冗余驅(qū)動(dòng)支鏈對(duì)3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的改善

崔學(xué)良　陳五一　韓先國　祝錫晶　王建青　成　全

1.中北大學(xué)，太原，030051　　2.北京航空航天大學(xué)，北京，100191

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冗余驅(qū)動(dòng)支鏈對(duì)3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的改善

崔學(xué)良1陳五一2韓先國2祝錫晶1王建青1成全1

1.中北大學(xué)，太原，0300512.北京航空航天大學(xué)，北京，100191

摘要：在考慮雅可比矩陣變化與動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)偏移之間映射關(guān)系的基礎(chǔ)上，基于螺旋理論和矢量微分法建立了3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端位姿偏移與支鏈構(gòu)件變形之間的映射模型。首先采用螺旋理論和矢量微分法分析了支鏈各構(gòu)件剛度與整個(gè)支鏈剛度之間的關(guān)系，然后建立了3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的瞬時(shí)剛度模型，并分析了雅可比矩陣的變化對(duì)機(jī)構(gòu)剛度的影響。對(duì)冗余驅(qū)動(dòng)支鏈改善并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的原理進(jìn)行了分析，建立了冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的整機(jī)剛度模型。仿真分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，冗余驅(qū)動(dòng)支鏈確實(shí)能夠改善并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度。

關(guān)鍵詞：冗余驅(qū)動(dòng)；瞬時(shí)剛度模型；矢量微分法；并聯(lián)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)；位姿偏移

0引言

少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，控制方便，具有廣闊的工程應(yīng)用前景。但由于各支鏈同時(shí)受拉和受彎，因此更易產(chǎn)生變形，這導(dǎo)致并聯(lián)機(jī)構(gòu)整體剛度變?nèi)酰┒司茸儾?。同時(shí)，由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)耦合嚴(yán)重，故難以設(shè)計(jì)全閉環(huán)控制系統(tǒng)以對(duì)其位姿偏差進(jìn)行有效補(bǔ)償。鑒于此，人們提出增加冗余驅(qū)動(dòng)支鏈來提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的方法。文獻(xiàn)[1-2]對(duì)平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了剛度分析、參數(shù)優(yōu)化和動(dòng)力學(xué)等方面研究，并采用有限元方法進(jìn)行了相關(guān)分析驗(yàn)證。文獻(xiàn)[3-4]中，研究者針對(duì)不同的空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)，提出了增加冗余驅(qū)動(dòng)支鏈以改善并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的策略，并進(jìn)行了相應(yīng)的分析和驗(yàn)證。文獻(xiàn)[5-6]分別基于虛功原理和能量守恒定理研究了冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的完整剛度模型和所有支鏈的彈性變形協(xié)調(diào)方程。文獻(xiàn)[7]通過對(duì)含驅(qū)動(dòng)和被動(dòng)冗余支鏈的三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比分析，得出了冗余驅(qū)動(dòng)支鏈能夠提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的結(jié)論。文獻(xiàn)[8-9]對(duì)冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了驅(qū)動(dòng)支鏈和整機(jī)剛度分析，并對(duì)冗余驅(qū)動(dòng)支鏈的協(xié)調(diào)驅(qū)動(dòng)力進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。

3RPS并聯(lián)機(jī)床作為一種實(shí)用化程度較高的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，已應(yīng)用于航空、汽車等制造裝配領(lǐng)域，但其剛度、精度等指標(biāo)并不比傳統(tǒng)機(jī)床高。本課題組研制了3RPS+UPS冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床，通過合理布置冗余驅(qū)動(dòng)支鏈可在消除部分奇異、增大姿態(tài)能力的同時(shí)改善整機(jī)的剛度。本文分析研究冗余驅(qū)動(dòng)支鏈對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度改善作用的機(jī)理。通過與非冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度模型比較分析可知，增加冗余驅(qū)動(dòng)支鏈確實(shí)可提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度。

13RPS+UPS冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介

3RPS+UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)及坐標(biāo)系如圖1所示。其中，oxyz為參考坐標(biāo)系，puvw為隨動(dòng)坐標(biāo)系。UPS支鏈為冗余驅(qū)動(dòng)支鏈，其中的胡克鉸U連接支鏈與靜平臺(tái)，U副中點(diǎn)B4位于靜平臺(tái)幾何中心；移動(dòng)副P為冗余支鏈l4的驅(qū)動(dòng)副，球鉸S連接冗余支鏈與動(dòng)平臺(tái)，球心b4位于動(dòng)平臺(tái)中心p。

