兩自由度動(dòng)力吸振器的頻響函數(shù)與有限元分析

田紅亮　周　揚(yáng)　鄭金華　陳甜敏

(三峽大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院， 湖北 宜昌　443002)

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兩自由度動(dòng)力吸振器的頻響函數(shù)與有限元分析

田紅亮周揚(yáng)鄭金華陳甜敏

(三峽大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院， 湖北 宜昌443002)

摘要：以兩自由度動(dòng)力吸振器為實(shí)例，采用Matlab軟件繪出不同阻尼所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)的Nyquist圖像．借用有限元分析軟件ANSYS對(duì)動(dòng)力吸振器進(jìn)行諧波響應(yīng)分析，得出系統(tǒng)在不同頻率下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)并討論響應(yīng)量(通常是位移)與頻率之間的關(guān)系．同時(shí)動(dòng)力吸振器系統(tǒng)自身的物理特性對(duì)其動(dòng)態(tài)特性有影響．這能使設(shè)計(jì)者在設(shè)計(jì)產(chǎn)品的過(guò)程中全面地處理振動(dòng)問(wèn)題，以得到最優(yōu)動(dòng)態(tài)性能的系統(tǒng)．

關(guān)鍵詞：動(dòng)力吸振器；傳遞函數(shù)；頻響函數(shù)；諧響應(yīng)

動(dòng)力吸振器是一種使用廣泛的減振設(shè)備，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可有效地解決頻率范圍變化不大的系統(tǒng)的共振問(wèn)題，特別當(dāng)外界激勵(lì)頻率變化范圍已知時(shí)，它能有效地抑制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和設(shè)備的共振，它也是當(dāng)前最方便、經(jīng)濟(jì)與可靠的被動(dòng)式控制方法[1]．一個(gè)實(shí)例可以簡(jiǎn)單說(shuō)明動(dòng)力吸振器的作用，一臺(tái)動(dòng)力機(jī)械(簡(jiǎn)化為一個(gè)彈簧質(zhì)量系統(tǒng))構(gòu)成一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)其上作用的激振力F(t)=F0cosωt的頻率與系統(tǒng)固有頻率接近時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生共振，振幅增大．為了改變這種狀況，可以改變系統(tǒng)的質(zhì)量和彈簧剛度．為使系統(tǒng)離開(kāi)共振區(qū)，當(dāng)系統(tǒng)的質(zhì)量和彈簧剛度不能改變時(shí)，可以在原系統(tǒng)上增加一個(gè)附加系統(tǒng)，這樣就可以使主系統(tǒng)振動(dòng)狀況大大改善，這就是動(dòng)力吸振器[2]．

為了改善動(dòng)力吸振器的特性，許多科技工作者把安裝動(dòng)力吸振器的結(jié)構(gòu)響應(yīng)或單邊功率譜密度看作評(píng)價(jià)減振效果，或者以得到最小的主質(zhì)量位移方差作為動(dòng)力吸振器的參數(shù)優(yōu)化目標(biāo)，或者利用功率流的計(jì)算方法．目前已有的部分工作的主要特點(diǎn)均是分析計(jì)算主系統(tǒng)吸振器組成的復(fù)合系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，以得到吸振器參數(shù)，或者只簡(jiǎn)化處理一些比較特殊的結(jié)構(gòu)[3]．本文以一個(gè)兩自由度動(dòng)力吸振器振動(dòng)系統(tǒng)作為研究對(duì)象，運(yùn)用機(jī)械振動(dòng)學(xué)理論和有限元分析軟件探討動(dòng)力吸振器系統(tǒng)頻響函數(shù)及相關(guān)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能的影響規(guī)律．

1動(dòng)力吸振器頻響函數(shù)

1.1動(dòng)力吸振器頻響函數(shù)的求解

圖1所示結(jié)構(gòu)為動(dòng)力吸振器，質(zhì)量m1、m2在水平方向上分別用兩個(gè)剛度為k1、k2的彈簧連接于支撐點(diǎn)．m1上作用一幅值為P0，頻率為f的正弦激勵(lì)力P(t)，在此激勵(lì)下，系統(tǒng)在水平方向上作往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)．已知m1=m2=1 kg，k1=1 000 N/m，k2=500 N/m，P0=1 000 N．

