基于參數(shù)和代理模型不確定性的沖壓穩(wěn)健性設計優(yōu)化

黎　凱　楊旭靜　鄭　娟

湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙，410082

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基于參數(shù)和代理模型不確定性的沖壓穩(wěn)健性設計優(yōu)化

黎凱楊旭靜鄭娟

湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙，410082

摘要：在傳統(tǒng)的基于代理模型的沖壓穩(wěn)健性設計中，由于代理模型與真實模型間存在著誤差，必然會導致優(yōu)化結(jié)果存在一定的誤差。將實驗設計、Kriging模型相結(jié)合，綜合考慮參數(shù)不確定性和代理模型不確定性的影響，提出了一種新的沖壓穩(wěn)健性優(yōu)化設計方法。通過因素敏感性分析篩選出相應的設計變量和噪聲因素，基于Kriging模型構(gòu)建設計參數(shù)和質(zhì)量指標的代理模型，采用蒙特卡羅分析方法以及遺傳算法獲得最優(yōu)工藝解。實例分析結(jié)果表明，綜合兩種不確定因素的穩(wěn)健設計方法能有效地降低拉裂、起皺約束失效概率，提高沖壓件成形質(zhì)量和工藝穩(wěn)健性。

關鍵詞：板料沖壓；穩(wěn)健性設計；工藝參數(shù)；代理模型；不確定性；Kriging模型

0引言

薄板沖壓成形過程中，工藝參數(shù)和材料參數(shù)都存在一定的不確定性，如果忽略這些不確定性因素的影響，當設計變量發(fā)生波動時，往往會導致設計的最優(yōu)目標響應不能滿足設計要求，使設計失效。近年來，以降低設計參數(shù)不確定性的影響、提高產(chǎn)品質(zhì)量為目標的穩(wěn)健設計方法已成為板料沖壓成形領域的研究熱點。

薄板沖壓成形過程具有幾何非線性、材料非線性及邊界非線性等特點，同時，沖壓工藝優(yōu)化設計是一個反復迭代的過程，優(yōu)化求解中需要反復調(diào)用CAE有限元模型。為了減小計算量，常采用代理模型代替真實模型進行優(yōu)化設計。Hou等[1]采用隨機仿真與試驗設計相結(jié)合的方法對汽車行李箱后蓋內(nèi)板的起皺及開裂問題進行了穩(wěn)健性優(yōu)化分析并取得了很好的效果。孫光永等[2]提出了采用雙響應面思想構(gòu)造產(chǎn)品特性和約束條件的響應面模型，并將6σ理念與雙響應面相結(jié)合，構(gòu)造基于6σ質(zhì)量工程的多目標穩(wěn)健優(yōu)化設計方法。張驥超等[3]提出了在有限元仿真模型基礎上，將試驗設計法與響應面法相結(jié)合，獲得不考慮材料性能波動條件下的最優(yōu)工藝解，并通過蒙特卡羅法構(gòu)建質(zhì)量指標的響應面模型，獲得最優(yōu)的穩(wěn)健工藝解。然而，代理模型是利用真實響應的數(shù)值進行擬合的，無法在有限的樣本點基礎上準確預測真實響應狀態(tài)，不可避免地存在預測的不確定性，這種因代理模型數(shù)值擬合而引入的誤差稱為代理模型不確定性[4]?，F(xiàn)階段的穩(wěn)健性優(yōu)化設計一般都基于代理模型進行，如果忽略這種不確定性，必然會給設計帶來額外的誤差，因此穩(wěn)健性設計過程同時受到參數(shù)不確定性和代理模型不確定性[5]的綜合影響。章斯亮等[6]綜合考慮參數(shù)不確定和代理模型不確定性，對轎車車身進行了輕量化穩(wěn)健設計，有效地減小了車身重量。

