高中生物課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建初探

陳敏

摘 要 在高中生物課堂推行建模教學(xué)能提高課堂教學(xué)的有效性，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是其中重要的組成部分。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型可以化繁為簡，透過現(xiàn)象揭示生命的本質(zhì)，有助于學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞 建模教學(xué) 數(shù)學(xué)模型 思維方式 創(chuàng)新能力

中圖分類號(hào) G633.91 文獻(xiàn)標(biāo)志碼 B

構(gòu)建模型是通過分析，舍去原型的一些次要細(xì)節(jié)、非本質(zhì)聯(lián)系，以簡化甚至理想化的形式去再現(xiàn)原型的各種復(fù)雜結(jié)構(gòu)、功能和聯(lián)系，從而更好地解決問題。生物學(xué)經(jīng)常會(huì)涉及一些抽象復(fù)雜的生命現(xiàn)象，這就需要通過構(gòu)建模型去揭示生命現(xiàn)象的本質(zhì)與生命活動(dòng)的內(nèi)在規(guī)律。生物課堂教學(xué)中建模的類型多種多樣，其中數(shù)學(xué)模型是一個(gè)重要的組成部分，而且應(yīng)用十分廣泛。在《普通高中生物課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中明確強(qiáng)調(diào)學(xué)生應(yīng)“領(lǐng)悟假說演繹、建立模型等科學(xué)方法及其在科學(xué)研究中的應(yīng)用;領(lǐng)悟系統(tǒng)分析、建立數(shù)學(xué)模型的科學(xué)方法及其在科學(xué)研究中的作用”。

1 數(shù)學(xué)模型的定義

數(shù)學(xué)模型是指運(yùn)用數(shù)學(xué)這一學(xué)習(xí)工具，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)表達(dá)式以及能夠表示數(shù)學(xué)關(guān)系的圖表來揭示其中所隱藏的規(guī)律，并且能夠預(yù)測(cè)將來的發(fā)展趨勢(shì)。高中生物教材中涉及到大量的需要運(yùn)用組合學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)、概率論、函數(shù)等知識(shí)來解決的生物問題，所以需要教師根據(jù)教材，適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將撲朔迷離的生物問題轉(zhuǎn)換為簡潔明了的數(shù)學(xué)“語言”，從而大大提高生物課堂教學(xué)的有效性。

2 數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建方法

2.1 運(yùn)用組合學(xué)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

在學(xué)習(xí)人教版生物教科書《必修2·遺傳與進(jìn)化》中“基因是有遺傳效應(yīng)的DNA片段”這節(jié)課，探究脫氧核苷酸序列與遺傳信息多樣性之間關(guān)系時(shí)，教師可以根據(jù)由簡到繁、循序漸進(jìn)的原則，先創(chuàng)設(shè)具體的數(shù)字化情境，然后引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)模型背后所蘊(yùn)含的更深層次的生物現(xiàn)象或特性。例如教師可以設(shè)置下列的數(shù)字化情境：長度為10個(gè)堿基對(duì)的脫氧核苷酸序列可以有多少種的排列方式？那么100個(gè)堿基對(duì)、1 000個(gè)堿基對(duì)、n個(gè)堿基對(duì)呢？如果不同的排列方式都代表不同的基因，那么可以得出基因具有什么特性呢？這些問題引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)課學(xué)習(xí)過的排列組合知識(shí)，通過親自動(dòng)腦、動(dòng)手發(fā)現(xiàn)基因排列組合方式的表達(dá)式4n，其中4為堿基配對(duì)方式，n為堿基對(duì)的數(shù)目，并且從具體的數(shù)字化情境深刻領(lǐng)悟到基因的多樣性。學(xué)生在小試牛刀的過程中，打破了學(xué)科之間看似無法逾越的鴻溝，品嘗到了用數(shù)學(xué)的思維方式、方法解決生物學(xué)問題的成功的喜悅。同樣的方法還可以應(yīng)用在“基因的表達(dá)”這一節(jié)的探討mRNA上的堿基與氨基酸之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的過程中。

2.2 運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

在高中生物課堂上運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，簡單地說就是指本著實(shí)事求是的原則，通過切實(shí)有效的方法收集數(shù)據(jù)、對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行合理地處理、推理，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，以便對(duì)生物問題進(jìn)行推斷或預(yù)測(cè)，甚至提出相應(yīng)的對(duì)策或建議。