圖1　動(dòng)力吸振器的物理模型

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

根據(jù)式(2)、式(3)和文獻(xiàn)[4]得

根據(jù)式(5)和文獻(xiàn)[4]得

fn2比f(wàn)n1大141.9%．根據(jù)文獻(xiàn)[4]得

根據(jù)式(10)和文獻(xiàn)[4]得

根據(jù)式(10)、式(11)和文獻(xiàn)[4]得

將式(1)寫(xiě)為下面的復(fù)數(shù)形式

設(shè)方程(13)具有形如以下特解

根據(jù)式(13)、式(14)和文獻(xiàn)[4]得

根據(jù)式(15)和文獻(xiàn)[4]得

將式(16)代入式(14)得

故方程(1)的特解為

根據(jù)式(18)和文獻(xiàn)[4]，將式(15)展開(kāi)得

最后根據(jù)文獻(xiàn)[4]得

1.2動(dòng)力吸振器頻響函數(shù)圖像

(a)H11(ω)的Nyquist圖　　　　　　　　(b)H21(ω)的Nyquist圖　　　　　　　(c)H11(ω)的實(shí)頻特性與虛頻特性圖2　系統(tǒng)的復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)

采用Matlab軟件編程，繪出不同阻尼所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)的Nyquist圖像，同時(shí)繪制出頻率范圍為2Hz

2基于ANSYS的動(dòng)力吸振器系統(tǒng)諧波響應(yīng)分析

諧響應(yīng)分析對(duì)持續(xù)的周期載荷在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中產(chǎn)生持續(xù)的周期響應(yīng)進(jìn)行分析，其目的是確定線性系統(tǒng)承受隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的載荷時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)．諧波響應(yīng)分析步驟主要分為：有限元建模，加載求解和結(jié)果分析[6]．在這里必須特別注意的是在加載求解過(guò)程中，所取諧波頻率范圍必須包括對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性影響較大的頻率，即模態(tài)固有頻率，且頻率間隔劃分要十分精細(xì)，只有這樣才能提高多自由度系統(tǒng)在頻域內(nèi)的諧波響應(yīng)分析精度．

現(xiàn)以兩自由度系統(tǒng)動(dòng)力吸振器為例，介紹運(yùn)用有限元分析軟件ANSYS獲取多自由度系統(tǒng)的諧波響應(yīng)的具體方法[7-8]．

2.1動(dòng)力吸振器系統(tǒng)物理模型的描述與有限元模型的建立

如圖1所示的結(jié)構(gòu)為動(dòng)力吸振器，質(zhì)量m1、m2在水平方向上分別用兩個(gè)剛度為k1、k2的彈簧連接于支撐點(diǎn)，m1上作用有一幅值為P0，頻率為f的正弦激勵(lì)力P(t)，已知f=0～10 Hz．該系統(tǒng)在任一瞬時(shí)的位置都需用兩個(gè)獨(dú)立廣義坐標(biāo)x1，x2確定，它是兩自由度系統(tǒng)．

根據(jù)系統(tǒng)物理模型直接建立有限元模型，如圖3所示，由3個(gè)節(jié)點(diǎn)、4個(gè)單元組成．

圖3　動(dòng)力吸振器系統(tǒng)有限元模型

具體步驟如下：1)創(chuàng)建節(jié)點(diǎn)1、2、3；2)在相鄰節(jié)點(diǎn)之間建立彈簧阻尼單元①、③，類型均為combine14，用直線表示，剛度和阻尼系數(shù)分別為(k1，0)、(k2，c)；3)在節(jié)點(diǎn)2和3上創(chuàng)建質(zhì)量單元②、④，類型均為mass21．所有單元在Y、Z方向的質(zhì)量及繞X、Y、Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都為零，而單元②、④在X方向上的質(zhì)量分別為m1、m2．