傳統(tǒng)板料沖壓穩(wěn)健性優(yōu)化設計只考慮參數(shù)不確定的影響，忽略了代理模型的不確定性影響，容易導致優(yōu)化解失效。本文在傳統(tǒng)考慮參數(shù)不確定性穩(wěn)健性優(yōu)化的基礎上，綜合考慮參數(shù)不確定性和代理模型不確定性對設計的影響，通過試驗設計方法獲得影響成形質(zhì)量的敏感參數(shù)，基于Kriging模型構(gòu)建質(zhì)量指標與參數(shù)間的數(shù)學模型，采用6σ準則對其沖壓成形工藝進行穩(wěn)健性優(yōu)化設計，為對比研究，同時對問題進行傳統(tǒng)僅考慮參數(shù)不確定性的穩(wěn)健性優(yōu)化設計，并通過對沖壓件成形質(zhì)量目標進行隨機分析，獲得兩種穩(wěn)健性優(yōu)化解的統(tǒng)計描述。對比兩種穩(wěn)健性優(yōu)化結(jié)果，沖壓工藝穩(wěn)健性優(yōu)化設計中將代理模型的誤差作為一個不確定性因素并綜合考慮參數(shù)不確定性影響能有效地降低拉裂、起皺失效概率，提高生產(chǎn)中成形質(zhì)量的可靠度。

1兩種不確定因素的預測方法

1.1參數(shù)不確定性和代理模型不確定性

參數(shù)不確定性是參數(shù)偏離設計值而呈現(xiàn)出統(tǒng)計分布狀態(tài)。假設參數(shù)X={X1,X2,…,Xn}滿足正態(tài)分布，則隨機變量可表示為

X=x+W

(1)

代理模型不確定性是代理模型在任意點處的預測統(tǒng)計狀態(tài)。Kriging模型[7]作為一種新型的響應面技術在工程計算中得到廣泛的應用，Kriging方法將真實響應定義為一個高斯隨機過程，可以獲得任意點的預測均值，并同時評估預測的方差狀態(tài)，從而評估代理模型的不確定狀態(tài)。Kriging模型響應值與自變量的關系可以表示為

y(x)=f(x)βT+z(x)

(2)

(3)

eMS=E(c(x)TY-y(x))2

(4)

式中，c(x)為待求響應值權系數(shù)向量。

1.2不確定響應預測方法

傳統(tǒng)穩(wěn)健優(yōu)化設計方法中，僅考慮了參數(shù)的波動對響應的影響，響應y(x)的統(tǒng)計均值和方差可分別表示為

μy|W(x)=E(y(x))=∫wy(x+W)p(w)dw

(5)

(E(y(x+W)))2=∫w(y(x+W))2p(w)dw-

(∫wy(x+W)p(w)dw)2

(6)

式中，μy|W(x)、σy|W(x)分別為考慮參數(shù)不確定性因素W影響下響應y的均值和方差；p(w)為隨機變量W的密度函數(shù)；w為W的觀察值。

當考慮代理模型不確定性對響應的影響時，響應的均值和方差是兩種不確定因素共同作用的結(jié)果。此時，預測的響應包括參數(shù)不確定因素W和代理模型不確定因素G的影響，表示為Y(x+W,G)。考慮兩種不確定因素的響應預測均值和方差分別表示為

μY|W+G(x)=E(Y(x+W,G))=

E(E(Y(x+W,G)|G))

(7)

E(var(Y(x+W,G)|G))+E(E(Y(x+W,G)|G)2)-

E(E(Y(x+W,G)|G))2

(8)

2沖壓成形穩(wěn)健性設計

2.1沖壓成形穩(wěn)健性設計過程

穩(wěn)健性即是考慮不確定因素下響應變化的穩(wěn)定性。其主要目的是減少、控制目標函數(shù)波動，降低在設計點上的敏感性，即使目標函數(shù)均值達到目標，使方差最小[5]。沖壓穩(wěn)健性優(yōu)化問題中不確定因素源于兩個方面，即參數(shù)不確定性和模型不確定性。其中摩擦因數(shù)、拉延筋系數(shù)、壓邊力、沖壓速度這類設計變量以及材料特征參數(shù)等噪聲的波動稱為參數(shù)不確定性；代理模型的預測誤差稱為模型不確定性。本文把代理模型的預測誤差作為一個不確定因素和參數(shù)不確定相結(jié)合，建立以拉裂、起皺為基礎的約束條件，以平均減薄率為基礎的優(yōu)化目標，采用Kriging方法[7]構(gòu)建代理模型，通過蒙特卡羅模擬法分析考慮兩種不確定性因素下每個樣本點響應的均值和方差，采用遺傳算法對問題進行求解。穩(wěn)健優(yōu)化過程如下：

