二維連續(xù)型隨機變量相互獨立的一個充分條件

王　群，　彭小帆

(1.電子科技大學機械電子工程學院，成都611731；　2.電子科技大學數(shù)學科學學院，成都611731)

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二維連續(xù)型隨機變量相互獨立的一個充分條件

王群1，彭小帆2

(1.電子科技大學機械電子工程學院，成都611731；2.電子科技大學數(shù)學科學學院，成都611731)

[摘要]提出了一個有關二維連續(xù)型隨機變量相互獨立的充分條件.該條件表明，如果二維連續(xù)型隨機變量在任意概率值非0的矩形區(qū)域上被標準化后滿足乘積的數(shù)學期望等于數(shù)學期望的乘積，則可推出它們是相互獨立的.

[關鍵詞]獨立性； 二維連續(xù)型隨機變量； 數(shù)學期望

1引言

隨機變量之間的相互關系研究一直是一個重要的課題，而隨機變量之間的相互獨立性是描述隨機變量之間相關關系最簡單和最基礎的性質.由獨立性的定義我們知道，對于兩個相互獨立的隨機變量，其乘積的期望等于期望的乘積，但其逆通常不正確[1].本文發(fā)現(xiàn)，如果一個二維連續(xù)型隨機變量在任意概率值非0的矩形區(qū)域上被標準化后滿足期望與乘積的運算可交換，則可推出它們是相互獨立的.這里我們并沒有依賴定義獨立性時所需要的分布性質，而是直接考察隨機變量在概率值非0的矩形區(qū)域上的數(shù)字特征.

2命題提出

若有

(1)

則隨機變量X與Y相互獨立.

3證明

為便于討論，我們將平面分成9個概率值皆不為0區(qū)域，如圖1所示.

圖1

為簡化公式令

pi,j∶=P(xi

其中i,j=0,1,2.這樣，(1)式所表示的條件可簡寫為

Ai,j(X,Y)=Ai,j(X)Ai,j(Y).

首先給出如下兩個引理：

引理1在(1)式的條件下，有

Ai,0(X)=Ai,1(X)=Ai,2(X),i=0,1,2;

A0,j(Y)=A1,j(Y)=A2,j(Y),j=0,1,2.

引理2在(1)式的條件下，有

pi,jpi+m,j+n=pi+m,jpi,j+n，

其中i,j=0,1,2且i+m,j+n∈{0,1,2}.

3.1　引理1證明

以A0,1(Y)=A1,1(Y)為例進行證明.考察區(qū)域(x0,x2)×(y1,y2)(由圖1中區(qū)域(0,1)和區(qū)域(1,1)合并構成)，由條件(1)式有

(2)

其中

和

將上面三個式子代入(2)式，化簡可得

p0,1p1,1(A0,1(X)-A1,1(X))(A0,1(Y)-A1,1(Y))=0.

由于

A0,1(X)

所以有

A0,1(Y)=A1,1(Y),

用類似的方法可證，引理1剩下的結論也是成立的.

3.2　引理2證明

考察區(qū)域{x0

(3)

其中

將上面3組等式代入(3)式中化簡并注意到引理1

A0,1(X)=A0,0(X),A1,0(Y)=A0,0(Y);

A1,0(X)=A1,1(X),A0,1(Y)=A1,1(Y).

最終化簡可得

(p0,0p1,1-p1,0p0,1)(A1,1(X)-A0,0(X))(A1,1(Y)-A0,0(Y))=0,

由于A1,1(X)-A0,0(X)>0,A1,1(Y)-A0,0(Y)>0,故

p0,0p1,1=p1,0p0,1.

(4)

用上面類似的方法考察由區(qū)域(1,0)(2,0)(1,1)(2,1)構成的區(qū)域{x1

p2,0p1,1=p1,0p2,1.

(5)

將(4)式與(5)式相乘

p0,0p1,1p1,0p2,1=p1,0p0,1p2,0p1,1，

消去兩邊的非0公共因子p1,1p1,0可得

p0,0p2,1=p0,1p2,0.

(6)

同樣的方法可以證明引理2剩余的結論.

3.3　命題證明

由(4)式和(5)式左右分別相加可得

p0,0p1,1+p2,0p1,1=p1,0p0,1+p1,0p2,1，

在上式兩邊同時加上p1,1p1,0

p1,1(p0,0+p1,0+p2,0)=p1,0(p0,1+p1,1+p2,1)，

(7)

簡化成如下分式形式

類似，有

令

(8)

借助于引理2并使用同上面類似的方法，我們可以得到如下方程組

可以證明，p0,·,p1,·,p2,·,p·,0,p·,1,p·,2就是隨機變量落在相應區(qū)域內的概率：

以(8)式為例，將分式化為乘式可得

(9)

由概率可加性已知

(p0,0+p1,0+p2,0)+(p0,1+p1,1+p2,1)+(p0,2+p1,2+p2,2)=1,

p1,0+p1,1+p1,2=P(x1

因此，將方程組(9)式兩邊相加可得

P(x1

(10)

類似，有

P(y1

(11)

最終，由(9)-(11)式有

P(x1

=p1,·p·,1=P(x1

由于{x1

4總結與結論

通常而言，兩個隨機變量乘積的期望等于期望的乘積并不能說明它們是相互獨立的[1].但是本文發(fā)現(xiàn)，如果在任意概率值非零的矩形區(qū)域上標準化后的隨機變量滿足期望與乘積的運算可交換，那么這兩個隨機變量是相互獨立的.

[參考文獻]

[1]徐全智,呂恕.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京:高等教育出版社,2010.

A Sufficient Condition for the Independence of Two-dimensional

Continuous Random Variables

WANGQun1,PENGXiao-fan2

(1.School of Mechanical Electronic and Industrial Engineering，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731, China；2. School of Mathematical Sciences，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731, China)

Abstract:We propose a sufficient condition for the independence of two-dimensional continuous random variables. This condition shows that the two-dimensional continuous random variables are independent, if the standardized random variables on any rectangular area with nonzero probability satisfy the exchangeability between the mathematical expectation and the product.

Key words:independence; two-dimensional continuous random variables; mathematical expectation

[中圖分類號]O211.5

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)05-0072-04

[基金項目]電子科技大學教育教學改革研究項目(Y02012023701299；2015XJYYB058)

[收稿日期]2015-03-30