2.2動(dòng)力吸振器系統(tǒng)有限元模型的加載求解及諧波響應(yīng)的計(jì)算結(jié)果分析

對(duì)系統(tǒng)有限元模型加載求解，步驟如下：1)設(shè)定響應(yīng)分析類型為“Harmonic”；2)設(shè)定激振頻率范圍為0

描述系統(tǒng)的諧波響應(yīng)結(jié)果，要采取ANSYS的后置處理程序，即時(shí)間歷程后處理器，它可以很方便地得出m1、m2的振幅A與激勵(lì)力的頻率f之間的關(guān)系，如圖4所示．該系統(tǒng)具備2階固有頻率，分別為f1=2.72 Hz，f2=6.58 Hz．當(dāng)激勵(lì)頻率f位于f1或f2附近時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生共振，m1、m2的振幅達(dá)到最大．

注釋：圖4、6、7與8中，f1處對(duì)應(yīng)幅值A(chǔ)較大的一條為m2的幅頻特性曲線；圖5、9中，上面的一條曲線為m1的幅頻特性曲線．

圖4　m1、m2的幅頻特性

2.3動(dòng)力吸振器的系統(tǒng)參數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響

為深度分析動(dòng)力吸振器系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其動(dòng)態(tài)特性的影響，需運(yùn)用控制變量法分別單獨(dú)改變彈簧剛度、阻尼、質(zhì)量等參數(shù)的大小作類似分析，最后討論在高頻范圍內(nèi)質(zhì)量對(duì)振幅大小的影響[9]，上述研究所得系統(tǒng)諧波響應(yīng)的結(jié)果如圖5～9所示．

圖5　k1=2 000 N/m，k2=1 000 N/m時(shí)m1、m2的幅頻特性

圖6　c=6 N·s/m時(shí)m1、m2的幅頻特性

圖7　m1=m2=2 kg時(shí)m1、m2的幅頻特性

圖8　f=10～100 Hz時(shí)m1、m2的幅頻特性

圖9　f=10～100 Hz且m1=m2=2 kg時(shí)m1、m2的幅頻特性

各圖像結(jié)果對(duì)比分析如下：根據(jù)圖4和5可得，在低頻段，即f?f1時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)非常慢，振幅的大小主要依賴于彈簧剛度，彈簧剛度越大，共振頻率也越大，系統(tǒng)的共振幅值減小，靜態(tài)特性突出．由圖4與6得出，在共振區(qū)，即f=f1或f=f2時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生共振，振幅的大小主要取決于阻尼，阻尼增大，振幅減小．按照?qǐng)D4和7可知，質(zhì)量增大，共振頻率減小，系統(tǒng)的共振幅值增大．比較圖8和9可得，在高頻段，即f?f2時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)很快，動(dòng)態(tài)特性突出，振幅的大小主要取決于質(zhì)量，質(zhì)量越大，振幅越?。?/p>

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[責(zé)任編輯張莉]

Frequency Response Function and Finite Element Analysis of

Dynamic Absorber with Two Degrees of Freedom

Tian HongliangZhou YangZheng JinhuaChen Tianmin

(College of Mechanical & Power Engineering, China Three Gorges Univ., Yichang 443002, China)

AbstractMatlab software is applied to draw the Nyquist images of the system transfer function under different dampings, taking the dynamic absorber with two degrees of freedom for example, the finite element analysis software ANSYS is utilized to arrive at the harmonic response analysis of the dynamic absorber. The dynamic response is obtained under various frequencies and the corresponding relationship between the response (ordinarily displacement) and frequency is analyzed. Meanwhile, the physical properties of dynamic absorber system have an impact on its dynamic characters. It can make the designer roundly handling vibration problems in the process of designing product to get system of the optimal dynamic performance.

Keywordsdynamic absorber;transfer function;frequency response function;harmonic response

中圖分類號(hào)：TH113.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672-948X(2015)06-0091-04

DOI：10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2015.06.019

通信作者：田紅亮(1973-)，男，副教授，博士，研究方向?yàn)楹掌潱瓻-mail： thl19732003@aliyun.com