(1)分析沖壓工藝參數(shù)和材料參數(shù)，采用設計正交試驗方案篩選出設計變量和噪聲因素；

(2)構(gòu)建參數(shù)與響應的Kriging模型，并對模型進行精度校驗；

(3)結(jié)合兩種不確定性分析方法，建立約束和優(yōu)化目標的適應值函數(shù)，并通過蒙特卡羅模擬計算響應的均值和方差，采用遺傳算法，獲得穩(wěn)健優(yōu)化解；

(4)檢驗是否滿足6σ穩(wěn)健優(yōu)化準則，如果滿足，輸出穩(wěn)健設計解，優(yōu)化結(jié)束，否則進行選擇、交叉、變異，生成新的設計變量種群，回到第(3)步。

穩(wěn)健性優(yōu)化設計流程如圖1所示。

圖1　穩(wěn)健性優(yōu)化設計流程圖

2.2確定質(zhì)量指標

為了評價沖壓成形特征，在優(yōu)化過程中，需要針對具體的缺陷形式，量化質(zhì)量標準。本文采用成形極限圖(FLD)的質(zhì)量評價方案建立板料拉裂和起皺函數(shù)，為使零件性能滿足設計要求，應使成形后的零件厚度分布均勻，厚度變化盡量小，選取沖壓件的平均減薄率作為板料成形工藝的優(yōu)化目標[8]。

開裂和起皺曲線定義如下：

(9)

式中，φ(ε2)、η(ε2)分別為拉裂和起皺安全成形極限曲線；φ(ε2)為拉裂成形極限曲線；s為拉裂安全距離；θ為起皺安全角度。

如圖2所示的FLD圖中，應變值位于成形極限曲線φ(ε2)以上，則說明板料單元在該點會有開裂風險，并且離成形極限曲線越遠，其開裂風險程度越嚴重；處于安全裕度線φ(ε2)和成形極限曲線φ(ε2)兩者之間，則有瀕臨開裂的危險；只有位于安全成形極限曲線φ(ε2)之下，此單元變形才是安全的。由此，拉裂函數(shù)可表示為

(10)

同理，起皺函數(shù)表示為

(11)

平均減薄率函數(shù)可表示為

(12)

式中，n為單元數(shù)目；t0、t(i)分別為各單元拉深成形前后的厚度。

圖2　FLD圖

3穩(wěn)健性優(yōu)化過程

3.1防撞梁沖壓成形仿真

本文以防撞梁作為研究對象，防撞梁作為轎車保險杠主要零件，要求有較高的強度和剛度，具有較高的耐撞性，因此必須使用高強度材料，該零件選用高強鋼DP590，厚度為1mm，其主要性能參數(shù)分別為：屈服強度σs=340MPa；抗拉強度σb=590MPa；硬化系數(shù)n′；三向異性系數(shù)R0=0.81、R45=0.82、R90=1.1。本文利用Autoform對其成形工藝進行仿真分析，依據(jù)實際成形條件設定仿真參數(shù)。摩擦因數(shù)為0.15，壓邊力為650kN(65T)，拉延工藝沖壓模型如圖3所示。

圖3　防撞梁拉延工序模型

拉延筋設置對沖壓成形質(zhì)量有重要影響。在仿真分析中常用等效拉延筋替代實際拉延筋，其既能滿足成形要求，又能縮短運算時間，提高運算效率。共設置6條拉延筋，拉延阻力初始設定值FDB1=FDB2=250N/mm，F(xiàn)DB3=FDB4=100N/mm，F(xiàn)DB5=FDB6=100N/mm，拉延筋位置如圖4所示。