在人教版生物教科書《必修3·穩(wěn)態(tài)與環(huán)境》的“種群的特征”中，調(diào)查種群密度的樣方法和標(biāo)志重捕法都是運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法。特別是在學(xué)習(xí)標(biāo)志重捕法時(shí)，教師注重要引導(dǎo)學(xué)生思考：標(biāo)志重捕法的原理是什么？它是依據(jù)什么來估算種群的數(shù)量，進(jìn)而計(jì)算出種群密度的？假設(shè)N為種群數(shù)量，M為第一次標(biāo)志數(shù)，m為重捕的標(biāo)志數(shù)，n為重捕個(gè)體數(shù)，是否能構(gòu)建出計(jì)算種群數(shù)量的數(shù)學(xué)表達(dá)式？當(dāng)學(xué)生自主構(gòu)建數(shù)學(xué)表達(dá)式M/N=m/n后，教師在給予適時(shí)的贊揚(yáng)和鼓勵(lì)的同時(shí)緊接著拋出問題：如果在調(diào)查期間由于有的標(biāo)志物脫落，或者標(biāo)志物過于醒目影響標(biāo)志對(duì)象正常的生活，或者調(diào)查期間有大規(guī)模的遷入和遷出、出生和死亡等，那么所得出的種群密度與真實(shí)值相比是偏大還是偏小？從而讓學(xué)生在已構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到標(biāo)志重捕法得到的種群數(shù)量和種群密度并非就是真實(shí)值，但在滿足相關(guān)條件的前提下，可以無限接近真實(shí)值。

2.3 運(yùn)用概率知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

概率是指隨機(jī)事件或現(xiàn)象在相同條件下大量重復(fù)發(fā)生過程中所呈現(xiàn)的一種數(shù)量上的規(guī)律。

人教版生物教科書《必修2·遺傳與進(jìn)化》中的“孟德爾的豌豆雜交實(shí)驗(yàn)（一）”是開啟學(xué)生探索生物遺傳變異奧秘之路的重要的一節(jié)，教師要把握好這個(gè)機(jī)會(huì)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概率論知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來解決生物問題。例如，在孟德爾一對(duì)相對(duì)性狀的實(shí)驗(yàn)中，為什么雌雄配子的隨機(jī)結(jié)合會(huì)導(dǎo)致F1自交后代出現(xiàn)3∶1的性狀分離比呢？“性狀分離比的模擬實(shí)驗(yàn)”中，在學(xué)生充分了解實(shí)驗(yàn)原理的基礎(chǔ)上，教師將班級(jí)學(xué)生進(jìn)行分組實(shí)驗(yàn)，抓取次數(shù)分別為10、15、20、25、30……，要求每個(gè)小組設(shè)計(jì)記錄表格（表1），真實(shí)地記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，讓小組代表匯報(bào)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有的小組的統(tǒng)計(jì)結(jié)果接近3∶1，而有的小組的統(tǒng)計(jì)結(jié)果出現(xiàn)了嚴(yán)重的偏差。這時(shí)，教師鼓勵(lì)這些小組積極尋找實(shí)驗(yàn)失敗和成功的可能原因。然后教師再讓學(xué)生將所有小組的抓取次數(shù)、各組合的數(shù)量相加，統(tǒng)計(jì)DD、Dd、dd的數(shù)量及性狀分離比，分析結(jié)果。最后，教師進(jìn)一步提出問題：“如果當(dāng)年孟德爾只做了少量的豌豆雜交實(shí)驗(yàn)是否能發(fā)現(xiàn)分離定律呢？”

這個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)可以讓學(xué)生體會(huì)到一個(gè)抽象的生物問題可以通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型輕而易舉地得以解決，同時(shí)也讓學(xué)生懂得要獲得一個(gè)事件發(fā)生的真實(shí)概率，應(yīng)該要在尊重實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，盡可能地增加實(shí)驗(yàn)重復(fù)的次數(shù)。讓學(xué)生領(lǐng)悟孟德爾兩大遺傳定律F2代所出現(xiàn)的3∶1的性狀分離比是建立在科學(xué)家進(jìn)行的大量實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，同時(shí)提高了學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果偏離真實(shí)情況的分析能力。

2.4 運(yùn)用函數(shù)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，一名高中學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)并掌握了多種函數(shù)的一般性質(zhì)和圖像。教師可以充分利用這一優(yōu)勢(shì)，培養(yǎng)學(xué)生用函數(shù)式及曲線構(gòu)建數(shù)學(xué)模型將一些復(fù)雜繁亂的生物問題變得簡單形象，且可以預(yù)測(cè)。