圖1　3RPS+UPS冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)

23RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度模型

2.13RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)力平衡分析

力平衡分析是并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度模型建立的基礎(chǔ)。3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的受力平衡方程為

F+Jflfl=0

(1)

式中，F(xiàn)為動(dòng)平臺(tái)所受外載荷；Jfl為3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的力雅可比矩陣，由各支鏈的軸向和切向作用力單位線矢組成；fl為各支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)作用力大小所構(gòu)成的矢量。

2.2支鏈剛度分析

支鏈采用伺服電機(jī)加滾珠絲杠螺母副作為驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)；為提高支鏈運(yùn)動(dòng)的直線度，采用直線導(dǎo)軌作為移動(dòng)導(dǎo)向機(jī)構(gòu)。滾珠絲杠螺母系統(tǒng)包括絲杠、螺母、滑塊、直線導(dǎo)軌和軸承，絲杠與直線導(dǎo)軌固接在同一基座上，絲杠兩端由軸承分別與基座連接，支鏈結(jié)構(gòu)如圖2所示。絲杠、直線導(dǎo)軌和基座的軸向和側(cè)向剛度是影響支鏈剛度的主要因素。

圖2　RPS支鏈結(jié)構(gòu)圖

由圖2可見，支鏈中的絲杠和軸承組成一個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)，分別記其軸向和側(cè)向剛度為kda和kdt，則有

(2)

式中，ksa、kst分別為該串聯(lián)系統(tǒng)中絲杠的軸向和側(cè)向剛度；kca、kct分別為軸承的軸向和徑向剛度。

絲杠和直線導(dǎo)軌組成一個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)，分別記其軸向和側(cè)向剛度為kpa和kpt。圖2中，直線導(dǎo)軌固接在基座上，記導(dǎo)軌與基座結(jié)合體的軸向和側(cè)向剛度分別為kga和kgt，則有

(3)

支鏈末端由一個(gè)伸出軸與球鉸相連，該伸出軸由軸承和絲杠導(dǎo)軌系統(tǒng)連接，從而組成整個(gè)支鏈。記支鏈總的軸向和側(cè)向剛度分別為kla和klt，則有

(4)

式中，kza、kzt分別為支鏈前端伸出軸的軸向和側(cè)向剛度。

2.3支鏈彈性變形與動(dòng)平臺(tái)位姿關(guān)系

設(shè)3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)變形前動(dòng)平臺(tái)中心在參考坐標(biāo)系中為p，鉸鏈球心在動(dòng)平臺(tái)隨動(dòng)坐標(biāo)系中的位置為pbi。則由位置反解模型可知，3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)在變形前滿足幾何約束方程:

Bi+li=p+Rpbii=1, 2, 3

(5)

式中，Bi為并聯(lián)機(jī)構(gòu)參考坐標(biāo)系原點(diǎn)到支鏈轉(zhuǎn)動(dòng)副R轉(zhuǎn)軸中點(diǎn)的矢徑；li為當(dāng)前位姿時(shí)支鏈?zhǔn)笍?；R為動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)矩陣。

當(dāng)外載荷發(fā)生變化時(shí)，設(shè)動(dòng)平臺(tái)中心位置由p變?yōu)閜′(p′=p+δp)；其姿態(tài)矩陣由R變?yōu)镽′(R′=R+δR)，則有

Bi+li+δli=p+δp+(R+δR)pbi

(6)

其中，δli為支鏈li在外作用力下的彈性變形量，包括軸向和側(cè)向變形量；δp為機(jī)構(gòu)變形后動(dòng)平臺(tái)隨動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)位置的偏移微量；δR為機(jī)構(gòu)變形后動(dòng)坐標(biāo)系姿態(tài)的偏移微量。由機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)可知，動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)的偏移量δR可等效為隨動(dòng)坐標(biāo)系繞過其原點(diǎn)的某一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過一個(gè)微小角度δθ，其等效微分旋轉(zhuǎn)變換矩陣滿足關(guān)系式δRpbi=δθ×Rpbi。