圖4　拉延筋位置分布圖

成形應力云圖見圖5。從圖5中可以看出，防撞梁中部區(qū)域拉延不足，兩端區(qū)域出現(xiàn)大的起皺和拉裂風險區(qū)域，成形較為困難。由于工藝參數(shù)與材料參數(shù)的波動可能造成質(zhì)量問題，因此，對成形過程進行穩(wěn)健設計具有重要意義。

圖5　沖壓應力云圖

3.2影響因素的敏感性分析

為提高計算效率，可通過敏感性因素分析[9]剔除對質(zhì)量指標不敏感的因素。結(jié)合沖壓現(xiàn)場生產(chǎn)條件以及有限元仿真調(diào)試，選取沖壓速度v、拉延筋1~6的阻力系數(shù)fDB1/2、fDB3/4、fDB5/6、摩擦因數(shù)μf和壓邊力FBH(分別用A、B、C、D、E、F表示)作為設計變量，選取厚度T、硬化系數(shù)n′、屈服強度σs、抗拉強度σb、三向異性系數(shù)R0、R45、R90(分別用G、H、I、J、K、L、M表示)作為噪聲因素，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)和實際工程經(jīng)驗確定其波動范圍服從正態(tài)分布，如表1和表2所示。

表1　設計變量范圍表

表2　噪聲因素統(tǒng)計性能信息

采用正交回歸方法對因素進行敏感性分析，各因素對目標函數(shù)平均減薄率的影響大小如圖6所示，圖中B、E、F、I、L對平均減薄率指標影響較大(分別代表拉延筋阻力系數(shù)fDB1/2、摩擦因數(shù)μf、壓邊力FBH、屈服強度σs、應力系數(shù)R45)，因此將拉延筋的阻力系數(shù)fDB1/2、壓邊力FBH和摩擦因數(shù)μf作為設計變量，屈服強度σs和應力系數(shù)R45作為噪聲構(gòu)建Kriging模型，并以此進行穩(wěn)健性優(yōu)化。

圖6　防撞梁拉延工序模型

3.3Kriging建模

本研究采用Kriging構(gòu)建模型，為了減小仿真試驗計算量并滿足精度要求，選擇拉丁超試驗設計，選取30組樣本點進行試驗，得到每一組相對應的沖壓成形仿真結(jié)果再利用上述公式可獲取零件的拉裂、起皺和平均減薄率函數(shù)值，拉丁超試驗設計及響應值如表3所示。

表3　拉丁超試驗設計及響應值統(tǒng)計表

根據(jù)所得數(shù)據(jù)，結(jié)合Kriging模型建立拉裂、起皺及平均減薄率與相關參數(shù)之間的函數(shù)關系。通過隨機抽取5個樣本點進行精度驗證，誤差均在±5%以內(nèi)，證明此模型具有比較好的精度，可以用于計算。

3.4穩(wěn)健優(yōu)化模型

根據(jù)統(tǒng)計理論，6σ質(zhì)量設計[10]具有很高的可靠度，可以很好地滿足制造商對缺陷率的要求。對于防撞梁成形而言，為使成形零件滿足使用要求，將平均減薄率Fobj控制在最小范圍，同時零件拉裂、起皺指標滿足要求；假設拉裂指標Robj小于6.5，起皺指標Wobj大于2即視為廢品[9]。為使本研究風險最低，建立沖壓穩(wěn)健性優(yōu)化模型如下所示：

(13)

式中，μG+x(Fobj)、σG+x(Fobj)分別為考慮兩種不確定因素時目標響應Fobj的均值和方差；μG+x(Robj)、σG+x(Robj)分別為考慮兩種不確定因素時拉裂目標響應Robj的均值和方差；μG+x(Wobj)、σG+x(Wobj)分別為考慮兩種不確定因素時起皺目標響應Wobj的均值和方差；μ(fDB1/2)、σ(fDB1/2)分別為拉延筋fDB1/2的均值和方差；μ(FBH)、σ(FBH)分別為壓邊力FBH的均值和方差;μ(μf)、σ(μf)分別為摩擦因數(shù)μf的均值和方差。

