該點(diǎn)滿足
注函數(shù)的極值點(diǎn)是特性非常鮮明的幾何點(diǎn)，也可以利用多元函數(shù)條件極值點(diǎn)的幾何性質(zhì)對(duì)這兩個(gè)推論予以直觀的解釋.
(i)z=f(x,y)在條件φ(x,y)=0下以點(diǎn)P0(x0,y0)為條件極值點(diǎn)的必要條件是
用行列式表示即為所證結(jié)論.
(ii)u=f(x,y,z)在φ(x,y,z)=0，ψ(x,y,z)=0下以點(diǎn)P0(x0,y0,z0)為極值點(diǎn)的必要條件是
(6)
由φ(x,y,z)=0,ψ(x,y,z)=0知，
(7)
(8)
在極值點(diǎn)P0處的切向量，向量
n=(fx(x0,y0,z0),fy(x0,y0,z0),fz(x0,y0,z0)),n1=(φx,φy,φz),n2=(ψx,ψy,ψz)
分別是曲面
f(x,y,z)=c,φ(x,y,z)=0,ψ(x,y,z)=0
在點(diǎn)P0(x0,y0,z0)處的法向量，由上述(6),(7),(8)式知n⊥T，n1⊥T，n2⊥T，可見(jiàn)n，n1，n2同位于曲線Γ在極值點(diǎn)P0處的法平面上，即n，n1，n2共面，從而有
到此，得到了二元、三元及一般n元函數(shù)在等式約束條件下取得極值的必要條件，相比Lagrange乘數(shù)法，這些用行列式表示的條件沒(méi)有Lagrange乘子的干擾，簡(jiǎn)化了方程組的求解，降低了極值點(diǎn)的尋找難度.
[參考文獻(xiàn)]
[1]齊德鵬.一個(gè)求解條件極值問(wèn)題的極值點(diǎn)的新方法[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2013,29(4)：107-112.
[2]朱玉清,于育民. 多元函數(shù)條件極值的解法研討[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,17(3)：28-29.
[3]吳贛昌.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))[M].北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,2009：100-101.
[4]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2003：131-134.
[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2007：114-115.
[6]喬建斌,魏巍.一種Lagrange乘數(shù)法及其推廣的新證明[J].青島科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,34(3)：318-321.
[7]張秀梅.三元函數(shù)雙條件極值的一個(gè)必要條件[J].遼寧工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,32(2)：138-140.
Necessary Conditions for Constrained Extreme Value of Tri-Function
ZHANGDong-yan，WANGYao-ge，ZHANGWu-jun
(Science Institute Information Engineering University，Zhengzhou 450000, China)
Abstract:The paper provides an entire derivation of necessary conditions represented by determinant for conditional extreme value of multivariate function, binary function and ternary function under the equality constraints. And geometrical interpretations are presented to explain the necessary conditions for conditional extreme value of binary, ternary function. These necessary conditions simplify the solution of the constrained extreme value problem as they avoid the interference of Lagrange multiplicator in solving the final equation.
Key words:multivariate function; constrained extreme value; necessary conditions
[中圖分類號(hào)]O172
[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C
[文章編號(hào)]1672-1454(2015)05-0098-06
[收稿日期]2014-11-13;[修改日期]2015-07-12