由式(5)和式(6)可得

δli=δp+δθ×Rpbi

(7)

式(7)兩端分別點(diǎn)乘lai和lti(i=1, 2, 3)并整理，可得并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)位姿偏移與支鏈li彈性變形之間的幾何約束方程:

δl=JvlδD

(8)

Jvl=

2.43RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)瞬時(shí)剛度模型

對(duì)式(1)進(jìn)行全微分，并考慮到支鏈li(i=1, 2, 3)在外載荷下的彈性變形關(guān)系式δfl=-klδl，當(dāng)δJfl≠0時(shí)，可得

(9)

由機(jī)構(gòu)學(xué)可知

(10)

其中，符號(hào)“?”表示矩陣的張量積；K為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的整體剛度矩陣。當(dāng)矩陣Jfl非奇異時(shí)，由式(10)可得支鏈li彈性變形與動(dòng)平臺(tái)位姿偏移量之間的關(guān)系式：

(11)

由式(8)，并結(jié)合式(11)，可得機(jī)構(gòu)整機(jī)剛度矩陣：

(12)

忽略雅可比矩陣變化量對(duì)機(jī)構(gòu)整體連續(xù)剛度的影響，即令δJfl=0，且將此時(shí)機(jī)構(gòu)整機(jī)剛度記為Kl，則式(12)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

Kl=JflklJvl

(13)

式(13)即為典型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化剛度模型。

3冗余驅(qū)動(dòng)支鏈對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的改善

由上面分析可知，少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈需同時(shí)對(duì)動(dòng)平臺(tái)提供約束力和驅(qū)動(dòng)力，已不再是單純的二力桿，在載荷作用下容易產(chǎn)生變形，從而影響機(jī)構(gòu)的整體剛度。為此，人們提出增加冗余驅(qū)動(dòng)支鏈的方法來改善并聯(lián)機(jī)構(gòu)的整機(jī)剛度。本節(jié)以3RPS+UPS冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例，對(duì)冗余驅(qū)動(dòng)支鏈能提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的原理進(jìn)行分析和研究。

3.1冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)關(guān)系

3RPS+UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)如圖1所示。取動(dòng)平臺(tái)為研究對(duì)象，其作用力平衡關(guān)系如圖3所示。

圖3　冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)受力圖

由矢量投影法，建立3RPS+UPS冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)上的力平衡方程如下：

(14)

將式(14)寫成矩陣形式，有

Gff=F

(15)

δl4=l4·δD

(16)

由式(8)和式(16)，可得冗余驅(qū)動(dòng)支鏈與非冗余驅(qū)動(dòng)支鏈之間的變形協(xié)調(diào)關(guān)系為

(17)

3.2冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)整機(jī)剛度模型

由虛功原理可得

(18)

(19)

冗余驅(qū)動(dòng)UPS支鏈的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)包括絲杠、螺母和軸承，令支鏈中絲杠、螺母和軸承的軸向剛度分別為ks、kn和kb，且記其軸向剛度為kl4，則有

(20)

從而可得

fl4=kl4δl4

(21)

由式(18)~式(21)，并結(jié)合式(15)~式(17)可得

(22)

由此可得冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的外載荷與其動(dòng)平臺(tái)位姿偏移量的映射關(guān)系為

(23)

3.3冗余驅(qū)動(dòng)支鏈對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的改善

為評(píng)價(jià)冗余驅(qū)動(dòng)對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度指標(biāo)的影響，分別計(jì)算冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)和非冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度模型在相同外載荷下末端位姿偏移量的大小。支鏈的剛度與其長度有關(guān)，設(shè)冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的冗余驅(qū)動(dòng)支鏈l4的軸線剛度為4.824×109/|l4|N/mm，其余參數(shù)同非冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)(表1)。結(jié)果如圖4所示。

表1　3RPS+UPS冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的參數(shù)

注：表中|li|為由并聯(lián)機(jī)構(gòu)當(dāng)前位姿決定的支鏈瞬時(shí)長度。

由圖4可看出，在相同外載荷作用下，冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端位姿偏移量小于非冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿偏移量，表明采用冗余驅(qū)動(dòng)的確能夠提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度。