4優(yōu)化結(jié)果分析

用MATLAB工具箱[11]在考慮兩種不確定性因素條件下對防撞梁優(yōu)化數(shù)學模型進行穩(wěn)健性優(yōu)化。為對比說明考慮兩種不確定因素穩(wěn)健性設計方法的優(yōu)勢，本文同時采用傳統(tǒng)僅考慮參數(shù)不確定性的穩(wěn)健性優(yōu)化方法對該問題進行穩(wěn)健性優(yōu)化設計。通過優(yōu)化計算獲得考慮參數(shù)不確定性穩(wěn)健性優(yōu)化和考慮兩種不確定因素穩(wěn)健性優(yōu)化最優(yōu)解，結(jié)果如表4所示。

表4　優(yōu)化設計結(jié)果

為了驗證考慮兩種不確定因素穩(wěn)健優(yōu)化的有效性，分別在兩種穩(wěn)健最優(yōu)解附近生成100個蒙特卡羅樣本點，通過有限元仿真計算拉裂指標、起皺指標的響應狀態(tài)，從而評估穩(wěn)健最優(yōu)解的統(tǒng)計均值、方差，并繪出在該最優(yōu)工藝條件下的直方圖，見圖7。并將直方圖擬合成概率密度曲線，如圖8所示。

(a)參數(shù)不確定下拉裂指標頻數(shù)分布

(b)參數(shù)不確定下起皺指標頻數(shù)分布

(c)兩種不確定下拉裂指標頻數(shù)分布

(d)兩種不確定下起皺指標頻數(shù)分布圖7　兩種優(yōu)化方法下隨機因素波動對防撞梁質(zhì)量指標的影響

(a)拉裂指標的概率密度函數(shù)

(b)起皺指標的概率密度函數(shù)圖8　兩種優(yōu)化結(jié)果之間的比較

如圖8a所示，與只考慮參數(shù)不確定性穩(wěn)健性相比，綜合考慮兩種不確定因素的拉裂指標概率密度曲線明顯變窄，標準差由0.0841減小至0.0537，明顯減小了拉裂指標的波動；同時概率密度函數(shù)略向右偏移，均值由6.61增至6.72；零件發(fā)生拉裂失效的概率由8.51%減小至0.006%。如圖8b所示，與只考慮參數(shù)不確定性穩(wěn)健性相比，綜合考慮兩種不確定因素的起皺指標概率密度曲線明顯變窄，標準差由0.316減至0.274，明顯減小了起皺指標的波動；同時概率密度函數(shù)略向左偏移，均值由1.30減至1.04；零件發(fā)生起皺失效的概率由1.3%減小至0.033%?？紤]模型不確定性因素后，約束失效的概率明顯降低，有效地提高了優(yōu)化解的可靠性。

5結(jié)論

(1)在同時考慮工藝參數(shù)不確定性和代理模型不確定性的基礎上，建立了一種沖壓成形穩(wěn)健性優(yōu)化方法。

(2)通過因素敏感性分析篩選出了相應的設計變量和噪聲因素，基于Kriging模型和蒙特卡羅模擬技術構(gòu)建了考慮兩種不確定性下的穩(wěn)健性優(yōu)化模型，并采用遺傳算法獲得最優(yōu)工藝解。

(3)與傳統(tǒng)的僅考慮參數(shù)不確定性的穩(wěn)健性優(yōu)化方法相比，本文方法有效地降低了拉裂、起皺約束的失效概率，提高了防撞梁沖壓工藝的可靠性。證實了穩(wěn)健性優(yōu)化設計中考慮代理模型不確定性的必要性，為其他穩(wěn)健性設計提供了借鑒。

參考文獻：

[1]HouB,WangWR,LiSH,etal.StochasticAnalysisandRobustOptimizationforaDeckLidInnerPanelStamping[J].MaterialandDesign, 2010, 31: 1191-1199.

[2]孫光永, 李光耀. 多目標穩(wěn)健優(yōu)化設計方法在車身設計制造中的應用研究[J]. 固體力學學報, 2011, 32(2): 187-196.

SunGuangyong,LiGuangyao.ApplicationResearchofMulti-objectiveRobustOptimizationforDesighandManufactuerinVehicleBody[J].ActaMechanicaSolidaSinica, 2011, 32(2): 187-196.

