化簡(jiǎn)二次型方法的探討

許 　 娟

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 安徽 安慶 246133)

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化簡(jiǎn)二次型方法的探討

許 娟

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 安徽 安慶 246133)

摘要：二次型是高等代數(shù)中非常重要的內(nèi)容。化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形是二次型教學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，除了線性替換法、矩陣法兩個(gè)常用方法外，這里我們將給出從解析幾何的角度出發(fā)的一種新方法，該方法簡(jiǎn)單、直觀。

關(guān)鍵詞：二次型；標(biāo)準(zhǔn)形；二次曲面；主徑面

在高等代數(shù)的教學(xué)中，從行列式到矩陣做了很多的知識(shí)準(zhǔn)備工作，用來(lái)處理后續(xù)的線性方程組解的結(jié)構(gòu)、二次型化標(biāo)準(zhǔn)形、線性變換和若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形等問(wèn)題。其中二次型的理論在微積分、力學(xué)、信號(hào)理論、計(jì)算機(jī)圖形等學(xué)科中有很廣泛的應(yīng)用。如何化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形非常重要，它有很強(qiáng)的直觀解釋?zhuān)?維空間里的幾何解釋實(shí)際上就是通過(guò)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)、平移，將原本含有交叉項(xiàng)的三元二次多項(xiàng)式化成只有平方項(xiàng)的多項(xiàng)式，如：

2xy-6yz+2xz?2u2-2v2+6w2

2xy-6yz+2xz=0?2u2-2v2+6w2=0

χχ

(不清楚什么幾何圖形)(二次錐面，如圖1)

因此，將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形有助于我們對(duì)多元二次方程的幾何圖形的直觀想象(什么樣的曲線？什么樣的曲面？)。今天，我們倒過(guò)來(lái)，從幾何角度出發(fā)，給出一種新的求二次型標(biāo)準(zhǔn)形的方法。

1二次型標(biāo)準(zhǔn)形的求法

定義1[1]設(shè)P是一個(gè)數(shù)域，一個(gè)系數(shù)在數(shù)域P中的二次齊次多項(xiàng)式：

(1)

稱(chēng)為數(shù)域P上的一個(gè)n元二次型，二次型的矩陣為：

(2)

定義2設(shè)P是一個(gè)數(shù)域，一個(gè)系數(shù)在數(shù)域P中的二次方程：

2a1x1+2a2x2+…+2anxn+a=0

(3)

稱(chēng)為二次曲面的方程。特別的，

(4)

稱(chēng)為數(shù)域P上的二次型的方程。

一般的，在高等代數(shù)這門(mén)基礎(chǔ)課的教學(xué)中，我們化簡(jiǎn)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法只給出了兩種：線性替換法、矩陣法。由于在解析幾何這門(mén)基礎(chǔ)課中我們也沒(méi)有講授到一般二次曲面的研究與二次型的聯(lián)系，所以忽視了一種新的方法。下面我們就這三種方法做個(gè)介紹，給出例題，比較各自?xún)?yōu)勢(shì)，以后在處理這類(lèi)問(wèn)題的時(shí)候，可以選擇計(jì)算量偏小的方法。

定理1[1]數(shù)域P上的二次型都可以經(jīng)過(guò)非退化的線性替換變成平方和的形式。

線性替換法如下：

1)若ai i(i=1,2,…,n)中至少有一個(gè)不為零，不失一般性，設(shè)a11≠0，令

2)若所有ai i=0(i=1,2,…,n)，但至少有一a1j≠0(j>1)，不失一般性，設(shè)a12≠0，令

這也是一個(gè)非退化線性替換，使(1)變成：

繼續(xù)1)的步棸，直到全變成平方項(xiàng)。

定理2[1]在數(shù)域P上，任意一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣都合同于一對(duì)角矩陣。

矩陣法如下，

1)若ai i(i=1,2,…,n)中至少有一個(gè)不為零，例如a11≠0，令

遞推下去，直到全部變成平方項(xiàng)；

2)若a11=0，但有一個(gè)ai i≠0，作

P(1,i)AP(1,i)，歸結(jié)到情形1)；

3)若所有ai i=0(i=1,2,…,n)，但至少有一a1j≠0(j>1)，不失一般性設(shè)a12≠0，作

P(2,j)′AP(2,j)，然后取

于是又歸結(jié)到情形1)。

例1化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2-6x2x3+2x1x3成標(biāo)準(zhǔn)形。