例如，在人教版生物教科書《必修2·遺傳與進(jìn)化》的“雜交育種與誘變育種”中，植物雜交育種常用的方法是雜交→自交→選種→自交→不發(fā)生性狀分離。在“選種→自交→不發(fā)生性狀分離”的教學(xué)過程中，教師可以創(chuàng)設(shè)問題情境，由淺入深地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考討論。

師：選種是根據(jù)表現(xiàn)型還是根據(jù)基因型？

生：表現(xiàn)型。

師：表現(xiàn)型符合的個(gè)體是否就一定能穩(wěn)定遺傳？

生：不一定。

師（追問）：如果育種目的是要獲得能穩(wěn)定遺傳的顯性個(gè)體，那么在選種之后要怎么做才能使后代雜合子的比例降至最低呢？

學(xué)生相互討論。

教師在解決問題的思路上進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和點(diǎn)撥。

師：以雜合子（Aa）逐代自交為例，請(qǐng)大家完成表2，并寫出自交代數(shù)與自交后代雜合子比例之間的函數(shù)表達(dá)式。

師：請(qǐng)寫出自交n代數(shù)純合子、顯性（隱性）純合子所占比例的函數(shù)表達(dá)式。

生：y=1-1/2n。

師：請(qǐng)大家用坐標(biāo)圖以曲線的形式來表示自交代數(shù)n與自交后代雜合子、純合子以及顯性（隱性）純合子所占比例之間的關(guān)系。

生：a-純合子比例，b-顯性（隱性）純合子比例，c-雜合子比例（圖1）。

師：從曲線圖大家可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？能否理解選種后不斷自交的意義？

生：隨自交代數(shù)的增加，雜合子比例在不斷減小，純合子的比例在不斷增加，直至不發(fā)生性狀分離，得到的將都是純合子。

教師在這部分知識(shí)的教學(xué)中，主要扮演引導(dǎo)者的角色，通過設(shè)置問題情境，循循善誘地引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題。通過構(gòu)建函數(shù)表達(dá)式并將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換為直觀形象的坐標(biāo)圖完成雜合子自交的數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，使學(xué)生對(duì)植物雜交育種的基本方法不僅知其然而且還知其所以然。

3 不同數(shù)學(xué)模型之間的相互轉(zhuǎn)換

在生物課堂教學(xué)的過程中可構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型是多種多樣的，如函數(shù)表達(dá)式、表格、坐標(biāo)圖、餅狀圖、直方圖等。一種教學(xué)內(nèi)容并非只能對(duì)應(yīng)一種類型的數(shù)學(xué)模型。在建模教學(xué)中，教師除了要逐步培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力，還要培養(yǎng)學(xué)生用多種不同的數(shù)學(xué)模型來表示同一個(gè)生命現(xiàn)象，讓建模真正成為學(xué)生提高分析問題、解決問題的手段。

例如，高中生物人教版生物教科書必修1的“細(xì)胞的增殖”這一節(jié)中，細(xì)胞生長和增殖的周期性是教學(xué)重點(diǎn)，而對(duì)細(xì)胞周期這個(gè)概念的正確理解是學(xué)習(xí)有絲分裂的基礎(chǔ)。教材中分裂間期、分裂期和細(xì)胞周期三者之間的關(guān)系是以扇形圖（圖2）的模型呈現(xiàn)，教師可以讓學(xué)生嘗試以直線圖（圖3）來展示三者之間的關(guān)系，從學(xué)生的模型構(gòu)建中了解學(xué)生對(duì)分裂間期和分裂期在時(shí)間上的先后順序以及占細(xì)胞周期的比例的理解和掌握的情況。在學(xué)習(xí)完有絲分裂的全過程后，教師可以讓學(xué)生構(gòu)建直方圖（圖4）和曲線圖（圖5）來表現(xiàn)一個(gè)完整的細(xì)胞周期。在教師層層深入地引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建多種的數(shù)學(xué)模型的過程中，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的內(nèi)化，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果。

在生物課堂教學(xué)過程中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，需要教師的循循善誘，雖然會(huì)占用較多的教學(xué)時(shí)間，但是一堂課的有效性并不是取決于教師傳授給學(xué)生多少課本知識(shí)，而在于學(xué)生通過這堂課的學(xué)習(xí)是否能靈活應(yīng)用知識(shí)并且形成解題技巧。教師在高中生物課堂教學(xué)中實(shí)行建模教學(xué)，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、發(fā)散型思維以及科學(xué)探究能力起到積極的作用。