[3]張驥超, 劉罡, 林忠欽, 等. 側(cè)圍外板沖壓工藝穩(wěn)健性優(yōu)化設計[J]. 上海交通大學學報, 2012, 46(7): 1005-1010.

ZhangJichao,LiuGang,LinZhongqin,etal.RobustOptimizationforanAutobodyOuterPanelStampingProcess[J].JournalofShanghaiJiaotongUniversity, 2012, 46(7): 1005-1010.

[4]AplleyDW,LiuJ，ChenW.UnderstandingtheEffectsofModelUncertaintyinRobustDesignwithComputerExperiments[J].ASMEJournalofMechanicalDesign, 2006, 128(4): 946-958.

[5]JinR,DuXP,ChenW.TheUseofMetamodelingTechniquesforOptimizationunderUncertainty[J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization, 2003, 25(2): 99-116.

[6]章斯亮, 朱平, 陳衛(wèi).基于兩種不確定的穩(wěn)健設計方法及其在車身輕量化設計中的應用[J]. 上海交通大學學報, 2013, 47(5): 834-839.

ZhangSiliang,ZhuPing,ChenWei.RobustDesignMethodConsideringTwoSourcesofUncertaintiesandItsApplicationinAutobodyLightweightDesign[J].JournalofShanghaiJiaotongUniversity, 2013, 47(5): 834-839.

[7]謝延敏, 于滬平, 陳軍, 等. 基于Kriging模型的可靠度計算[J]. 上海交通大學學報, 2007,41(2): 177-180.

XieYanmin,YuHuping,ChenJun,etal.TheReliabilityEstimationBasedonKrigingModel[J].JournalofShanghaiJiaotongUniversity, 2007, 41(2):177-180.

[8]汪雪晴, 楊旭靜, 羅志敏, 等. 不等截面拉延筋結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計[J]. 計算機仿真, 2012, 29(1): 327-330.

WangXueqing,YangXujing,LuoZhimin,etal.GeometryParametersOptimizationforNon-uniformSectionDrawbeads[J].ComputerSimulation, 2012, 29(1): 327-330.

[9]林忠欽, 李淑慧, 于忠奇, 等. 汽車板精益成形技術[M]. 北京: 機械工業(yè)出版社, 2009.

[10]孫光永, 李光耀. 基于6σ的穩(wěn)健優(yōu)化設計在薄板沖壓成形中的應用[J]. 機械工程學報, 2008, 44(11): 248-254.

SunGuangyong,LiGuangyao.SheetMetalFormingBasedSixSigmaRobustOptimizationDesign[J].ChineseJournalofMechanicalEngineering, 2008, 44(11): 248-254.

[11]張海寧, 劉超.基于MATLAB工具箱目標定位穩(wěn)健性分析[J]. 數(shù)字技術與應用, 2013(10): 86-87.

SunHaining,LiuChao.ARobustnessAnalysisonTargetLocalizationBasedonMATLABToolbox[J].DigitalTechnologyandApplication, 2013(10)：86-87.

(編輯袁興玲)

Robust Design Optimization for Stamping Based on Parametric and Metamodel Uncertainty

Li KaiYang XujingZheng Juan

State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacture for Vehicle Body,

Hunan University,Changsha,410082

Abstract：In traditional metamodel-based stamping robust design, due to the errors between metamodel and real model, there were certain design errors in the optimization results. Combining experimental design with Kriging model and considering both parametric and metamodel uncertainty, a new robust design method was established herein. The agent models of design parameters and quality index were built, and the Monte Carlo simulation method was combined with genetic optimization algorithm to obtain the optimal process solutions. The results show that compared to the traditional design method, the proposed method can effectively reduce the probability of crack and wrinkle constraint failure, and improve the forming quality and process robustness.

Key words:sheet stamping; robust design; processing parameter; metamodel; uncertainty; Kriging model

收稿日期：2015-03-11

中圖分類號：TH162DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.23.019

作者簡介：黎凱，男，1990年生。湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室碩士研究生。主要研究方向為汽車車身制造工藝技術。 楊旭靜，男，1969年生。湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室教授、博士。鄭娟，女，1982年生。湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室博士。