解(線性替換法)作非退化線性替換：

注實(shí)際上方程2x1x2-6x2x3+2x1x3=0的幾何圖形就是一錐面。

下面將給出利用坐標(biāo)變換的方法去化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，首先給出預(yù)備知識(shí)。三維空間一般坐標(biāo)變換公式可由新坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)面來(lái)確定(能夠推廣到n維)，設(shè)有兩兩垂直的平面(如下)分別為新坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)面：

π1∶A1x+B1y+C1z+D1=0(y′O′z′面)

π2∶A2x+B2y+C2z+D2=0(z′O′x′面)

π3∶A3x+B3y+C3z+D3=0(x′O′y′面)

根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)到面的距離的關(guān)系，有如下坐標(biāo)變換公式[2]：

為使右手系變成右手系，正負(fù)號(hào)的選擇保證系數(shù)行列式的值為正即可。

定義3[2]二次曲面的一族平行弦的中點(diǎn)軌跡叫做共軛于這族平行弦的徑面，垂直于共軛弦的徑面叫做二次曲面的主徑面。

性質(zhì)1[2]主徑面就是二次曲面的對(duì)稱(chēng)面。

基于這些知識(shí)，二次型的方程實(shí)際上是二次曲面方程中一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)全為零的特例，實(shí)際上如果找到二次曲面的三個(gè)主徑面，以此為新坐標(biāo)系，那么在這個(gè)坐標(biāo)系下二次曲面的方程將特別的簡(jiǎn)單。有學(xué)者將一般二次曲面的方程歸結(jié)為5種形式，曲面形狀也只有17種[2]。因此只要將方程化成標(biāo)準(zhǔn)形，圖形形狀也就一目了然。下面通過(guò)例題給出具體操作過(guò)程。

例2化二次型f(x1,x2,x3)=x2+y2+5z2-6xy-2xz+2yz為標(biāo)準(zhǔn)形。

解先考察二次型的方程：x2+y2+5z2-6xy-2xz+2yz=0，因?yàn)镮1=7,I2=0,I3=-36,所以它的特征根為λ1=6,λ2=3,λ3=-2，則分別有：

1)與λ1=6對(duì)應(yīng)的主徑面為-x+y+2z=0；

2)與λ2=3對(duì)應(yīng)的主徑面為x-y+z-9=0；

3)與λ3=-2對(duì)應(yīng)的主徑面為x+y=0。

取這三個(gè)主徑面作為新坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)面，則坐標(biāo)變換為

得到二次曲面的簡(jiǎn)化方程：6x′2+3y′2-2z′2=0，即有原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為

6x′2+3y′2-2z′2

2二次型的應(yīng)用

二次型的應(yīng)用[4-7]很廣泛，在不等式的證明、求極值、因式分解等方面均有應(yīng)用。這里我們通過(guò)幾個(gè)例題并利用前面介紹的三種化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，展示二次型在這些方面的應(yīng)用。

定理3[3]實(shí)二次型可以分解成兩個(gè)實(shí)系數(shù)的一次齊次多項(xiàng)式乘積的充要條件是它的秩為2和符號(hào)差為0，或者秩等于1。

例3證明Cauchy不等式：

g=(y1+2y2)(y1-2y2)=

(x1+x2+2x3)(x1-3x3)

且f=g(x1,x2,x3)=(x1+x2+2)(x1-3x3)。

3結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)幾年基礎(chǔ)課的教學(xué)，在講授二次型和二次曲面這兩章知識(shí)的同時(shí)，找到二者之間的一定聯(lián)系，給出了一種通過(guò)主徑面的知識(shí)求二次型標(biāo)準(zhǔn)形的方法，并且二次型還有很廣泛的應(yīng)用，它在不等式的證明、求最值、分解因式、求積分等方面均用利用價(jià)值。同時(shí)，希望學(xué)者可以結(jié)合幾何直觀去講授代數(shù)知識(shí)，既增加了學(xué)生的空間想象能力，又促進(jìn)了代數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)，相得益彰。

參考文獻(xiàn):

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Discussion on the Simplification Method of Quadric Form

XU Juan

(Department of Mathematics，Anqing Teachers College，Anqing 246133，China)

Abstract:Quadratic form is an very important content in advanced algebra. How to simplify quadratic form to standard form is important and difficult in teaching. In addition to the linear replacement method and the matrix method, we will present a new approach the analytic geometry angle. The method is simple and intuitive.

Key words:quadratic form, standard form, quadratic surface, principal radial plane

中圖分類(lèi)號(hào)：O231.9

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1007-4260(2015)01-0109-03

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.031

作者簡(jiǎn)介：許娟，女，安徽和縣人，碩士，安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院講師，研究方向?yàn)閿?shù)字圖像處理。

收稿日期：2014-06-28