(a)章動(dòng)角為45°，z向距離為0.8 m

(b)章動(dòng)角為45°，z向距離為1.2 m

(c)進(jìn)動(dòng)角為180°，z向距離為0.8 m

(d)進(jìn)動(dòng)角為180°，z向距離為1.2 m圖4　不同位姿處冗余驅(qū)動(dòng)與非冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的比較

4實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

以本課題組研制的3PRS+UPS冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例，分別測(cè)量不加冗余驅(qū)動(dòng)支鏈和增加冗余驅(qū)動(dòng)支鏈時(shí)機(jī)構(gòu)的末端剛度。通過比較二者的差別，考察冗余驅(qū)動(dòng)支鏈對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的影響。實(shí)驗(yàn)采用砝碼+千分表的方案，圖5和圖6是測(cè)量水平和垂直剛度的實(shí)驗(yàn)照片。其中，剛度測(cè)量中的外力是用外掛砝碼實(shí)現(xiàn)的，通過專用夾具將外力作用在動(dòng)平臺(tái)中心；動(dòng)平臺(tái)上粘結(jié)了一個(gè)圓球，以便在不同姿態(tài)時(shí)，用千分表都能測(cè)量到動(dòng)平臺(tái)沿水平或垂直方向的位移。測(cè)量結(jié)果如表2、表3所示。

圖5　不含冗余支鏈時(shí)　圖6　含冗余支鏈時(shí)　　　機(jī)構(gòu)剛度測(cè)量　　 機(jī)構(gòu)剛度測(cè)量

5結(jié)論

(1) 采用螺旋理論和矢量微分法分析了3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈及復(fù)合鉸鏈在外載荷及自重力作用下的彈性變形，建立了機(jī)構(gòu)末端位姿偏移與支鏈構(gòu)件變形的映射關(guān)系。

(2) 考慮支鏈彈性變形影響，建立了并聯(lián)機(jī)構(gòu)瞬時(shí)剛度模型。分析了雅可比矩陣的變化對(duì)機(jī)構(gòu)的剛度影響，當(dāng)動(dòng)平臺(tái)處于其姿態(tài)空間邊界處時(shí)，其影響尤為明顯。

(3) 對(duì)冗余驅(qū)動(dòng)支鏈改善并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的原理進(jìn)行了分析，建立了冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈的運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)關(guān)系，仿真計(jì)算和實(shí)驗(yàn)證明了冗余驅(qū)動(dòng)支鏈能夠提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)的整機(jī)剛度。

表2　機(jī)構(gòu)水平剛度測(cè)試

表3　機(jī)構(gòu)垂直剛度測(cè)試

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(編輯袁興玲)

Stiffness Improvement of 3RPS PKM by Redundant Actuating Leg

Cui Xueliang1Chen Wuyi2Han Xianguo2Zhu Xijing1Wang Jianqing1Cheng Quan2

1.North University of China，Taiyuan,030051

2. Beihang University,Beijing,100191

Abstract:Considering the relationship between the changes of the Jacobian matrix and the orientation deviation of the moving platform, the mapping model between the 3RPS PKM end-effector offset and the deformation of the branches was established by using the vector differential method, based on the screw theory. The functional expression of the rigidity of the chain and its components was derived, and then the instant stiffness model of the 3RPS PKM was built up. The influences of the changes of the Jacobian matrix on the stiffness of the PKM were analyzed. The theories that the redundant actuating leg could increase the stiffness of the PKM were discussed, and were also verified by the simulation and the tests.

Key words:redundant actuation; instant stiffness model; vector differential method; parallel kinematic machanism(PKM);position and orientation offset

收稿日期：2015-07-30

中圖分類號(hào)：TH112DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.23.008

作者簡(jiǎn)介：崔學(xué)良，男，1971年生。中北大學(xué)機(jī)械與工程學(xué)院講師。研究方向?yàn)榫芘c特種加工技術(shù)。發(fā)表論文4篇。陳五一，男，1951年生。北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院教授。韓先國，男，1970年生。北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院副教授。祝錫晶，男，1969年生。中北大學(xué)機(jī)械與工程學(xué)院教授。王建青，女，1973年生。中北大學(xué)機(jī)械與工程學(xué)院副教授。成全，男，1969年生。中北大學(xué)機(jī)械與工程學(xué)院講師。